福建省泉州市晋江侨声中学、南安侨光中学两校2025-2026学年高二上学期12月联考二数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省泉州市晋江侨声中学、南安侨光中学两校2025-2026学年高二上学期12月联考二数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在等差数列中,,,则的公差为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
3.四面体中，，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为( )
A． B． C． D．
5.已知实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中点，，，则点到平面的距离是（ ）
A. B． C． D．
7.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（ ）
A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件
B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件
C．“摸出的球颜色相同”的概率为
D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立
10.已知椭圆，双曲线，它们的离心率分别为，，则（ ）
A．可能为等轴双曲线 B．的焦距小于的焦距
C．与恰有四个公共点 D．
11.直四棱柱的所有棱长都为4，，点P在四边形及其内部运动，且满足，则（ ）．
A．存在点P使得平面
B．直线与平面所成的角为定值
C．直线与所成角的范围为
D．点P到平面的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知数列的前n项和为,,,则 .
13.点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为 .
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与C交于M、N两点，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本题13分)在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点.
求证：平面；
(2)求与平面成角的正弦值.
16.（本题15分）如图所示，已知双曲线 QUOTE 与抛物线 QUOTE 有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M.
(1)写出抛物线 QUOTE 的焦点坐标和准线方程；
(2)若双曲线 QUOTE 的渐近线为.
(i)求双曲线的标准方程；
(ii)求点M到双曲线 QUOTE 两个焦点的距离之和.
17.（本题15分）设等差数列的公差为,且.令,记,分别为数列,的前项和,已知,
(1)求,的通项公式;
(2)若= QUOTE ，数列的前项和为,求.
18.（本题17分）如图，在四棱锥中，，．
(1)证明：平面ABCD；
(2)若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为．
（ⅰ）求PF；
（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．
19.（本题17分）已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于、两点且不过原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标；
(3)若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围．
7.如图，设准线与轴的交点为，过作，过作，垂足分别为，则．
根据抛物线定义知，，设，，
因为，所以，即，得，所以，所以，
因为，所以，即，解得． 故选：C.
8.设曲线C上任意一点为，
由题意知，曲线C方程为：，其中，
将点代入曲线方程，得：，则.
故曲线C方程为：，其中.
可得，
当时，.
因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值. 故选：D.
二、
9.记2个红球为A，B，3个白球为a，b，c，则任意摸出2个球，有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种，
“摸到2个红球”有AB，“摸到2个白球”有ab，ac，bc，“至少摸到1个红球”有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，
“摸出的球颜色相同”有AB，ab，ac，bc，“摸出的球中有白球” 有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，
A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；
B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确；
C：“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为 QUOTE ，故C正确；
D：设M＝“摸出的球中有红球”，N＝“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知
P(M)＝ QUOTE ，P(N)＝ QUOTE ，P(MN)＝ QUOTE ，显然P(MN)≠P(M)P(N)，故M，N不相互独立，故D错误． 故选ABC.
10.根据题意，因为，所以不可能为等轴双曲线，A错误；
椭圆，半焦距，
的焦距为，
双曲线，半焦距，
的焦距为，显然，B正确；
因为椭圆中，
双曲线中，
则与只有和两个交点，C错误;
，则，D正确. 故选：BD
11.由题设，棱柱底面是边长为4的菱形，且，则，
根据直棱柱的结构特征知，关于平面对称且面，
由，点P在四边形及其内部运动，则，
所以的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆（含端点），如下图示，
当与重合时，，即，面，面，
所以平面，A对；
由上分析知，直线与平面所成的角，即为半圆锥的母线与底面所成角，
所以直线与平面所成的角为定值，B对；
由，直线与所成角，即为直线与所成角，
根据对称性，当从运动到半圆的最上方时，由最小逐渐增加到最大，
即与重合时，最小为，显然不满足区间的最小值;C错
令点P到平面的距离为，到直线的距离为且，
而，，，
由，则，整理可得，
所以，D对.
故选：ABD
三、
14.由题意可得，由解得和，
即，易知直线经过点，
由可得，
故的外接圆圆心为的中点，即，
又的内切圆圆心为，则由对称性可知，点在轴上，不妨设，
易得直线的方程为，即，
则点到直线的距离等于该点到直线的距离，
即，解得或（不合题意，舍去），故得，
故.
四、
15.（1）法1：取的中点,连接,,
依题意可知：且,且
所以且,四边形为平行四边形，故，………………………4分
又平面,平面,所以平面.…………………………6分
法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
，，，,,
，，………………………………2分
设平面的法向量，
则，取，得，…………………………4分
,又面，所以平面，……………………………6分
（2）由（1），…………………………………………………………8分
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为. …………………………………13分
16.（1）因为抛物线 QUOTE ，
所以抛物线 QUOTE 的焦点坐标为 QUOTE ，准线方程为 QUOTE ……………………………4分
（2）(i) 设双曲线的方程为
则 QUOTE ， QUOTE ， ∴ QUOTE ， QUOTE ，
∴双曲线 QUOTE 的方程为 QUOTE ……………………………………………………………8分
(ii)由 QUOTE ，可得 QUOTE 或 QUOTE (舍去) 所以 QUOTE ，……………10分
由抛物线的定义可知 QUOTE ，…………………………………………………12分
由双曲线的定义可知，点M到左焦点的距离为7，…………………………………14分
∴点M到双曲线 QUOTE 两个焦点的距离之和为 QUOTE .…………………………………15分
17.(1)由,得, …………………………………………………1分
则……………………………………………………3分
又…………………………………………………5分
所以即解得(舍去)…………7分
所以………………………………………………………………………………9分
则……………………………………………………………………10分
(2)……………………12分
……………………………14分
…………………………15分
18.（1）因为平面PAD，平面PAD，所以．
又，平面ABCD，平面ABCD，，
所以平面ABCD．……………………………………………………………………3分
（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图．
（ⅰ），，，
，，，设，
则．
设平面AEF的法向量为，则即，
取，得，，
所以是平面AEF的一个法向量，……………………………………………6分
因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．……………………7分因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，
所以，得，所以．……………9分
（ⅱ）设，则．
因为为平面AEGF的一个法向量，所以，
所以，即，得，
所以，．………………………………………………………11分
，，，，，，
因为M在平面PBC上，所以，
所以．
设平面MAD的法向量，则即，
取得，所以是平面MAD的一个法向量，………………14分
设EG与平面MAD所成角为，则
因为，所以
即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为．………………………………17分
19.（1）由已知得，且，
所以椭圆的标准方程为；…………………………………………………………3分
（2）分类讨论：
①当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立方程组消去得，
则，，
由，得，…………………………………6分
由，得，即，
化简得，
从而，
化简得，
即，所以或（直线过点，舍去），
即直线的方程为，所以直线过定点．……………………………9分
②当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得，
则，所以，
可得，则，解得或（舍），
所以直线的方程为，也过定点；…………………………………………10分
（3）由（2）知且，，
，
因为直线，，的斜率分别为，且，
所以，即，即，
又，所以，，……………………………………………………………13分
因为直线的斜率存在且不过原点，结合可得，
而斜率存在，故不为上下顶点，故，
设为点到直线的距离，
则………………16分
，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
B
D
B
C
D
题号
9
10
11
答案
ABC
BD
ABD
题号
12
13
14
答案