江苏省马坝高级中学等校级联合测试2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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考试时间120分钟 试卷满分150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线在轴上的截距是（ ）
A．B．-2C．D．2
解.令，代入，得，
故选：B
2.圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A． B． C． D．
解;将圆的一般方程化成标准方程为：，所以圆的圆心坐标为，半径为，
故选：B
3 如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
解析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，
因为双曲线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，
所以.
4 .已知a1=2，an+1=n+1nan，则a2024等于（ ）
A．506B．1012C．2024D．4048
【答案】D
由a1=2，an+1=n+1nan，可得an+1an=n+1n，
则an=anan−1⋅an−1an−2⋯⋅a2a1⋅a1=nn−1×n−1n−2×⋯×21×2=2n，
即a2024=2×2024=4048，
故选：D.
设抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，过抛物线上的点P作准线的垂线，设垂足为Q，若∠PFQ=30°，且QF=433，则p=（ ）
A．1B．233C．2D．33
【答案】C
解析：设M为准线与x轴的交点，

因为∠PFQ=30°，且PF=PQ，所以∠PQF=30°.
因为FM∥PQ，所以∠QFM=30°，在Rt△QFM中，QF=FMcs30°=p32=233p，所以233p=433，解得p=2.
故选：C
6. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】D
解析：动直线化为，可知定点，
动直线化为，令，
解得，可知定点，
又，
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为.
故选：D
7. 已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，左焦点为.若的面积为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：根据题意，椭圆的离心率为，即①，
又椭圆的右顶点为，上顶点为，左焦点为，如图所示，
所以②，

又椭圆中，③，
联立①②③，解得，，，
所以，，
，
所以的周长为.
故选：B
8. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为5，左，右焦点分别为F1，F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若PF1=2，则△PF1F2的面积为（ ）
A．2B．5C．3D．4
【答案】D
解析：由对称性，不妨设点F2关于渐近线y=bax的对称点为P，
设PF2与该渐近线交于点M，则F2M⊥OM，且|MP|=|MF2|.
由O,M分别是F1F2与PF2的中点，知OM//PF1且|OM|=12|PF1|=1，
又右焦点F2(c,0)，渐近线方程y=bax即bx−ay=0，
故点F2到渐近线bx−ay=0的距离为|MF2|=bcb2+a2=bcc=b，
则在Rt△OMF2中，tan∠MOF2=ba=|MF2||OM|=|MF2|=b，解得a=1，
所以由e=5得ca=5=c，b=c2−a2=2，
所以S△PF1F2=4S△OMF2=4×12|OM|⋅|MF2|=2b=4.
故选：D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分.
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 点关于直线的对称点为
B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C. 经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程只有
D.直线经过定点
【答案】ABD
解析：对于A 点和的中点在直线上，
且连线的斜率为，可得与直线垂直，
所以点关于直线的对称点为，故A正确；
对于B，直线与两坐标轴交于，，
所以围成的三角形面积为，故B正确；
对于C，若直线经过原点，满足题意，此时的直线方程为，故C错误.
对于D，令，解得，
可得直线经过定点，故D正确；
故选：ABD.
10．已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2−2x+4y+4=0相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x−2y−4=0
B．圆O上有且仅有3个点到直线l:x−y+2=0的距离都等于1
C．取圆M上点Ca,b，则2a−b的最大值为4+25
D．直线mx+y+m−1=0被圆O所截得弦长最短为22
【答案】ABD
解析：对A：圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2−2x+4y+4=0相交于A､B两点，
故直线AB的方程为：−2x+4y+4=−4，即x−2y−4=0，故A正确；
对B：O0,0到直线l的距离d=22=1，又圆O的半径r=2，
所以直线l与圆O相交且l不过圆心，即圆O上存在3个点到直线l的距离为1，B正确；
对C：圆M:x2+y2−2x+4y+4=0，即x−12+y+22=1，
因为a,b在圆M上，故可设a=1+csθ,b=−2+sinθ,θ∈0,2π，
则2a−b=2+2csθ+2−sinθ=−5sinθ−φ+4,tanφ=2,φ∈−π2,π2，
又y=−5sinθ−φ+4,θ∈0,2π的最大值为4+5，
故2a+b的最大值为4+5，C错误；
对D：将直线方程mx+y+m−1=0变形为mx+1+y−1=0，
由x+1=0y−1=0，解得x=−1y=1，所以，直线mx+y+m−1=0过定点P−1,1，
所以，圆心O到直线mx+y+m−1=0的距离为最大值为OP=2，
因此，直线mx+y+m−1=0被圆O所截得弦长最短为24−22=22，D正确.
故选：ABD.
11. 曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线上一点处的曲率半径公式为则下列说法正确的是（ ）
A. 对于半径为的圆，其圆上任意一点曲率半径为
B. 若某焦点在上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为（半焦距），则椭圆离心率为
C. 椭圆上一点处的曲率半径的最大值为
D. 若椭圆上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为
【答案】ABD
解析：对于A，半径为的圆中，，点在圆上，
则，，
因此对于半径为的圆，其圆上任意一点曲率半径为，A正确；
对于B，由，得，
则，
，由，得，则，
于是，即，，
而，解得，B正确；
对于D，椭圆（）上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，
由选项B知，，则，解得，
所以椭圆方程为，D正确；
对于C，由选项D知，，C错误.
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 两条平行线和的距离为_____.
【答案】
解析：两条平行线和间的距离为.
故答案为：.
13. 已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为__________．
【答案】2或6.
解析：分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值．
详解：设圆圆心为，
∵圆和圆关于直线对称，
∴，解得，
∴圆的圆心为．
∴．
∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为，
∴，
解得或．
14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________．
【答案】
解析：设为右焦点，半焦距为，，，
为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则，
由，，
则，，，所以，从而有，
故，
当且仅当，即时取等，所以的最小值为.
故答案为：．
四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分） 已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn=n2−10nn∈N*．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=1an，求数列bn中的最大项和最小项．
解：（1）数列an中，Sn=n2−10n，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−10n−(n−1)2+10(n−1)=2n−分
当n=1时，a1=S1=12−10×1=−9，满足上式，分
所以数列an的通项公式为an=2n−分
（2）由（1）知，an+1−an=2>0，则数列an是单调递增数列，分
由2n−110，即t2+m>0，
设B(x1,y1)，D(x2,y2)，则y1+y2=4t，y1y2=−4m， 分
因为k1=y1−2x1−1=y1−2y124−1=4y1+2，k2=y2−2x2−1=y2−2y224−1=4y2+2，
所以k1+k2=4y1+2+4y2+2=4(y1+2+y2+2)(y1+2)(y2+2) =4(y1+y2)+16y1y2+2(y1+y2)+4 =1
所以2(y1+y2)+12=y1y2，，,,分
将y1+y2=4t，y1y2=−4m代入得8t+12=−4m，即2t+3=−m，,,,,分
所以直线BD：x=ty−2t−3，即x+3=t(y−2)，.
所以直线BD经过定点(−3,2),分
18.（本题满分17分） 在平面直角坐标系中，已知直线：，圆：
（1）若直线与圆相切，求实数的值；
（2）若，直线与圆相交于两点，求的面积；
（3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值.
解(1)圆的方程 可化为，
所以圆的圆心的坐标为 ，半径，,分
因为直线与圆相切，
圆心到直线的距离，,分
所以，解得，,分
（2）由（1）圆的圆心的坐标为 半径，
若，则直线的方程为，
圆心到直线的距离，,分
所以，,分
所以的面积，,分
（3）设，，
因为，
所以1+k2|x1−0|=21+k2|x2−0|，故，分
由，消得，
方程的判别式，
由已知是方程的根，
所以，，分
因为，由可得，结合，
可得，故，，
所以，
所以,分
19. （本题满分17分）已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，求的面积；
（3）如图，设关于原点对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.
解：（1）依题意可知，
当为短轴顶点时，取到最大值，,分
可得，解得，
所以椭圆的标准方程,分
（2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，设，
若，则直线，
联立方程，消去可得，解得或，,分
所以的面积,分
（3）由（2）可设，则，
设直线的方程为，此时，
联立直线与椭圆方程，消去可得，
则，,分
不妨设，因为三点共线，则，
可得，则，分
因为三点共线，则，
可得，则，分
可得，分
则，可得，