湖南省新高考教学教研联盟2026届高三上学期12月联考数学试卷（学生版）

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这是一份湖南省新高考教学教研联盟2026届高三上学期12月联考数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（）
A. B. C. D.
3. 若角的终边过点，则（）
A. B. C. D. 3
4. 的展开式中，的系数为（）
A. 80B. 40C. D.
5. 已知向量与的夹角为，，，则（）
A. B. 0C. D. 2
6. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（）

A. B. C. D.
7. 已知双曲线，有相同的渐近线，焦点分别在轴、轴上，离心率分别为，，则的最小值为（）
A. 4B.
C. 3D.
8. 若，，使得，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足（）
A. 平均数为B. 中位数为
C. 方差为D. 极差为
10. 正方体中，点分别为棱的中点，则（）
A. B. 平面
C. 平面D.
11. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，曲线交于点，，若，则（）
A. B.
C. 面积的最小值为1D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知，则______.
13. 在正项等比数列中，若，，则______.
14. 已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 记的内角，，的对边分别为，，，.
（1）求；
（2）若的角平分线交边于点，，，求的周长.
16. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，是的中点.若四棱锥有外接球.
（1）求四棱锥外接球的体积；
（2）求二面角的余弦值.
17. 将编号为，，，的小球随机放入编号为，，，的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为的盒子里小球的编号为，若，则称该小球为“配球”.
（1）当时，求“配球”个数的分布列和期望.
（2）已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，，则.
（i）求“配球”个数的期望.
（ii）若满足：当时，；当时，；当时，，且，则称该小球为“顶球”，求“顶球”个数的期望.
18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与相切于，，三点，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率不存在，求的中心坐标；
（3）求证：点不是的中心.
19. 已知函数.
（1）若，求证：；
（2）若数列满足，前项和为，求证：；
（3）若等差数列的公差，前项和为，，求.