河南省湘豫名校联考2025-2026学年高一上学期12月阶段性质量检测数学试卷含解析（word版）

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1. 命题“ ∃x∈R,x2+x−1>0 ”的否定为( )
A. ∃x∉R,x2+x−1≤0 B. ∃x∈R,x2+x−1≤0
C. ∀x∉R,x2+x−1≤0 D. ∀x∈R,x2+x−1≤0
【答案】D
【解析】
【分析】对于存在量词命题的否定, 可改变量词, 否定结论即可.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题, 对命题否定需要改变量词, 否定结论, 所以该命题的否定为 “ ∀x∈R,x2+x−1≤0 ”.
故选: D.
2. 已知集合 M={−1,4},N=y y=1x,x∈M ，则 M∩N= ( )
A. {−1} B. {−1,4}C. 14,4 D. {−1,14,4}
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合 N ,再根据交集的概念运算.
【详解】由题意得, N=−1,14 ,所以 M∩N={−1} .
故选: A.
3. 已知函数 fx 的定义域为 [0,+∞) ， gx=x−1 ，则下列函数的定义域不是 [0,+∞) 的是( )
A. fx−gx B. fx+gx
C. fxgxD. fxgx
【答案】D
【解析】
【分析】根据 fx,gx 的定义域直接判断各选项的定义域即可.
【详解】由题知 fx 的定义域为 [0,+∞),gx 的定义域为 R ,
则 fx−gx,fx+gx,fxgx 的定义域均为 [0,+∞) ,
因为 y=fxgx 中 x≥0x−1≠0 ,所以 x∈[0,1)∪1,+∞ ,
所以函数 y=fxgx 的定义域为 [0,1)∪1,+∞ .
故选: D.
4. 已知 a=b2b>0且b≠1 ，则 lgbab3= ( )
A. 15 B. 23 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算法则计算即可.
【详解】由题得 lgbab3=lgbb2⋅b3=lgbb5=5⋅lgbb=5 .
故选: C
5. 已知方程 3x=2−x 与 lg3x=2−x 的实数根分别为 x1,x2 ,则 x1+x2= ( )
A. 2 B. 1 C. 12 D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】由函数 fx=3x 与 gx=lg3x 的图象关于直线 y=x 对称,并且 y=2−x 也关于直线 y=x 对称,得到两条直线的交点坐标为 1,1 ,进而得到答案.
【详解】因为函数 fx=3x 与 gx=lg3x 的图象关于直线 y=x 对称,
且直线 y=2−x 也关于直线 y=x 对称,且两条直线的交点坐标为 1,1 ,
所以直线 y=2−x 与曲线 y=fx,y=gx 的两交点 A,B 关于点 1,1 对称,
所以 x1+x22=1 ,可得 x1+x2=2 .
故选: A.
6. 对于任意的 x,y∈R ,都有 fxfy=fx+y ,且 f0≠0 ,则下列等式不一定成立的是( )
A. f0=1 B. f1=2
C. fxf−x=1 D. f1f2f3=f6
【答案】B
【解析】
【分析】应用赋值法计算判断 A,C ,应用 特殊函数计算判断 B ,多次应用已知条件计算判断 D .
【详解】令 x=y=0 ,有 f0f0=f0 ,且 f0≠0 ,得 f0=1, A 成立;
令 y=−x ,得 fxf−x=f0=1,C 成立;
不妨设 fx=3x ,满足 fxfy=fx+y ,则 f1=3, B 不成立;
f1f2f3=f1+2f3=f3+3=f6,D 成立.
故选: B.
7. 已知 p:fx=x,x≤0,2x+a,x>0 是单调递增函数; q:a−2a−5≤0 ,则 p 是 q 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据分段函数的单调性以及不等式解集求解出 a 的取值范围,然后根据 a 的取值范围之间的关系判断出结果.
【详解】因为 fx 是单调递增函数,且 y=x 在 −∞,0 上单调递增, y=2x+a 在 0,+∞ 上单调递增, 所以 20+a≥0 ,即 a+1≥0 ,即 a 的取值范围是 [−1,+∞) .
不等式 a−2a−5≤0 的解集为 2,5 .
又 2,5�−1,+∞ ,所以 p 是 q 的必要不充分条件,
故选: B.
8. 定义 max{a,b}=a,a≥b,b,a0 ,所以方程有两个不相等的实数根, C 正确;
因为方程 cx2+bx+a=0 的判别式 Δ=b2−4ac>0 ,所以 fx=cx2+bx+a 的图象与 x 轴有两个不同的交点,且开口向上,所以函数 fx 的图象与直线 y=1 有两个不同的交点,即方程 cx2+bx+a=1 有两个不相等的实数根, D 正确.
故选: BCD.
11. 已知函数 fx=ax+lgaxa>0,且a≠1 ,则( )
A. 若 flga4=4 ,则 a=4
B. fx 是单调函数
C. 若 a>1 ,则 gx=fx2+1 在 −2,3 上没有最值
D. 若 fa−2>f3a ,则 a 的取值范围为 3,+∞
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用对数运算性质计算判断 A ; 利用指数函数、对数函数单调性判断 B ; 确定单调性求出最小值判断 C ; 由定义域及单调性列出不等式求解判断 D .
【详解】对于 A ,由 flga4=4 ,得 alga4+lgalga4=4+lgalga4=4 ,则 lga4=1,a=4 , A 正确;
对于 B,y=ax,y=lgaxa>0且a≠1 具有相同的单调性,
因此无论 01,gx=ax2+1+lgax2+1 ,函数 t=x2+1 在 −2,0 上单调递减,在 0,3 上单调递增, 而函数 y=at+lgat 在 0,+∞ 上单调递增,因此函数 gx 在 −2,0 上单调递减,在 0,3 上单调递增, 函数 gx 有最小值 g0=a ， C 错误；
对于 D ,函数 fx 的定义域为 0,+∞ ,则 a−2>0 ,即 a>2 ,函数 fx 在 0,+∞ 上单调递增, 由 fa−2>f3a ,得 a−2>3a>0 ,解得 a>3 ,因此 a 的取值范围为 3,+∞ , D 正确. 故选: ABD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 3a2a+lg223+lg238=0 ,则 a= _____.
【答案】64
【解析】
【分析】应用指数幂运算律及对数运算律计算求解.
【详解】原方程可化为 a23−2++lg223×38=a23−12+lg214=a16−2=0 ,即 a16=2 ,解得 a=64 . 故答案为:64.
13. 已知集合 P=a−1,a+3,Q=(−3,8],P∩Q≠P ，则实数 a 的取值范围为_____.
【答案】 (−∞,−2]∪5,+∞
【解析】
【分析】先求 P⊆Q 时的范围,取补集可得答案.
【详解】依题意知 P 不包含于 Q . 若 P⊆Q ,则 a−1>−3,a+3≤8, 解得 −25 .
故答案为: −∞,−2∪5,+∞ .
14. 已知 x>−1,y>−2 ，且 1x+1+2y+2=4 ，则 2x+y 的取值范围为_____.
【答案】 [−2,+∞)
【解析】
【分析】方法一: 将题设条件化成关于 2x+y 和 xy 的方程,利用基本不等式将 xy 放大得到关于 2x+y 的一元二次不等式,求解即得; 方法二: 先将所求式 2x+y 整理成 2x+1+y+2−4 ,利用 “乘 1 ” 法和基本不等式即可求得 2x+y 的取值范围.
【详解】方法一: 由 1x+1+2y+2=4 去分母,可得 2x+1+y+2=4x+1y+2 ,整理得 4xy+32x+y+4=0 ∗,
因 x>−1,y>−2,2x+y2=4x2+y2+4xy≥8xy ,即 xy≤2x+y28 ,当且仅当 2x=y 时等号成立, 由 ∗ 可得 −32x+y−4=4xy≤2x+y22 ,即 2x+y2+62x+y+8≥0 ,解得 2x+y≥−2 或 2x+y≤−4 (不合题意舍去),
故 2x+y 的取值范围为 [−2,+∞) ;
方法二: 因为 x>−1,y>−2 ,所以 2x+y=2x+1+y+2−4 ,
2x+1+y+2=142x+1+y+21x+1+2y+2=144+4x+1y+2+y+2x+1 ≥144+24=2
当且仅当 4x+1y+2=y+2x+1 时等号成立,由 4x+1y+2=y+2x+11x+1+2y+2=4 ,解得 x=−12y=−1 , 当 x=−12,y=−1 时, 2x+1+y+2 取得最小值为 2 ，
此时 2x+y=2x+1+y+2−4 取得最小值为 -2 .
即 2x+y 的取值范围为 [−2,+∞) .
故答案为: [−2,+∞) .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 A={x∣1≤x+a≤4},B=x xx+1>b .
(1)若 a=1,b=0 ，求 A∩B ；
(2)若 b=1,x∈B 是 x∈A 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.
【答案】(1) A∩B=(0,3]
(2) 5,+∞ .
【解析】
【分析】(1) 先求出集合 A 和集合 B ,再根据交集的定义即可求出;
(2)先求出集合 A 和集合 B ，再根据必要不充分条件得到集合 A 与集合 B 的关系，进而求出实数 a 的取值范围.
【小问 1 详解】
当 a=1,b=0 时, A={x∣1≤x+1≤4},B=x xx+1>0 ,
1≤x+1≤4 ,解得 0≤x≤3 ,即 A={x∣0≤x≤3} .
xx+1>0 ,即 xx+1>0 ,解得 x0 ,即 B={x∣x0} .
所以 A∩B=(0,3] (或 A∩B={x∣0b,
由 1≤x+a≤4 ,得 1−a≤x≤4−a ,即 A={x∣1−a≤x≤4−a} ,
因为 b=1 ,由 xx+1>1 ,得 −1x+1>0 ,解得 x