河南省湘豫名校联考2026届高三上学期12月质量检测数学试卷含解析（word版）

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1. A 【试题立意】本题考查复数的运算及有关复数的基本概念, 主要考查学生的数学运算能力.
【解析】 z2z1=−1−ai1+i=−1−ai1−i1+i1−i=−a+12−a−12i=−32−12i ,所以 −a+12=−32,−a−12=−12, 解得 a=2 . 故选 A.
2. C 【试题立意】本题通过考查二项式定理的有关知识, 主要考查学生分析问题的能力和运算能力. 【解析】由题意得 ak=2kC6kk=0,1,2,3,4,5,6 ,则 a3=23C63=160 . 故选 C.
3.C 【试题立意】本题考查三角函数的运算及有关概念,主要考查学生的数学运算能力及对三角函数概念的理解.
【解析】因为 sin13π4=sin3π+π4=−sinπ4=−22,tan11π6=tan2π−π6=−tanπ6=−33 ,所以点 P 位于第三象限,即 α 是第三象限角. 故选 C.
4. D 【试题立意】本题以充分必要条件为载体, 考查了一元二次不等式、指数函数、对数函数、幂函数等有关知识,主要考查学生的运算能力及综合运用知识解决问题的能力.
【解析】由题得集合 A={x∈Z∣x+2x−3≤0}={x∈Z∣−2≤x≤3}={−2,−1,0,1,2,3} ,由 x∈A 是 x∈B 的必要不充分条件知, B⫋A . 由题 x∈Z∣2x≤8={x∈Zx≤3},x∈Z∣lg12x≥−2={1,2,3,4} , {x∈Z∣x≤2}={0,1,2,3,4},x∈Z∣x2≤4={−2,−1,0,1,2} ,显然 A, B, C 都不符合题意. 故选 D.
5. B 【试题立意】本题通过对条件概率等有关知识的考查, 着重考查学生分析问题及运用基础知识解决问题的能力.
【解析】设“取出的 2 个球的编号之和为奇数”为事件 A ，“取出的 2 个球为 1 个黑球和 1 个白球”为事件 B ，则 PA=C21C31C52=35,PAB=C21C11+C11C11C52=310 . 由条件概率公式得 PB∣A=PABPA=31035=12 . 故选 B.
6. D 【试题立意】本题通过对平面向量的线性运算和数量积等知识的考查, 着重考查学生分析问题的能力及运算能力.
【解析】设 AB=a,AD=b ,则 a=b=6,⟨a,b⟩=60∘ . 由题易得 AE=AD+DE=b+14DB=b+14a−b= 14a+34b,BF=BC+CF=b+12CD=−12a+b ,所以 AE⋅BF=14a+34b⋅−12a+b=−18a2− 18a⋅b+34b2=−18×62−18×6×6×cs60∘+34×62=814 . 故选 D.
7. A 【试题立意】本题考查抛物线、导数的几何意义、两直线垂直等知识, 着重考查学生的分析问题的能力、综合运用知识的能力及运算能力.
【解析】方法一: 设直线 PQ 的方程为 y=kx+m ,代入 x2=4y ,得 x2−4kx−4m=0 ,且 Δ=16k2+m>0 ,所以 x1+x2=4k=4,k=1 ,即直线 PQ 的斜率为 k=1,x1x2=−4m,m>−1 ,所以 y1+y2=x1+x2+2m=4+ 2m,y1y2=x1+mx2+m=m2 . 设 Mx3,y3 ,由 y=x24 ,得 y′=x2 . 由题设知 x32=1 ,解得 x3=2 ,所以 M2,1 . 由 PM⊥QM ,可知 MP⋅MQ=x1−2x2−2+y1−1y2−1=0 ,即 x1x2−2x1+x2+4+ y1y2−y1+y2+1=0 ,即 −4m−8+4+m2−4−2m+1=0 ,整理得 m2−6m−7=0 ,解得 m=7 或 m=−1 (舍去). 所以直线 PQ 的方程为 y=x+7 . 故选 A.
方法二: 由题可得 kPQ=y1−y2x1−x2=x124−x224x1−x2=x1+x24=1 ,可设直线 PQ 的方程为 y=x+m . 联立 y=x+m,x2=4y, 可得 x2−4x−4m=0 ,则 x1x2=−4m . 设 Mx3,y3 ,由 y=x24 ,得 y′=x2 ,所以 x32=1 ,所以 x3=2 . 因为 PM⊥ QM ,所以 kPM⋅kQM=x1+x34⋅x2+x34=x1+2x2+216=x1x2+2x1+x2+416=−1 ,得 x1x2=−28 ,即 −4m=−28 ，解得 m=7 . 所以直线 PQ 的方程为 y=x+7 . 故选 A.
8.C 【试题立意】本题以数列为依托，构建一个新情景，着重考查学生的分析问题的能力、综合运用知识的能力和逻辑推理能力.
【解析】由 an+1+an+1an−an−2=0 ,得 an+1=an+21+an . 因为 1.410 ,且 a2≠2,a3≠2 . 又 2−a22−a3=2−a22−a2+21+a2=1−22−a221+a21 ,所以 a2−2>a3−2 ,所以 a3 的值更接近 2 . 故选 C.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.AC 【试题立意】本题考查具有线性相关关系的两个变量的经验回归方程的有关知识, 着重考查学生运用基础知识分析问题和判断问题的能力.
【解析】因为经验回归方程 y=kx+bk>0 中 x 的系数 k>0 ，所以 y 与 x 具有正线性相关关系， A 正确；由于用最小二乘法得到的经验回归方程是估计值，而不是实际的具体值，变量 x 值每增加 1 个单位， y 值只是大约增加 k 个单位, B 错误; 由最小二乘法及经验回归方程的求解可知,经验回归直线过样本点的中心 x,y,C 正确; 经验回归直线有可能不过散点图中的任一点, D 错误. 故选 AC.
10.ABD 【试题立意】本题考查了柱体、线面关系、线面角、多面体表面积, 及球的有关知识, 着重考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题的能力、运算能力及综合运用知识解决问题的能力.
【解析】对于 A ,如图 1,连接 EF,A1E ,因为点 E,F,G 分别为棱 AB,BC,A1C1 的中点,所以 EF//AC 且 EF=12AC ,又 A1G//AC ,且 A1G=12AC ,所以 EF//A1G ,且 EF=A1G . 所以四边形 A1EFG 是平行四边形,所以 GF//A1E . 易得 GF// 平面 ABB1A1 , A 正确. 对于 B ,如图 2,在平面 A1B1C1 内,作 GH⊥B1C1 于
H ,连接 HF ,易得 GH⊥ 平面 BCC1B1 ,则 ∠GFH 即为直线 GF 与平面 BCC1B1 所成的角或其补角,在直角 △GFH 中, GH=12A1B1×sin60∘=3,HF=42+12= 17,∠GHF=90∘ ,所以 GF=GH2+FH2=20=25 ,所以 sin∠GFH=GHGF =325=1510 , B 正确. 对于 C ,因为 CC1⊥ 平面 ABC,BE⊥CE ,所以三棱锥 C1−BCE 的四个面都是直角三角形. 又 CC1=BC=4,CE=23,BE=2 ，所以 C1E= CC12+CE2=28=27 ,则三棱锥 C1−BCE 的表面积为 S=12(CE×BE+CE ×CC1+BC×CC1+C1E×BE)=1223×2+23×4+4×4+27×2=8+63 +27,C 错误. 对于 D ,分别以 CC1,CE,BE 为棱长作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥 C1−BCE 的外接球，其直径为线段 BC1 ，所以有 2R=BC1=CC12+BC2= 42 ,即 R=22 ,所以三棱锥 C1−BCE 外接球的体积为 V球=43πR3=43π223= 6423π,D 正确. 故选 ABD.

图 1 图 2
11.BC 【试题立意】本题考查了平面解析几何中的轨迹问题、圆、三角形面积等有关知识, 着重考查学生分析问题的能力、运算能力、逻辑推理能力、综合运用基础知识解决问题的能力.
【解析】对于 A ,设点 P 的坐标为 x,y ,由 PMPN=55 ,得 x2+y−52=5x2+y−12 ,化简,得 4x2 +4y2=20 ,即 x2+y2=5 . 所以点 P 的轨迹是以 0,0 为圆心, 5 为半径的圆,其面积为 5π , A 错误. 对于 B , 因为点 K,L 是直线 l 与动点 P 的轨迹的交点,所以 KMKN=LMLN=55 ,即有 LMKM=LNKN , B 正确. 对于 C,D ,设点 N 到直线 l 的距离为 d ,点 M 到直线 KN,LN 的距离分别为 d1,d2 ,则 S△KMN=12KMd= 12KNd1,S△LMN=12LMd=12LNd2 ,两式相除,得 S△KMNS△LMN=KNd1LNd2=KMLM . 由 B 正确,得 d1= d2 . 所以 ∠MNK=∠MNL . 设直线 l:y=kx+1,k≠0,Kx1,y1,Lx2,y2 ,则 KMLM=x12+y1−12x22+y2−12= x12+k2x12x22+k2x22=x1x2 ,结果不唯一,所以 C 正确, D 错误. 故选 BC.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.20 【试题立意】本题通过对双曲线知识的考查, 重点考查学生的基础知识及运算能力.
【解析】在双曲线 C:x2−y24=1 中, a=1,b=2,c=5,AB=4b=8 . 由直线 AB 过双曲线 C 的右焦点 F2 , 知 AF1−AF2=2a=2,BF1−BF2=2a=2 ,所以 AF1+BF1=4+AF2+BF2=4+AB= 4+8=12,△ABF1 的周长为 AF1+BF1+AB=12+8=20 .
13. 3,n=1,2,n为奇数且n≥3. 【试题立意】本题通过对已知求数列的前 n 项和求通项公式知识的考查,重点考查学生分析问题的能力及运算能力.
【解析】由已知, Sn=n+2n,n为奇数,n−1+2n+1,n为偶数,
可得 a1=3.当nn≥3为奇数时,n−1,为偶数
所以an=Sn−Sn−1=n+2n−n−1−1+2n=2 ( n≥3 且 n 为奇数).
又 a1=3 ,不符合所求公式,所以当 n 为奇数时, an=3,n=1,2,n为奇数且n≥3.
−∞,ln239
【试题立意】本题主要考查函数的极值点、利用导数求函数的最值,并以此考查学生的逻辑推理能力、运算能力、综合运用基础知识分析问题和解决问题的能力.
【解析】由 fx=x2lna+2lna+2ebx−lna2+2lna+2ebexa>1 ,得 f′x=−x2lna+2ebx−lna2ex a>1 . 由题意知, x1,x2 是方程 x2lna+2ebx−lna2=0 的两个实数根 Δ>0 恒成立 ) ,所以有 x1+x2= −2eblna,x1x2=−lna . 因为 a>1 ,所以 x1x2=−lna0,0