浙江省杭州第四中学2026届高三上学期第四次月考数学试卷（Word版附解析）

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命题：步一隽 审题：韩扬
2025年12月
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号.
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.
4．考试结束，只上交答题卷.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 4D. 8
3. 函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A. 和3B. 和2C. 和3D. 和2
4. 已知向量,若与垂直，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
6. 正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 记的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设定义在上的函数，若，，下列条件可确保恒成立的为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有错选的得0分.
9. 已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. Q是线段的一个三等分点D.
10. 在生产生活中，人们常用十进制计数，而本福特定律说明在进位制中，以数字起头的数出现的概率为，此定律可用于检查数据造假等问题.现定义10-本福特函数，则（ ）
A. 表示十进制中以数字2起头的数出现的概率
B. 曲线关于点对称
C.
D.
11. 在棱长为1的正方体中，已知点P为侧面上的一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点P总保持，则动点P的轨迹是一条线段；
B. 若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一段圆弧；
C. 若P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是一段抛物线；
D. 若P到直线与直线的距离比为，则动点P的轨迹是一段双曲线.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则___________．
13. 某商店组织了一场盲盒抽奖活动，组织方共准备了20个盲盒，其中有5个盲盒内有奖品．抽奖者甲先拿起了一个盲盒，正在犹豫是否打开的时候，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则________．
14. 已知函数有两个极值点，（）若存在，使得成立，则取值范围为__________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分．
（1）根据近几年数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标．现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数．（结果四舍五入保留整数）
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望．
附：若，则，
16. 各项不为0的数列满足，且.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
17. 已知在平面直角坐标系中，椭圆，其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直直线与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的长轴长和离心率；
（2）若直线斜率为1，求的面积；
（3）若，求直线方程.
18. 已知在四面体中，有条棱长为，其余条棱长为
（1）当时，求二面角的余弦值；
（2）当时，求四面体体积的最大值；
（3）当时，求的取值范围
19. 已知，函数有三个零点，，（）
（1）证明：；
（2）证明：为定值；
（3）证明：