重庆市外国语学校（川外附中）2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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数学试题
（满分150分，120分钟完成）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数则=（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】代入即可求解.
【详解】.
故选：D.
2. 已知，则是成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，将化简，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果.
【详解】由可得，即，
由可得，即，
即，所以，
所以是成立的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用对数指数函数单调性先分别计算出、、的取值范围，借助中间值，再进行比较.
【详解】，因为，指数函数在R上单调递增，所以.
，因为，指数函数在R上单调递增，所以.
，因为对数函数在上单调递增，所以.
因为，，所以，
故选：A.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到函数为奇函数，且时，，结合选项，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除A、C选项，
当时，，所以B项符合题意.
故选：B.
5. 下列函数中，在区间上是严格增函数且在区间上存在零点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】发现函数零点不在上判断A，C，举反例判断B，利用反比例函数性质判断单调性，再求解零点判断D即可.
【详解】对于A，令，且使，解得，
得到在区间上不存在零点，故A错误，
对于B，令，而，，
得到，则在区间上不可能是严格增函数，故B错误，
对于C，令，且使，解得，
得到在区间上不存在零点，故C错误，
对于D，令，，
由反比例函数性质得在区间上单调递增，
则在区间上单调递增，可得在区间上是严格增函数，
令，解得，符合题意，故D正确.
故选：D
6. 已知,且,那么等于( )
A. 16B. －16C. －24D. －32
【答案】D
【解析】
【分析】把原函数写成一个奇函数加常数的形式，然后利用奇函数的性质获解
【详解】设,则
所以
因为
所以
所以,即
故选：D
7. 已知函数定义域为，且满足：，，，，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的对称性和单调性求解.
【详解】因为，所以关于对称，
又，所以在单调递减，
所以在单调递增.
又，所以，所以，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
8. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出图形，得到，，，进一步将所求转换为二次函数的值域即可.
详解】如图所示，
，
设，，
则，，是方程，即的两个正根，所以，
令，解得或，
所以，由题意，
所以的取值范围是.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由函数的定义可判断AD；举反例可判断BC.
【详解】对于A、D，集合为正整数集，集合为正偶数集，
由指数函数和正比例函数的性质可知，集合中的每一个元素都在集合中有唯一确定的元素对应，所以能建立从集合到集合的函数关系，故A、D正确；
对于B、C，当时，集合中没有与之对应的元素，故B、C错误.
故选：AD.
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）．
A. 函数的图象恒过定点
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在区间上的最小值为0
D. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】代入验证可判断A，由复合函数的单调性判断B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断C，由函数单调性建立不等式求解可判断D.
【详解】代入函数解析式，成立，故A正确；
当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增，故B错误；
当时，，所以，故C正确；
当时，恒成立，所以由函数为增函数知即可，解得，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 为上的增函数D. 为奇函数
【答案】BD
【解析】
【分析】A：通过赋值法先计算出的值，然后可计算出的值，根据可得结果；B：赋值法直接求得结果；C：根据得到，结合条件判断正负可得单调性；D：通过赋值可得，然后通过变形可判断是否为奇函数.
【详解】对于A：令，则，令，则，
令，则，故错误；
对于B：由A选项的计算可知，故正确；
对于C：，则，则，
因为，所以，又时，，
所以，所以，
所以为上的减函数，故错误；
对于D：令，则，则，
所以，所以，且定义域为关于原点对称，
所以为奇函数，故正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 函数的零点为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据函数零点的定义列式求解即得答案.
【详解】令，得，解得，
所以函数的零点为3.
故答案为：3
13. 设函数定义域为为奇函数，当时，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数得出，再代入计算求参.
【详解】由为奇函数可得．
令得，
所以，解得．
故答案为：
14. 在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】对已知方程两侧取对数得、，利用同构求得，构造并应用导数研究单调性判断对应关系，进而求目标式的值.
详解】对两边取自然对数，得①，
对两边取自然对数，得，即②，
因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，
设且，则，
所以在上单调递增，故的解只有一个，
所以，则．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：对已知方程取对数，应用同构思想求得，再应用导数研究同构所得函数的单调性得到为关键.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质运算即可.
（2）利用对数运算性质运算即可.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
16. 已知定义在上的偶函数，当时，．
（1）求函数在上的解析式；
（2）在坐标系中作出函数的图象；
（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）作图见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数定义求解时的解析式，进而求得答案.
（2）利用二次函数图象，结合偶函数图象性质作出函数图象.
（3）利用图象求出函数的单调递增区间，再结合集合的包含关系列式求解.
【小问1详解】
由函数是偶函数且时，，
当时，，，
所以函数在上的解析式为.
【小问2详解】
函数图象在轴右侧是开口向上且过点和，
顶点为的抛物线在轴及右侧部分，
再将在轴右侧的图象关于轴对称得在轴左侧的图象，如图：
【小问3详解】
由图象知，函数的单调递增区间为和，
由函数在上单调递增，得或
即或，解得或，
所以实数的取值范围．
17. 王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
（1）有下列函数模型：①；②；③.试从以上函数模型中，选择模型________（填模型序号），近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年份x的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式；
（2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？（参考数据：）
【答案】（1）①，；（2）2022年
【解析】
【分析】
（1）由题意可得函数单调递增，且增长速度越来越快，则选模型①，再结合题设数据求解即可；
（2）由题意有，再两边同时取对数求解即可.
【详解】解：（1）依题意，函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型①符合，
设，将，和，代入得
；解得.
故函数模型解析式为：.
经检验，和也符合.
综上：；
（2）令，解得，两边同时取对数得：
，，
，
.
综上：从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨.
【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属中档题.
18. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数的值域．
（3）设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值．
【答案】（1）偶函数，理由见解析 （2）答案见解析
（3）2
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性的判定方法即可求解；
（2）由（1）可得，由对数函数定义域可得，然后分，两种情况，即可求解；
（3）由题化简可得，令，则可得，，再结合二次函数性质及最小值，即可求解.
【小问1详解】
偶函数，理由如下：
由题意得，则，
所以的定义域为，关于原点对称，
由，
则，
所以是偶函数.
【小问2详解】
因为，
因，又因为，则，
①当时，为增函数，此时，故的值域为，
②当时，为减函数，此时，故的值域为.
综上所述，当时，故的值域为.
当时，的值域为.
【小问3详解】
由题意，
设，因为为增函数，为减函数，所以为增函数，
所以时，，
所以在区间上的最小值为，且对称轴为，开口向上，
①当，即时，此时在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值为，不符合题意，故舍去；
②当，即时，此时在区间上单调递减，
在上单调递增，则时，有最小值为，解得（负值舍去），符合题意；
③当，即时，此时在区间上单调递减，
所以当时，最小值为，解得舍去.
综上所述，的值为.
19. 已知且是上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）设.求的解析式，并求其值域；
（3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1），
（2），值域为
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据可求得，代回解析式验证可知满足题意；由可求得的值；
（2）根据（1）中结论可整理得到，并由得其定义域；结合基本不等式和不等式的性质可求得的值域；
（3）结合的对称性可得的对称中心，由对称性可求得，根据不等式有解可得，由此可得的取值.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，，解得：；
当时，，
则，满足为奇函数；
，，又且，；
综上所述：，.
【小问2详解】
由（1）得：，
，
，，定义域为，
.
，，
（当且仅当时取等号），，
，，的值域为.
【小问3详解】
由题意知：，
，
；
为奇函数，图象关于中心对称，
图象关于中心对称，，
；
若存在正整数，使不等式有解，则，
，解得：，
存在正整数或，使不等式有解.
年份x
2016
2017
2018
2019
包装垃圾y（万吨）
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13.5