浙江省杭州第四中学2025-2026学年高三上学期10月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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命题、审题：2025 届高三备课组
2025 年 10 月
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号.
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.
4 考试结束，只上交答题卷.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 命题“ ”的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 已知集合 ， ，且 的元素个数为 2，则实数 的取值范围为（
）
A. B. C. D.
3. 若 ， ，则直线 一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ，则圆锥母线与底面所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 偶函数，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
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6. 若非零向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
7. 已知函数 在 上恰有 个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数 ，若存在实数 ，使得 ，则 的最大
值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知某地社交媒体用户的日活跃时长 （单位：小时）服从正态分布 ，则（ ）
A. ，
B. 若 ，则
C.
D.
10. 设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则（ ）
A.
B.
C. 当 取得最大值时，
D. 使 成立的最大整数 为 13
11 设 ， ，已知函数 ，则（ ）
A. 有唯一的极值点 B. 若 有两个零点，则
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C. 若 ，且 恒成立，则 D. 若 ，且 恒成立，则
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分．
12. 已知定义在 上的连续函数 的导函数 ，设 ，则
__________
13. 已知双曲线 的右顶点为 ，过 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 ，
延长 交另一条渐近线于 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为__________．
14. 一游戏的规则如下：有①②③三个奖池，在开始时三个奖池都处于开启状态，游戏会进行若干轮，每一
轮游戏都将等可能地从开启的奖池中随机选择一个并获得对应的奖品，在一个完整游戏流程中：①号奖池
或②号奖池会在第二次被选择到后永久关闭，而③号奖池永远保持开启.则当游戏第 轮进行完成时，恰有
一个奖池关闭的概率为__________
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 一个等比数列有 3 项，如果把第 2 项加上 4，那么得到的数列等差数列；如果再把这个等差数列的第 3
项加上 32，那么得到的数列又成等比数列，求原来的等比数列.
16. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）证明： ；
（2）当角 最大时，求角 大小．
17. 已知函数 ．
（1）若函数 的图象关于点 对称，求 的值；
（2）若 是 的极大值点，求 的值；
（3）设 是 的极值点，且满足 ，求 的取值范围.
18. 已 知 椭 圆 的 上 顶 点 为 ， 右 顶 点 为 ， 直 线
与椭圆 相交于点 、 （ 构成凸四边形）
（1）求椭圆 的标准方程；
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（2）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值；
（3）用含 的代数式表示凸四边形 的面积 ，并求 的最大值
19. 随机将 这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组，每组 n 个数，A 组最小数为 ，最
大数为 ；B 组最小数为 ，最大数为 ，记
（1）当 时，求 分布列和数学期望；
（2）令 C 表示事件 与 的取值恰好相等，求事件 C 发生的概率 ；
（3）对（2）中的事件 C, 表示 C 的对立事件，判断 和 的大小关系，并说明理由．