浙江省杭州第四中学2025~2026学年高三上学期第一次月考（8月）数学试卷

这是一份浙江省杭州第四中学2025~2026学年高三上学期第一次月考（8月）数学试卷，共5页。试卷主要包含了考试结束，只上交答题卷.等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号.
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.
4．考试结束，只上交答题卷.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确是
A 若则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
2. 已知，则值为（ ）
A. B. 1C. 4D.
3. 已知函数且是偶函数，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
4. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法．
A. 72B. 144C. 108D. 96
5. 已知数列满足，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. 2C. D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9. 已知函数（，）的部分图象如图，则（ ）
A. B. 函数的图象关于轴对称
C. 函数在上单调递减D. 函数在有4个极值点
10. 在正三棱柱中，已知，点，分别为和的中点，点是棱上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ）
A. 存在点，使得平面B. 直线与为异面直线
C. 存在点，使得D. 存在点，使得直线与平面的夹角为45°
11. 已知函数，设是曲线与直线的三个交点的横坐标，且，则（ ）
A. 存在实数，使得B. 对任意实数，都有
C. 存在实数，使得D. 对任意实数，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设为复数的共轭复数，若复数满足，则______．
13. 已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为_________.
14. 锐角中，边上的高为4，则面积的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设函数.
（1）若，求函数单调区间；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数a取值范围；
（3）过坐标原点O作曲线的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.
16. 如图所示，已知三棱台中，，，，，．
（1）求二面角的余弦值；
（2）设E、F分别是棱、的中点，若平面，求棱台的体积．
17. 为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.
18. 如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；
（3）若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
19. 定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
（1）若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
（2）若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．