重庆市四川外国语大学附属外国语学校2026届高三上学期12月月考 数学试卷(含答案）

这是一份重庆市四川外国语大学附属外国语学校2026届高三上学期12月月考 数学试卷(含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．充分必要条件
3．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
4．下列结论中错误的是（ ）
A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好
B．样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点中心为，则
5．已知是等差数列的前项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为
A．B．2C．D．
6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．的周长为6B．面积的最大值为
C．的取值范围为D．的最小值为
7．已知四棱锥的所有顶点都在球的表面上，侧棱长均为，底面中，，，，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数满足，则的实部为2
B．若，则为实数
C．若，则
D．若，则的最大值为2
10．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，则点到轴的距离为6
C．当，则直线的倾斜角为
D．
11．对于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．任取，都有
B．，其中
C．对一切恒成立
D．方程有两个相异实根，则
三、填空题
12．的展开式中，按的升幂排列的第3项的系数为 ．
13．若函数的部分图象如图所示，且，则的最小正周期为 ；


14．三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”.公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”.某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角的顶点与坐标原点重合，点在第四象限，且点在双曲线的一条渐近线上，而与在第一象限内交于点.以点为圆心，为半径的圆与在第四象限内交于点，设的中点为，则.若，则的值为 .
四、解答题
15．已知函数（、，）的周期为，在时取到最大值，记．
（1）求函数的表达式；
（2）若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和．
16．羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图五面体，四边形与四边形均为等腰梯形，其中，，，，为中点，平面与平面交于.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
17．已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，证明：直线l过定点，并求出此定点.
18．在足球训练中，甲、乙、丙三人进行传球训练．每次传球按以下规则转移：当球在甲脚下时，他有的概率继续控球（不传给别人），的概率传给乙；当球在乙脚下时，他有的概率回传给甲，的概率传给丙；当球在丙脚下时，他有的概率传给甲，的概率传给乙．初始时球在甲处，每次传球是相互独立的．
（1）求两次传球后球在乙处的概率，以及三次传球后球在丙处的概率；
（2）记次传球后，球在甲处的概率为，在乙处的概率为．
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）求和的通项公式．
19．已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设；若是方程的两个不同实根，求证：
（3）若对任意，都有，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】因为或，
所以集合或，
故.
故选：D
2．D
【详解】直线与直线平行，
所以且，解得，
所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件，
故选：D
3．C
【详解】函数的定义域为，
函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
而，所以函数零点所在的一个区间是.
故选：C
4．C
【详解】对于A选项，决定系数越大，回归模型的拟合效果越好，故A正确；
对于B选项，样本数据，，，的方差为8，
则数据，，，的方差为，故B正确；
对于C选项，随机变量服从正态分布，均值，
正态曲线的对称轴为，
，，
由对称性知，，，故C错误；
对于D选项，经验回归方程过样本中心点，将代入中得，
，解得，故D正确.
故选：C
5．A
【详解】∵成等比数列，
∴，解得：，
∴，
令，令，其中的整数，
∵函数在递减，在递增，
∴当时，；当时，，
∴.
故选：A.
6．D
【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，的周长为，A正确；
对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确；
对于C，，解得，C正确；
对于D，由，得，D错误.
故选：D
7．B
【详解】由于，所以，
连接，在中，由余弦定理可得．
设四边形的外接圆半径为，
则在中，由正弦定理可得，则，得．
因为四棱锥的侧棱长均相等，因此顶点在底面内的射影到四边形各顶点的距离相等，
故在底面内的射影为四边形外接圆的圆心，
连接，则．
设球的半径为，当在线段上时，，，解得；
当在线段的延长线上时，，，此时无解．
所以，因此球的体积.
故选：B．
8．B
【详解】如图所示，连接，可得，且垂足为
要使得取得最小值，
即，
又由，
，
显然，当最小时，同时取得最小值，
所以，当时，且，
所以.
故选：B.
9．ABD
【详解】对于A，解方程，，的实部为2，A正确；
对于B，,则共轭复数，
则，若，则，得，故为实数，B正确；
对于C，举反例，设，则，
计算得：，，故，但是且，C错误；
对于D，表示复平面上以为圆心、半径为1的圆.
表示圆上点到原点的距离，最大值为圆心到原点的距离加上半径，即，D正确.
故选：ABD
10．ABD
【详解】对于A，由题意可得，所以抛物线，
所以抛物线的准线方程为：，故A正确；
对于B，设，
由，所以，
所以点到轴的距离为6，故B正确；
对于C，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，
过点作的垂线，垂足为点，由，
设，则，所以，
所以，在中，有，此时直线的倾斜角为，
根据抛物线的对称性有直线的倾斜角为或，故C错误；
对于D，设直线，，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故选：ABD.
11．ACD
【详解】当时，函数在时取最大值1，在时取最小值，
当时，可视为的图象向右每2个单位一平移，
其函数值为相邻上一个区间对应值的，因此，
作出函数的图象，如图，
对于A，当时，，任取，
，A正确；
对于B，，数列是
以为首项，为公比的等比数列，，
因此，B错误；
对于C，由，得，则，，
因此，C正确；
对于D，方程有两个相异实根，则，
由，解得或，于是，
所以，D正确.
故选：ACD
12．3
【详解】由已知可得，展开式中含有常数项、一次项、两次项，
所以，按的升幂排列的第3项即含的项.
展开式中的常数项为，展开式中含的项为；
展开式中含的项为，展开式中含的项为；
展开式中含的项为，展开式中的常数项为.
所以，的展开式中，含的项为.
故答案为：3.
13．/
令，得；
令，得；
令，得.
由图可知，.
由，得，解得.
所以的最小正周期为.
故答案为：.
14．
【详解】令，则，直线的倾斜角为，则斜率，
显然，而，
则等腰三角形的底角为，，
即，而，则，则，
，
又，解得，
则直线，由，解得，
又，即，则得，
故答案为：.
15．（1）；
（2）.
【详解】（1）由题意，函数（、，）的周期为，
所以，即，解得，
又函数在时取到最大值，所以，
解得，，
又，所以当时，，
所以函数的表达式为；
（2）由（1）知，函数的表达式为，
所以，，
又数列为等差数列，则，解得，，
所以，
又，所以，即数列为首项是，公比为的等比数列，
所以数列的前项和.
16．（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）证明：因为是的中点，，所以，
因为，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面CDE，平面CDE，
所以平面；
（2）取中点为，中点为，连接和，
因为四边形与四边形均为等腰梯形，且是的中点，
所以，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，，，，，，，
，，设平面的一个法向量，
所以，，令，则，，得，
易知是平面的一个法向量，
所以，
根据图知二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
17．（1）
（2）证明见解析，直线过定点
【详解】（1）由的最大值为3，得，由为椭圆上顶点时，为等边三角形，
得，联立解得，则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）法一：由（1）知，设，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为，直线的方程为，
由，得，
由，得，即，
由，得，
由，得，即，
则，
因此直线的方程为，即，
所以直线过定点．
法二：由（1）知，设，
直线斜率分别为，
则，由，得，
于是，由，得，
设直线的方程为，
由，得，
由，得，解得，
则，，
则，解得，
所以直线过定点.
18．（1）;
（2）（i）证明见解析；（ii）；
【详解】（1）两次传球后球在乙处：只有“甲→甲→乙”这一种情况.第一次甲传给甲概率是，第二次甲传给乙概率是，分步用乘法，所以概率为.
三次传球后球在丙处：只有“甲→甲→乙→丙”这一种情况.第一次甲传给甲概率，第二次甲传给乙概率，第三次乙传给丙概率，分步用乘法，概率为.
（2）（i）表示次传球后球在乙处的概率，它有两种情况：
第次球在甲处，第次甲传给乙，概率为；
第次球在丙处，第次丙传给乙，概率为.
所以.
则.
又，.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（i i）由（i）可知，所以.
因为，
则，
所以，符合上式，
所以.
19．（1）
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）由题意可知当时，，
则点，
，所以，
所以在处的切线方程为，即；
（2）证明：由题意知，
令，又，
即，所以，
所以，设函数，
则，
所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
欲证，即证，
不妨设，则，则，
令，
由
，
所以在上单调递减，，
所以，即
又在上单调递增，所以，即，
故得证；
（3）恒成立等价于，
令，上述不等式化为
令，则该函数单调递增，
即，
所以，
若，取，显然，与题设矛盾；
若，取，有，也与题设矛盾；
所以，则，
不妨设，
则
当时，，
所以在上单调递增，则，此时满足，
当时，令，
则
，
由导数的意义可知在的极小的区域内值为负，则取，有，与题设矛盾；
综上所述：