湖南省T8联考暨“五市十校”教学联盟考试2026届高三上学期12月检测训练 数学试卷

这是一份湖南省T8联考暨“五市十校”教学联盟考试2026届高三上学期12月检测训练 数学试卷，共18页。试卷主要包含了已知点G为的重心，若，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A.B.
C.D.
2.已知复数z满足，则( )
A.4B.C.2D.
3.已知，，，则的最小值为( )
A.3B.2C.D.1
4.已知点G为的重心，若，则( )
A.0B.1C.D.3
5.已知数列的前n项和为，且满足，，若对任意.恒成立，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
6.图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为.设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则( )
A.B.C.D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作圆的切线.交双曲线C的右支于点M，若，则实数( )
A.B.C.2D.
8.已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比( )
A.极差相同B.平均数不同C.方差不同D.中位数相同
10.已知函数，，，则下列说法正确的是( )
A.B.不等式的解集为
C.D.1为函数的极大值点
11.已知正四棱锥的底面边长为1，高为h，该正四棱锥的顶点P在正方体的内部（包括表面），则下列结论正确的是( )
A.h的取值范围是
B.若正四棱锥的侧棱长为，则
C.当点P为正方体的上底面的中心时，正四梭锥外接球的表面积为
D.当点P为正方体的内切球球心时，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为.则n的值为__________.
13.已知抛物线的焦点为F.斜率为1的直线l与抛物线C交于M，N两点.则的值为__________.
14.已知，，则的最小值为__________.
15.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求角C的大小；
（2）若点D在边AB上，且满足，求的值.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（1）1个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动1个单位长度（相对于原点O，质点向右移动了个单位长度后位置记为i，向左移动了个单位长度后位置记为）.已知质点每次向右移动的概率为.记X为质点从原点O出发，移动2次后的位置，求满足随机变量X的期望大于0的p的取值范围；
（2）1个质点从平面直角坐标系中某点A出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动1个单位长度，求该质点经过4次移动后回到点的概率.
17.如图，在斜三棱柱中，，，，O是BC的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若底面ABC，且直线与底面ABC所成角为，D是棱的中点，求平面与平面ABC夹角的余弦值.
18.已知椭圆的左、右焦点分别为，.且椭圆C过点，椭圆的下顶点为E.
（1）求桶圆C的方程：
（2）过右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A在点B的上方），与y轴交于点P（点P在点E的下方）.Q为点P关于原点的对称点，QB交x轴于点R，设，，的面积分别为，，.
①若直线l的斜率为2，求的值；
②是否存在直线l，使Q，R，，A四点共圆？若存在，试判断直线l的条数；若不存在.请说明理由.
19.约翰•卡尔•弗里德里希•高斯，德国著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，.已知函数.
（1）当和时，求的值；
（2）设，，，.
①求的表达式；（，，）
②求的表达式.
参考答案
1.B
解析：，或,或.
2.C
解析：方法一：.
方法二：，.
3.D
解析：，最小值为1，此时.
4.B
解析：如图，延长AG交BC于点D，则，且不共线，.
5.A
解析：方法一：由得当时，.
是首项为-5，公差为2的等差数列.
的最小值为.
方法二：当时，①，②.
①-②得，∴数列是首项为-5，公差为4的等差数列.
，令得的最小值为.
6.A
解析：由题得筒车半径为2m，转动一圈需要40s，且轴心O距水面高度为，.
又以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，.又.
7.D
解析：如图，设点M在第一象限，过点作于点G，设N为圆O的切点，连接.
在中，，由双曲线定义得.
8.B
解析：.又定义域为关于原点对称，为偶函数.要使恰有4个零点，则需使在区间（0，上恰有2个零点.当时，.
方法一：令，显然不是方程的根，，记，问题转化为在区间（0，上有2个解.
又，时，单调递减；时，单调递减；时，单调递增，且.当从1的左侧无限趋近于1时，趋近于；当从1的右侧无限趋近于1时，趋近于；当趋近于时，趋近于.又.方法二：，易知在区间上单调递增，∴要使在区间上恰有2个零点，则需满足在区间上有零点，记为，且，且.当时，单调递减；当时，单调递增.，∴当在区间上恰有2个零点时，需满足..易知在区间上单调递增，.综上所述，.
9.AB
解析：极差为最大值与最小值的差，∴极差相同，∴选项A正确；原数据的平均数，新数据的平均数平均数不同，∴选项B正确；
原数据的方差，新数据的方差方差相同，∴选项C错误；中位数显然不同，∴选项D错误.
10.ACD
解析：选项A正确；在区间上单调递增.又，解集为选项B错误；，且，，由.,∴选项C正确；时，时，.又为极大值点，∴选项D正确.
11.ACD
解析：记正方形ABCD和正方形的中心分别为O和，则点P在线段（不含端点O）上，易知选项A正确；
在中，选项B错误；如图，记四棱锥的外接球球心为G，则点G则在OP上，连接CG.在中，，则，∴选项C正确；
该正方体恰好放入与四棱锥体积相同的6个四棱锥，∴公共部分的体积为正方体内切球体积的公共部分的体积为选项D正确.
12.6
解析：第6项系数为，又第7项系数为.
由题可知.
13.
解析：设，由抛物线定义得.
.
14.-3
解析：令，则，或，或.∴点（）在圆位于第一、二、四象限（包括坐标轴）的部分上.∵点到直线距离为,又.下求d的最大值.如图，d的最大值为点（-1，0）到直线的距离，,.
15.解：（1）在中，，，，
方法一：在中，由正弦定理得，.
，.
，.,，.
方法二：，，，
（2）方法一：如图，过点D作DH垂直于AC于点H.由题可得.
设,,,,.
方法二：在中，由正弦定理得①,
在中，由正弦定理得②，②÷①，得.
16.解：（1）由题可知X的可能取值为，,,。
X的分布列如下。
,
.
（2）移动四次，样本空间的样本点总数为，每个样本点出现的可能性相等，且为有限个，
记质点经过4次移动后回到点A为事件B，要4次回到起点A，则向左向右移动次数相等，向上向下移动次数相等，∴事件B包含的样本点个数为，（或）
由古典概型计算公式得.质点移动四次后回到点A的概率为。
17.（1）证明：如图，连接,.
,，,
为BC中点，.
又，.
又,平面,平面,平面.5分平面平面平面.
（2）解：平面,为与平面ABC所成的角，即。由题可知两两垂直，以为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。
设，
，,,
，,.
设平面的一个法向量为，令，
.
平面取平面ABC的法向量，记平面与平面ABC的夹角为，则,
∴平面与平面ABC夹角的余弦值为.
18.解：（1）∵椭圆的左、右焦点分别为，，且过，，，
∴椭圆的方程为.
（2）①直线方程为，设，。
联立消去，得，.
由题得.
②假设存在直线，设直线方程为。
联立消去，得恒成立，，，.
如图，延长QA交轴于点，若四点共圆，则.
.
又，.
由，得，
由点在点下方得，
记，.
又，∴存在直线，条数为1条.
19.解：（1）当时，，
当时，.
（2）①由条件可知，当时，连续且单调递减
,.
.又，，即。，，.又，，.，，.
又.
同理，可得，依此规律，归纳可得.
下面用数学归纳法证明此归纳结论：当时，，。假设当时，，。
则当时，，.，.
综上可知，，，对成立。
，.
或且
②设恒成立，∴当时，单调递增。，由①知，且，，.
当时，；当时，由得,，,；
同理，当时，,，.
综上所述，.X
-2
0
2
P