2026湖南省新高考教学教研联盟高三上学期12月联考试题（长郡二十校联盟）数学含解析

这是一份2026湖南省新高考教学教研联盟高三上学期12月联考试题（长郡二十校联盟）数学含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．3
4．的展开式中，的系数为（ ）
A．80B．40C．D．
5．已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A．B．0C．D．2
6．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ）

A．B．C．D．
7．已知双曲线，有相同的渐近线，焦点分别在轴、轴上，离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．4B．C．3D．
8．若，，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足（ ）
A．平均数为B．中位数为C．方差为D．极差为
10．正方体中，点分别为棱的中点，则（ ）
A．B．平面
C．平面D．
11．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，曲线交于点，，若，则（ ）
A．B．
C．面积的最小值为1D．
三、填空题
12．已知，则 .
13．在正项等比数列中，若，，则 .
14．已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为 .
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的角平分线交边于点，，，求的周长.
16．如图，在四棱锥中，平面，且，，，，是的中点.若四棱锥有外接球.

(1)求四棱锥外接球的体积；
(2)求二面角的余弦值.
17．将编号为，，，的小球随机放入编号为，，，的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为的盒子里小球的编号为，若，则称该小球为“配球”.
(1)当时，求“配球”个数的分布列和期望.
(2)已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，，则.
（i）求“配球”个数的期望.
（ii）若满足：当时，；当时，；当时，，且，则称该小球为“顶球”，求“顶球”个数的期望.
18．已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与相切于，，三点，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率不存在，求的中心坐标；
(3)求证：点不是的中心.
19．已知函数.
(1)若，求证：；
(2)若数列满足，前项和为，求证：；
(3)若等差数列的公差，前项和为，，求.
参考答案
1．A
【详解】令，解得，则，
因为，所以，故A正确.
故选：A
2．C
【详解】由，
所以复数的虚部为．
故选：C．
3．B
【详解】由角的终边过点，得，
所以.
故选：B.
4．D
【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取，
即可得出含的项，其为，
故的系数为.
故选：D
5．D
【详解】，又，
所以，则.
故选：D
6．B
【详解】由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分，
将区域还原到如图所示圆柱中.

由图可知，，，
由扇形的弧长公式可知，的长为，
结合圆柱的侧面积公式可知，
所以，
所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为.
故选：B
7．D
【详解】设双曲线，，，，，，
则对于，其半焦距为，长半轴为，则；
对于，其半焦距为，长半轴为，则，
则，
结合（当且仅当时取等号）及基本不等式，
，
当且仅当时取等号.
故选：D
8．A
【详解】由，得，，
由，得，，
若，，使得，
则的区间长度要不小于的解集的区间长度，
，.
故选：A
9．BCD
【详解】因为点与点关于点对称，
所以，则，
又，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，
所以，，，，这组数的平均数为，中位数为，方差为，极差为，
故BCD正确，A错误.
故选：BCD
10．BC
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2.
A：因为，
所以，
因为，
所以不成立，故本选项说法不正确；
B：因为，
所以，
因为，
所以，而平面，
所以平面，因此本选项说法正确；
C：设平面的法向量为，
因为，所以，
于是有，，
因为，平面，
所以平面，因此本选项说法正确；
D：因为，所以，而，
显然不存在实数，使得成立，所以不成立，因此本选项说法不正确，
故选：BC
11．ACD
【详解】如图：
选项A：由题意知，曲线过点，延长交抛物线于点，
由对称性可知点与点关于轴对称，则，
不妨设直线，则，
所以，
，，，故A正确；
选项B：，则，故B错误；
选项C：，则的最小值为1，故C正确；
选项D：，
，，
，故D正确.
故选：ACD
12．1
【详解】由知，，，同理可得.
得到.
故答案为：1
13．1024/
【详解】由题意知，，
因为正项等比数列，所以，
由，可得，
所以，即.
故答案为：
14．
【详解】令，则，
令，，在区间上单调递增，且，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
令，易知在区间上单调递增，
又，，.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理，得，
，，
，，，，或.
，，，即.
（2）如图：
，
，①，
又在中，由余弦定理可得，即②，
将①代入②得，或（舍）, .
的周长为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）平面，四棱锥有外接球，
四边形有外接圆，
，
为四边形的外接圆的直径，的中点为圆心，且，
是的中点，，，
取的中点，连接，，则，
平面，平面，，
外接球的球心即为点，半径为，
外接球的体积为.
（2）法一：如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

由（1）知，，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
令，则，
设平面的法向量，则，
令，则，
，
由图可得，二面角的余弦值为.
法二：，，中，，，，
，，
，设点到平面的距离为，
，，解得，
记大小为，，.
17．(1)分布列见解析，期望为1
(2)（i）；（ii）
【详解】（1），
，，，
则的分布列为
.
（2）（ⅰ）记则，，
.
（ⅱ）记则，
设第个球是“顶球”的概率为，则，，当时，，
.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知解得
则椭圆的方程为.
（2）不妨先设直线，如图，
为正三角形，
不妨设，分别在轴的上、下方，则直线的斜率为，
设直线，，联立，
直线与椭圆相切，
，解得，即直线过点，
同理可得，直线过点，.
此时，关于轴对称，的中心在轴上，坐标为，
同理，当直线为时，由对称性可知，的中心坐标为，
综上，的中心坐标为.
（3）由（2）可知，当三条切线，，中有一条直线斜率不存在时，的中心不是点.
当三条切线，，的斜率都存在时，

设，，，，
设，
则，
整理得，
，
，，
，，
，，
，
同理可得，，，
假设点是的中心，则点到，，的距离相等，
，
，，，
，，中必有两点关于坐标原点对称，此时存在两条切线互相平行，，，不能围成三角形，
原假设不成立，即点不是的中心.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）
，
故，
，
，
，，，
即，，
.
（2），
，
，，
，，
.
（3）为等差数列，
，
同理可得，，，，
，
令，
，
，，
，在上单调递增，则方程有且仅有一个解，
∵，0
1
3