福建省泉州市东海中学九年级上学期数学科期中质量监测（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市东海中学九年级上学期数学科期中质量监测（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了 下列运算错误的是， 已知为锐角，且，则等于， 在中，、，则的长是等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、与被开方数相同，是同类二次根式；
C、与被开方数不同，不是同类二次根式；
D、与被开方数不同，不是同类二次根式．
故选B．
2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式：，其中分别为：二次项系数、一次项系数、常数项，进行作答即可．
【详解】解：∵，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是，
故选：C．
3. 两个相似等腰直角三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．据此即可解答．
【详解】解：∵两个等腰直角三角形相似，
∴两个等腰直角三角形面积比等于相似比的平方，
∴两个等腰直角三角形相似比为，
∴两个相似三角形周长的比等于相似比，即周长比为2：1，
故选：B．
4. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式的运算性质分别运算后即可确定错误的选项，从而确定正确的答案．
【详解】解：、，正确，不符合题意；
、，正确，不符合题意；
、，正确，不符合题意；
、，故原式错误，符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是了解二次根式的有关的运算性质，难度不大．
5. 已知为锐角，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案.
【详解】∵
∴
故选B
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
6. 在中，、，则的长是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题利用勾股定理直角边的平方之和等于斜边平方，分别讨论∠C是否是直角的情况下列式解答即可.
【详解】当∠C=90°时，则，所以C=5；若∠C≠90°时，则，所以C=，故答案选D.
【点睛】本题的关键是掌握勾股定理，技巧是利用勾股定理分类讨论∠C是否为直角的情况列方程解答.
7. 若关于x一元二次方程有两个实数根，则k的值可以取（ ）
A. B. C. 2D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据判别式结合二次项系数不为0进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴且，
∴四个选项中只有C选项中的数符合题意，
故选：C．
8. 如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有：，共8种，
∴能使小灯泡L发光的概率为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
9. 如图，已知和，点在上，交于点，且．若与的面积相等，且，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据与的面积相等，可知四边形与的面积相等，又因为，可以判定，根据相似三角形的性质可知，设的面积为，则的面积为，则的面积为，如果和分别以和为底边，则它们对应的高相同，所以和的面积比等于和的比，从而可得，解方程即可求出的长度．
【详解】解：与的面积相等，
四边形与的面积相等，
，
，
，，
，
设的面积为，则的面积为，
四边形的面积为，
的面积为，
和的高相同，
，
，
，
，
，
解得：，
故选：B．
10. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④，其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】证明△ABE≌△DCE，可得结论①正确，由正方形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF＝∠CDE，由余角的性质可得结论②，证明△DCE≌△CBF可得结论③，由勾股定理可求DE的长，由面积法可求CH，由相似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠DEC＝∠AEB，∠BAE＝∠CDE，DE＝AE，故①正确，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE＝∠BCF，DC＝BC，∠DCE＝∠CBF＝90°，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴CE＝BF，
∵CE＝BC＝AB，
∴BF＝AB，
∴AF＝FB，故③正确，
∵DC＝6，CE＝3，
∴DE＝，
∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴，
∴CF＝，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11. 请写出一个大于2且小于3的二次根式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意得出，，然后取根式即可．
【详解】解：∵，，
∴大于2且小于3的二次根式为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握比较大小的方法是解题关键．
12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是___．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将的值准确代入方程进行计算．
根据一元二次方程的解即可求出的值．
【详解】解：因为是一元二次方程的一个解，
所以，
解得：．
故答案为：2．
13. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是熟练掌握比例的性质与比例变形．
14. 已知在中，，，，那么的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】画出图形，直接利用正弦函数值的定义进行求解即可．
【详解】
在中，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数值的定义，解题的关键是熟练掌握正弦函数值的定义．正弦函数值等于对边比斜边．
15. 如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形的，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案．
【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图：
由作图可知：是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，
∵，，
∴，
∴，，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值．
16. _____
【答案】
【解析】
【分析】画出等腰，使，，过点B作的平分线交于点D．易求出，，，从而可证，即得出，设，，则，代入中，再整理，即得出，过点B作于点E．由等腰三角形的性质结合正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图，，，过点B作的平分线交于点D．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，，则．
在和中，，
∴，
∴，即，
整理，得：，
配方，得：，
∴（舍去负值），
∴，
如图，过点B作于点E．
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形相似的判定和性质，求角的正弦值等知识．正确画出图形并作出辅助线是解题关键．
三．解答题（共9小题）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用有理数的乘方，零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．先把原方程进行化简整理可得：，然后根据解一元二次方程配方法进行计算，即可解答．
【详解】解：，
整理得：，
移项得，
配方得，即，
开方得，
解得，．
19. 如图，与交于B，且．

（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）根据两组边对应成比例，且夹角相等即可证明；
（2）根据相似三角形的性质解答即可．
【小问1详解】
解：证明：，，
；
【小问2详解】
，
，
，，，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
20. 随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线．

（1）小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？
（2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查简单概率的计算，树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据总的有4条路线，小明家选不到A路线的情况有三种可能，利用概率公式计算即可；
（2）画树状图，共有16种等可能性结果，其中两家选取同一条路线的可能结果有4种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意：小明家选不到A路线的概率是；
【小问2详解】
解：画树状图如下：

共有16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有4种，
∴小明家和小米家恰好选择同一条路线的概率为．
21. 如图，在四边形中，，E是对角线的中点，连接，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质以及直角三角形斜边中线的性质知识点．在两个直角三角形中分别利用斜边中线性质得到两条相等线段，再根据等腰三角形的性质得出结论．
【详解】证明：∵，E是的中点，
∴，，
∴，
∴．
22. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为3亿元，2018年利润为4.32亿元．
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；
（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过5亿元？
【答案】（1）20％；（2）2019年利润超过5亿元
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为x．根据题意得，解方程即可；
（2）根据该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率来解答．
【详解】解：（1）设年平均增长率为，
则，
∴，（舍）
答：2016年到2018年利润的年平均增长率为20％；
（2）如果2019年仍保持相同的年平均增长率，那么2019年该企业年利润为：
∴2019年利润超过5亿元.
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
23. 某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下：
请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度．（参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点B作于点E，过点B作于点F，由斜坡AB的坡度得到设，则，求出，设，得到，，由列方程求出y的值，即可得到答案．
【详解】解：过点B作于点E，过点B作于点F，
由题意可得，
∵斜坡AB的坡度；
∴
设，则
在中，
∵
∴
解得，
则，
设，
∴，
在中，，
∴
在中，，
∴
∵
∴
解得
∴
∴建筑物的高度约为
24. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”______．
（2）已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______．
（3）已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．
【答案】（1）
（2）；互为倒数
（3）和
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．
（1）根据“友好方程”的定义，即得答案；
（2）求出方程的解，即得猜想，分别求方程和的根，可验证；
（3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根，即，整理方程得，即得答案．
【小问1详解】
解：一元二次方程的“友好方程”为：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：对于方程，
，
解得：，
根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数；
证明如下：
∵一元二次方程的两根为，
“友好方程”的两根，
，
，
即原方程两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：；互为倒数；
【小问3详解】
解：∵方程的两根是，
∴该方程的“友好方程”的两根为，
则方程的两根，
即，
整理方程得，
∴关于的方程的两根为和．
25. 【课本再现】（1）如图1，在中，，，D，E分别是，的中点．求证：，．
【操作发现】（2）如图2，将图1的先沿着直线翻折得到，再将绕着点F顺时针旋转得到，连接，分别作，的中点D，E，连接．猜想与的关系，并进行证明；
【拓展延伸】（3）如图3，将（2）中的“旋转”改成“旋转任意角度”，其他条件不变，问DE与的关系是否发生改变？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）不变，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线定理得出，，结合可得，然后利用平行线的性质可证；
（2）延长交于M，连接，，先证明点D在上，再证明得出，证明是等腰直角三角形，得出，设设，则，，进而求出，，得出D是的中点，然后利用（1）的结论即可得证；
（3）分旋转角小于，旋转角等于，旋转角大于讨论即可
【详解】（1）证明：∵D，E分别是，的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，；
（2），，理由如下：
延长交于M，连接，，
，
∵A，D分别是，中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵沿着直线翻折得到，
∴，
∵绕着点F顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
又，
∴点D在上，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，，
∴，
又E是中点，
∴，，
又，，
∴由（1）知：，；
（3）不变，理由如下：
由（2）知：，，
当旋转角小于时，
连接，，，过作于H，
，
设旋转角为，则，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
又
∴，
∴，，即，
∴，
∵，
∴，
∴D、H是同一个点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又E是中点，
∴，．
当旋转角大于时，
如图，连接，，，过作于H，
，
设旋转角为，则，
∴，
又，
∴，
同理可证，
∴，，即，
∴，
∵，
∴，
∴D、H是同一个点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又E是中点，
∴，；
当旋转角等于时，
由（2）知：，．
综上，，．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，旋转的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
活动报告
活动目的
测量建筑物的高度
活
动
过
程
步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图）
步骤二：准备测量工具
皮尺、测倾器
步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D同一平面上，于点D）
①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度；
②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为；
③斜坡长52米；
④在点B测得建筑物顶点C的仰角为．
步骤四：计算建筑物的高度