山西省吕梁市交城县2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份山西省吕梁市交城县2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(满分120分，考试时间120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1.许多数学 符 号 蕴 含 对 称 美．下 列 数 学 符 号 为 中 心 对 称 图 形的是（）
A.≥ B.＝ C. ∵ D. ∴
2.将一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2
C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
3. 如果函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，那么m的值是（ ）
A．2B．﹣1C．1D．±1
4. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝21°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．21°B．25°C．29°D．39°
5.将抛物线y＝3x2平移，得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
6.以半径为2的圆的内接正三角形，正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ）
A．这个三角形是钝角三角形B．这个三角形是直角三角形
C．这个三角形是等腰三角形D．不能构成三角形
7.二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
8.如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①∠APC＝∠ACB；②∠ACP＝∠A；③AP：AC＝AC：AB；④AB•CP＝AP•CB，其中当△APC和△ACB相似时满足的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
第8题图
第9题图
第10题图
9.我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），则下列结论错误的是（ ）
A．图象与坐标轴的交点为（-1,0）,（3,0）和（0,3）
B．图象的对称轴是直线x＝1
C．当﹣1≤x≤1和x≥3时，函数值y随x的增大而增大
D．函数的最小值是0，最大值是4
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，∠BAC＝36°，以点C为圆心，BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，则BE长为（ ）
A．5-12B．5+12C．1+5D．5-1
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11. 自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为50cm和80cm的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．根据美学观点，彩纸面积为相片面积的13时较美观．若所镶彩纸的宽为x cm，根据题意，列方程为 .
第12题图
如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝ ．
第14题图
第15题图
若点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=2x 的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 ．

如图，反比例函数y=-3x 的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于点A、B，过点A作AD⊥y轴于点D，点C是一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点，则△ADC的面积是 ．
15．如图，⊙O的直径BC＝4，弦DE的两个端点（不与B，C重合）在半圆BC上滑动，BE、CD的延长线交于点A，DE＝2，连接BD、CE．
以下四个结论：
①∠A＝60°；
②若DE＝DC，则△ABC是等边三角形；
③△ADE∽△ABC；
④△ADE面积的最大值为23．
其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(4分).用适当的方法解方程：x2+5x+7＝3x+11．

17.(6分)．共享经济已经进入人们的生活，小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标（共享出行、共享服务、共享物品、共享知识），制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片放入一个不透明的口袋中，摇匀放好．
（1）小沈从中随机抽一张，记录上面的字母后，放回摇匀．小沈共重复抽了60次，结果统计如图，则小沈抽到标有字母C的卡片的频率是 ；若小沈再抽一次卡片，抽到标有字母C的卡片的概率是 ．
（2）小沈从中随机抽两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率.（四张卡片用对应的编号A、B、C、D表示）
18.(6分).如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于C，D两点，点C的坐标为（n，6）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）当kx＞2x+4时，直接写出x的取值范围．
19.（9分）.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2BC2，并求出BC旋转到BC2 扫过的面积．
20.(11分).“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹…”董宇辉在直播电商平台的山西专场直播中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某网店抓住商机，以40元/盒的进价购入一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，该商品的周销售量y（盒）是售价x（元/盒）的一次函数，部分数据如表：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）若要利润不低于1600元，则售价范围应该是多少？
21.(13分).如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．
（1）求证：MN是⊙O的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
①求证：FD＝FG．
②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．
22.(13分).如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-16x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为 172 m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
23.(13分).综合与探究．
在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出 EMCE 的值．
2024—2025学年第一学期期末质量监测试题
九年级数学答案
选择题 （每小题3分，共30分）
填空题 （每小题3分，共15分）
11. (50+2x)(80+2x)-50×80=13×50×80．12.70º 13. y3＞y1＞y2 14.32 15.①②③
解答题 （本大题共8个小题，共75分）
16.（4分） x2+5x+7＝3x+11．(方法不唯一，根据答卷批阅。）
整理得：x2+2x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣4，…………………1分
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+16＝20＞0，…………………1分
∴x=-b±b2-4ac2a=-2±202=-1±5，…………………1分
解得：x1=-1+5，x2=-1-5．…………………1分
(第一问2分，第二问4分，共6分)
解：（1）根据题意，小沈抽到标有字母C的卡片的频率是20÷60=13，………1分
所以若小沈再抽一次卡片，抽到标有字母C的卡片的概率约为13，………1分
故答案为：13，13；
（2）画树状图如下：………2分
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的有2种结果，………1分
所以抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率为212=16．………1分
18.（每个小问2分，一共6分。）
解：（1）由题知，将点C坐标代入y＝2x+4得，
2n+4＝6，解得n＝1，
所以点C的坐标为（1，6）．……1分
点C坐标代入y=kx得k＝6，
所以反比例函数的表达式为y=6x．……1分
（2）由反比例函数及一次函数解析式得，
2x+4=6x 解得x1＝1，x2＝﹣3 ……1分．
当x＝﹣3时，y=6-3=-2，
所以点D的坐标为（﹣3，﹣2） ……1分
（3）由题知，
所以当kx＞2x+4时，x的取值范围是：x＜﹣3或0＜x＜1．……2分（正确写出一个给1分）
19.(第一问4分，第二问5分，共9分)
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．……4分（对应的三个点作对一个给1分，写出结论给1分，一共4分。若其中的点没有全部作对，则结论不给分，只给相应的对应点的得分。）
（2）如图，△A2BC2即为所求．……5分（对应的两个点作对一个给1分，写出结论给1分，面积计算正确给2分）
由勾股定理得，BC=12+32=10，
∴BC旋转到BC2 扫过的面积为S扇形CBC2=90π×(10)2360=52π．
(第一问3分，第二问4分，第三问4分，共11分)
解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将（80，40），（55，90）代入得：
80k+b=4055k+b=90， ……1分
解得：k=-2b=200， ……1分
∴y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；……1分
（2）由题意知：每件的利润为（x﹣40）元，设每周可获得利润为w元，得：
w＝（﹣2x+200）（x﹣40）＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，……2分
∵﹣2＜0，
∴w存在最大值，……1分
∴当x＝70时，w的最大值为1800，
∴当每件售价为70元时，周销售利润w最大，最大利润为1800元；……1分
（3）由（2）可知w＝﹣2（x﹣70）2+1800，
当x＜70时，w随x增大而增大，当x＞70时，w随x增大而减小，……1分
当w＝1600时，w＝﹣2（x﹣70）2+1800＝1600，
解得：x1＝60，x2＝80， ……2分
则要使得利润不低于1600元，售价x范围应该是60≤x≤80．……1分
21.(第一问3分，第二问5分，第三问5分，共13分)
（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，……1分
∴∠CAB+∠ABC＝90°；
∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB＝90°，……1分
即MA⊥AB，垂足为A，
∴MN是⊙O的切线；……1分
（2）①证明：∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD， ……1分
∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB＝90°，……1分
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD＝90°，……1分
∵∠DBC＝∠ABD，
∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，……1分
∴FD＝FG；……1分
②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．……1分
∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝DH， ……1分
在Rt△BDE与Rt△BDH中，
DH=DEBD=BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），
∴BE＝BH， ……1分
∵D是弧AC的中点，
∴AD＝DC，
在Rt△ADE与Rt△CDH中，
DE=DHAD=CD，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．
∴AE＝CH．……1分
∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，
∴AE＝1． ……1分
22.（第一问6分，第二问3分，第三问4分，共13分）
解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，172）， ……1分
把B（0，4），C（3，172）代入y=-16x2+bx+c得c=4-16×32+3b+c=172，……1分
解得b=2c=4． ……1分
所以抛物线解析式为y=-16x2+2x+4，……1分
则y=-16（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），……1分
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；……1分
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），……1分
当x＝2或x＝10时，y=223＞6，……1分
所以这辆货车能安全通过；……1分
（3）令y＝8，则-16（x﹣6）2+10＝8，解得x1＝6+23，x2＝6﹣23，……2分
则x1﹣x2＝43，……1分
所以两排灯的水平距离最小是43m．……1分
23.（第一问2分，第二问9分，第三问2分，共13分）
解：（1）BE=2CD……2分
补全图形如图，……2分，
结论：BE=2CD ……1分
理由如下：（6分，具体分值如下）
过点E作EM⊥BC于点M，……1分
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，……1分
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，……1分
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），……1分
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴DM＝BC，
∴DM﹣CM＝BC﹣CM，
∴CD＝BM， ……1分
∴EM＝BM，
∵EM⊥CB，
∴BE=2EM=2CD；……1分
（3）EMCE=21313或255 ……2分(过点E作EM⊥CB，求出EM，CE即可.)题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.13
0.38
0.53
0.58
0.53
0.38
0.13
字母
A
B
C
D
次数
13
17
20
10
售价x（元/盒）
55
65
80
85
周销售量y（盒）
90
70
40
30
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
D
D
B
A
B
D
D