云南省楚雄州2026届高三上学期12月模拟预测 数学试卷(含答案）

这是一份云南省楚雄州2026届高三上学期12月模拟预测 数学试卷(含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，且，则的值为（ ）
A．B．2C．D．8
5．一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（ ）
A．5B．4C．3D．2
7．在数列中，对任意的，，都有，且，则（ ）
A．24B．25C．26D．27
8．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为偶函数
B．若的定义域为，则的取值范围是
C．若，则的单调递增区间为
D．若在上单调递减，则的取值范围是
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ）
A．B．的离心率为
C．的面积为D．
三、填空题
12．在等比数列中，，，则 ．
13．已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为 .
14．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求；
(2)设函数，求的单调区间．
16．设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.
(1)求的准线方程；
(2)设为准线上一点，且，求.
17．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)点是函数图象上任意一点，求点到直线距离的最小值．
18．如图，在直三棱柱中，，，是棱上一点（不包含端点），是的中点.

(1)若是的中点，求证：平面；
(2)求证：三棱锥的体积为定值，并求出此定值；
(3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
19．小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
(1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率；
(2)规定第一次从小明开始，
（ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率；
（ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值；
(3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．
参考答案
1．B
【详解】由，，得．
故选：B．
2．D
【详解】由题意，复数，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D
3．C
【详解】.
故选：C.
4．A
【详解】因为向量，，且，
则，解得，
所以的值为.
故选：A.
5．A
【详解】因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径，
所以球的表面积为．
故选：A．
6．A
【详解】由二项式展开式的通项为，
令，可得，所以展开式的的系数为，
令，可得，所以展开式的的系数为，
因为展开式中的系数比的系数小300，可得，
即，解得或，
又因为，所以.
故选：A.
7．D
【详解】因为，，令，所以，
所以，所以为等差数列，首项和公差均为1，
所以，
所以．
故选：D．
8．C
【详解】已知，由题意知在内有变号零点，
显然在单调递增，
故原条件等价于，解得，
故实数a的取值范围是.
故选：C.
9．BD
【详解】对于A，由，得，而，则，A错误；
对于B，由，得，而，则，B正确；
对于C，由，得，而，则，C错误；
对于D，由，得；由，得，则，
因此，即，D正确.
故选：BD
10．ABD
【详解】当时，，定义域是，满足，是偶函数，故A正确；
若的定义域为，则的解集为，则，解得，故B正确；
若，则，由得或，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
且函数为增函数，则的单调递增区间是，故C错误；
若在上单调递减，由于的对称轴是，因此有，即，
且时，，因此有，即，D正确．
故选：ABD．
11．ACD
【详解】A：因为，解得，故A正确；
B：双曲线，所以，
的离心率，故B错误；
C：因为，所以，
则的面积为，故C正确；
D：所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．10
【详解】设等比数列的公比为，因为，解得；
当，又，则，
解得，不符合题意；
当时，又，则，
解得，符合题意．综上可得．
故答案为：10.
13．/
【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，整理得，因此，所以的离心率为.
故答案为：.
14．
【详解】因为，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，整理可得，
所以，因为，所以．
由正弦定理得，所以，，
所以的周长为
，
因为，则，所以，
所以，即周长的取值范围为．
故答案为：．
15．(1)
(2)单调递增区间：，单调递减区间为：.
【详解】（1）因为函数，且，所以，
又，所以.
（2）由（1）知：，所以，
所以.
令，显然是增函数.
因为当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减.
所以当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以函数的单调递增区间为：，
单调递减减区间为：.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为
（2）因为在的准线上，所以，即，
易得的坐标为，此时，
因为，所以，解得，
所以的方程为，设，，
联立消去并整理得，由韦达定理得，
所以
17．(1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，
对函数求导得，
令，得；令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解法一：设点（），
所以点到直线的距离为，
令，则，
令，得（舍去）或，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取到极大值，也是最大值，
所以，当且仅当时等号成立，
即点到直线距离的最小值为．
解法二：直线的斜率，
设（），又，令，
得，解得（舍）或，所以点的坐标为，
所以曲线上与直线平行的切线的切点为，
由题意知点到直线距离的最小值即为点到直线的距离，
又点到直线的距离，
所以点到直线距离的最小值为．
18．(1)证明见解析；
(2)证明见解析，定值为；
(3).
【详解】（1）取的中点，连接，
因为是的中点，所以,
直三棱柱中且，
又是的中点，所以且，
故且，
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面，平面，所以平面.
（2）依题意可知，两两相互垂直，
又，平面，
所以平面，
；
（3）依题意可知，两两相互垂直，
以为原点，,，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.

则，，，,,,
，，，.
设平面的法向量为，
则，即，不妨取，则，.
设直线与平面夹角为，
，
化简可得，解得（负值舍去），
故.
19．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，
(3)
【详解】（1）设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，则基本事件总数为36，
事件包含的基本事件有，，，，，，，，，共9个基本事件，
则．
（2）由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为．
（ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率为：
；
（ⅱ）设游戏的前4次投掷中，小芳投掷的次数为，则可取0，1，2，3，
，
，，
所以的分布列为：
．
（3）若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：
第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为（）；
第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为（）；
由于这两种情况彼此互斥，所以（），
所以（），且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．0
1
2
3