福建省泉州市晋江侨声中学、南安侨光中学两校2025-2026学年高一上学期12月联考二数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省泉州市晋江侨声中学、南安侨光中学两校2025-2026学年高一上学期12月联考二数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“，有”的否定是（ ）
A．，有B．，有
C．，有D．，有
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，且，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．0或1
7．已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则（ ）
A．物理方向的男生多于物理方向的女生
B．历史方向的女生多于历史方向的男生
C．物理方向的女生多于历史方向的男生
D．物理方向的男生多于历史方向的女生
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若终边上一点的坐标为，则
B．若角为锐角，则为钝角
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
D．若，且，则
10．若，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．的最小值是
11．已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为
B．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为
C．函数的零点个数为5个
D．函数的零点个数为6个
三、填空题
12．若函数 （，且）的图象恒过定点，则 .
13．幂函数为偶函数，且在上是减函数，则 ．
14．已知，函数，满足，则 ，若存在，使得，则的取值范围是 .
四、解答题
15．化简求值：
(1)；
(2).
16．已知集合，
(1)求集合；
(2)当时，求；
(3)若集合，求实数的取值范围.
17．已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为.
(1)求函数解析式，并求出关于的不等式的解集；
(2)求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值.
18．设函数是定义在区间上的函数，若对区间中的任意两个实数，都有，则称为区间上的下凸函数（即凹函数）.
(1)已知为下凸函数，若，求最大值.
(2)求证：函数在是下凸函数（即凹函数）．
(3)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请试着用凹函数的这种性质证明下面的不等式：．
19．已知函数在某个区间上的单调性遵循“同增异减”的规律，具体如下：
设函数（，且）．
(1)若，求的值；
(2)若对于任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围；
(3)证明：． 若函数满足，，函数一定是偶函数吗？请说明理由．
1．C
根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”.
故选：C.
2．C
根据对数有意义、根式有意义列不等式求解即可．
【详解】因为函数，
所以，解之可得，
函数的定义域为．
故选：C．
3．C
求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案.
【详解】由题意知一元二次方程的两根为，
要使得方程有一个正实根和一个负实根，需，
结合选项知，只有，
即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是，
故选：C
4．D
根据条件，利用“齐次式”，即可求解.
【详解】因为，则，
故选：D.
5．D
先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
6．B
根据分段函数解析式求出的值，再代入计算可得.
【详解】因为且，
所以或，
解得或，
当时，；
当时，；
综上可得的值为.
故选：B
7．C
根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，计算可得结论.
【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，
根据题意可得，所以，
即，故物理方向的女生多于历史方向的男生.
故选：C.
8．D
由函数的单调性结合，去求解即可.
【详解】，定义域为R，
令，则，
则，
即关于中心对称，
当时，由解析式可知单调递增，
对称性得：当时，单调递增，
所以在上是增函数，
又在上是增函数，
所以在上是增函数，
，
所以
则，
即，
由单调性可得：，
解得：，
所以不等式的解集为，
故选：D
9．ACD
由终边上的点坐标及余弦函数的定义判断A；特殊角判断B；应用扇形的弧长、面积公式判断C；利用同角三角函数关系求已知角的正余弦值，进而求正切值判断D.
【详解】A，由终边上的点，知，对；
B，由锐角，则也是锐角，错；
C，设扇形半径为，根据弧长公式有弧长，则，
所以扇形面积为，对；
D，由题设，则，
又，则，结合，可得，
所以，对.
故选：ACD
10．ACD
利用基本不等式求最值，逐项判断即可.
【详解】对A：因为，即（当且仅当即时取“”），故A项正确；
对B：因为（当且仅当即时取“”），故B项错误；
对C：因为，
所以（当且仅当即时取“”），故C项正确；
对D：由，
所以，由B知：成立，故D项正确.
故选：ACD
11．BC
由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围，即可判断A选项；由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围，判断B选项；由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数，判断D选项.
【详解】∵函数为偶函数，即
则函数关于对称，
当时，，，
∴函数的大致图像如下图，
令，则，，，为方程的解,所以
∴，即，∴，∴，
由图可知，，∴，A选项错误；
∵，∴，且∴，
令，由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减，∴，B选项正确；
∵有两个零点或，∴时，或，
当时，由函数图象可知，函数有3个零点，
当时，由函数图象可知，函数有2个零点，
∴函数存在5个零点，C选项正确；
令，即，则或或
，即；，即；，无解；
，即；，无解；，即；
故函数有4个零点，D选项错误.
故选：BC
12．
由条件，结合对数函数性质列方程求，由此可得.
【详解】因为函数的图象恒过定点，
所以，，
所以，，
所以.
故答案为：.
13．3
【解析】由幂函数为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m2-2m-3＜0，且m2-2m-3为偶数，m∈Z，且．解出即可．
【详解】∵幂函数为偶函数，且在上是减函数，
∴，且为偶数，，且.
解得，，1，2，
且,
只有时满足为偶数.
∴.
故答案为：3.
14．
【详解】，得，
所以，
若，，得，
此时，
若，，此时，不成立，
若，，得，
此时，
设，，在区间上单调递增，，所以的范围是
综上可知，的取值范围是.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）利用诱导公式化简求得正确答案.
（2）根据对数运算求得正确答案.
【详解】（1）
.
（2）
.
16．(1)
(2)
(3).
（1）通过确定函数的值域求出集合；
（2）分别求出集合，进而求出即可
（3）先将转化为，再求出实数的取值范围即可.
【详解】（1）因为，所以，即，
故；
（2）当时，，
故；
（3）因为，所以，
又因为，故，
所以，
综上，实数的取值范围是.
17．(1)，或；
(2)，取最小值时，取最大值时.
（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式.
（2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解.
【详解】（1）函数定义域为，且在上单调，
由函数在区间上的最大值与最小值之和为，
得，即，解得，
于是；
，
解，得或；
解，即，得或，
因此或，
所以不等式的解集或.
（2）由（1）知，，
令，由，得，，
当时，，此时；当时，，此时，
所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时.
18．(1)4
(2)证明见解析
(3)证明见解析
（1）由凹函数的定义结合指数的运算求解即可；
（2）由凹函数的定义证明即可；
（3）由凹函数的定义结合基本不等式证明即可.
【详解】（1）由为下凸函数，得
因此，当且仅当时等号成立，则
即，所以的最大值是4．
（2）
，
，，
，
是上的凹函数.
（3）因为幂函数在内是凹函数．
所以，即，当且仅当时，等号成立．
又因为幂函数在内是增函数，所以．当且仅当时，等号成立．
同理可证：，当且仅当时，等号成立．
，当且仅当时，等号成立．
三式相加得：，
又，
所以当且仅当时，等号成立．
不等式得证．
19．(1)47
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1），∴，即．
两边平方得，．
（2）∵且定义域为R，
∴是定义在R上的偶函数，
∴由，得．
设，，则．
当时，在上单调递增，∴．
又在上单调递增，∴在上单调递增．
当时，在上单调递减，．
又在上单调递减，∴在上单调递增．
综上，在上单调递增，∴对恒成立，
即不等式恒成立，
整理得对恒成立，
∴结合一元二次方程根的判别式，得且，
解得，即m的取值范围为．
（3）证明：∵，
，
∴．
令，则，∴或．
当时，令，则，即，
此时函数是偶函数．
当时，令，则，即，
此时函数既是奇函数又是偶函数．内层函数
递增
递增
递减
递减
外层函数
递增
递减
递增
递减
复合函数
递增
递减
递减
递增