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2022-2023学年福建省泉州市晋江市第二中学、鹏峰中学、泉港五中高二下学期期末联考数学试题（含解析）
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这是一份2022-2023学年福建省泉州市晋江市第二中学、鹏峰中学、泉港五中高二下学期期末联考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=2+aii为“等部复数”，则实数a的值为
( )
A. −1B. 0C. 2D. −2
2.已知集合M=0,1,2，N=−1,0,1,2，则“a∈M”是“a∈N”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.在空间中，下列说法正确的是( )
A. 垂直于同一直线的两条直线平行B. 垂直于同一直线的两条直线垂直
C. 平行于同一平面的两条直线平行D. 垂直于同一平面的两条直线平行
4.若cs2α=−725，0<α<π2，则csα等于
( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
5.若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式恒成立的是
( )
A. ab≥ 2B. a+ b≤ 2C. 2a+1b≥3D. a2+b2≥2
6.函数fx=4x−4−xx2+x−2的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
7.著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为N0(>0)，经过时间t(天)之后的新闻热度变为N(t)=N0e−αt，其中α为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数α=0.3，要使该新闻的热度降到初始热度的10％以下，需要经过天(参考数据：ln10≈2.303)( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
8.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF//底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，EF=12AB=2,AE=2 3，则该刍甍的外接球的体积为
( )
A. 64 2π3B. 32πC. 64 3π3D. 64 2π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的结论为
( )
A. 直线AM与C1C是相交直线；B. 直线AM与BN是平行直线；
C. 直线BN与MB1是异面直线：D. 直线MN与AC所成的角为60∘．
10.已知平面向量a=(2,2),b=(1,m)，且|2a+b|=|2a−b|，则
( )
A. m=−1B. a,b=π3C. a//bD. b= 2
11.已知函数f(x)=Asin (ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
( )
A. 函数f(x)的图象的周期为T=π
B. 函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称
C. 函数f(x)在区间[−π3,π6]上的最大值为2
D. 直线y=1与y=fx(−π12≤x≤11π12)图像所有交点的横坐标之和为π6
12.如图，直线l1//l2，点A是l1,l2之间的一个定点，点A到l1,l2的距离分别为1和2.点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C,GA+GB+GC=0，则
( )
A. AG=12AB+ACB. △GAB面积的最小值是23
C. AG≥1D. GA⋅GB存在最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为
14.已知角α为第二象限角，sinα=45，则csα−π6的值为
15.已知偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=−f(x)，且当x∈(1,2]时，f(x)=2x，则f20212= ．
16.如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP⋅BP=2，则AB⋅AD的值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a，b满足a=1,−1，b=1．
(1)若a，b的夹角为π3，求a⋅b；
(2)若(a→−b→)⊥b→，求a与b的夹角．
18.(本小题12分)
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB+bcsA=c．
(1)求B；
(2)设a= 2c，b=2，求c．
19.(本小题12分)
2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间4.5,10.5内，按4.5,5.5,5.5,6.5，6.5,7.5,7.5,8.5，8.5,9.5,9.5,10.5分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1．
(1)求a,b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在7.5,8.5内的概率．
20.(本小题12分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，BC//AD，AB⊥AD，PA=AD=3BC=3,AB= 2，点E在线段PD上，PD=3PE．
(1)求证：CE//平面PAB；
(2)求证：平面PAC⊥平面PCD．
21.(本小题12分)
设函数fx=2x+p−1⋅2−x是定义域为R的偶函数．
(1)求p的值；
(2)若gx=f2x−2k⋅2x−2−x在1,+∞上最小值为−4，求k的值；
(3)若不等式f2x>m⋅fx−4对任意实数x都成立，求实数m的范围．
22.(本小题12分)
如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地AOB(圆心角为π3)和COD(圆心角为π2)，BD为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域OEFG，一块为平行四边形区域MNPQ，已知圆的直径PF=2百米，且点P在劣弧AB上(不含端点)，点Q在OA上､点G在OC上､点M和N在OB上､点E在OD上，记∠BOP=θ．
(1)经设计，当OE−12MN达到最大值时，取得最佳观赏效果，求θ取何值时，OE−12MN最大，最大值是多少？
(2)设矩形OEFG和平行四边形MNPQ面积和为S，求S的最大值及此时cs2θ的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
化简复数，再由“等部复数”的定义即可求出答案．
本题考查复数的概念与分类，属于基础题。
【解答】
解：化简复数 z=2+aii=2i−a ，因为“等部复数”的实部和虚部相等，
复数 z 为“等部复数”，所以 −a=2 ，所以 a=−2 ．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
由充分、必要条件定义即可得出答案．
本题主要考查对充分、必要、充要条件的判断，考查元素与集合的关系，属于基础题。
【解答】
解：因为 M⊆N ，所以“ a∈M ” ⇒ “ a∈N ”，
但“ a∈N ”推不出“ a∈M ”，
所以“ a∈M ”是“ a∈N ”的充分不必要条件．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D．
本题考查线面平行或垂直的判断方法，属于基础题。
【解答】
解：对AB，垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；
对C，平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；
对D，根据线面垂直的性质可知：D正确；
故选：D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
根据二倍角余弦公式可得 cs2α=925 ，再根据 0<α<π2 ，开方即可求解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，三角函数在各象限的符号是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题。
【解答】
解：因为 cs2α=2cs2α−1=−725 ，所以 cs2α=925 ，
又 0<α<π2 ，则 csα=35 ．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据不等式串 21a+1b≤ ab≤a+b2≤ a2+b22 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误．
本题主要考查基本不等式的应用，当两个正数的和或积为定值时，可考虑利用基本不等式求解最值或判断范围，属于中等题。
【解答】
解：对于A：∵ ab≤a+b22=1 ，当且仅当 a=b 时取等号，∴A错误；
对于B： a+ b2≤ a+b2=1 ， a+ b≤2 ，∴B错误；
对于C： 2a+1b=12a+b2a+1b=123+2ba+ab≥3+2 22 ，
因为 3+2 22<3 ∴C错误；
对于D：∵ a+b2≤ a2+b22 ，当且仅当 a=b 时取等号，
∴ a2+b2≥2 ，D正确；
故选：D
6.【答案】D
【解析】【分析】
根据函数解析式求得函数定义域，判断函数奇偶性，再取几个特殊点的函数值，运用排除法得到答案．
本题考查函数图象的识别，考查判断或证明函数的奇偶性，考查判断函数零点、方程的根的个数，属于中等题。
【解答】
解：由题意知， x2+x−2≠0 ，解得 x≠±1 ，所以 fx 定义域 (−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞) 关于原点对称，
又因为 f−x=4−x−4x−x2+−x−2=4−x−4xx2+x−2=−fx ，
所以此函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A．
当 x=12 时， f12=2−1214+12−2=−65<0 ，排除B．
fx=0⇒x=0 ，函数只有1个零点，排除C．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数运算的应用，考查对数式的化简求值与证明，属于基础题．
根据题意建立不等式求解．
【解答】
解：依题意， N(t)=N0e−αt<0.1N0 ，
∴e−0.3t<0.1,−0.3tt>ln 100.3≈2.3030.3≈7.677，
即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下，
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.根据给定条件，求出平面 ABCD 外接圆圆心和半径，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答．
本题考查球的切、接问题，并计算球的体积，属于较难题。
【解答】
解：取AD，BC中点N，M，正方形 ABCD 中心O，EF中点 O2 ，
连接 EN,MN,FM,OO2 ，如图，
依题意， OO2⊥ 平面 ABCD ，EF//AB//MN ，
点O是MN的中点，MN=AB=4 ，
等腰 ▵AED 中，AD⊥EN ，EN= AE2−AN2=2 2 ，同理 FM=2 2 ，
因此，等腰梯形 EFMN 的高 OO2= EN2−(MN−EF2)2= 7 ，
由几何体的结构特征知，
刍甍的外接球球心 O1 在直线 OO2 上，
连 O1E,O1A,OA ，正方形 ABCD 外接圆半径 OA=2 2 ，
则有 O1A2=OA2+OO12O1E2=O2E2+O2O12 ，而 O1A=O1E,O2E=12EF=1 ，
当点 O1 在线段 O2O 的延长线(含点O)时，视 OO1 为非负数，若点 O1 在线段 O2O(不含点O)上，视 OO1 为负数，
即有 O2O1=O2O+OO1= 7+OO1 ，即 (2 2)2+OO12=1+( 7+OO1)2 ，
解得OO1=0，
因此刍甍的外接球球心为O，半径为 OA=2 2 ，
所以刍甍的外接球的体积为 4π3×(2 2)3=64 2π3 ．
故选：A．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于基础题．
根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可．
【解答】
解：对A，结合图形，显然直线 AM 与 C1C 是异面直线，故A错误；
对B，取DD1中点为G，
可知AB//CD//GN，直线AM与平面ABNG相交，且A∉BN，
则直线 AM 与 BN 是异面直线，故B错误，
对C，直线 BN 与 MB1 是异面直线，故C正确．
对D，可知MN//D1C，则直线 MN 与 AC 所成的角即直线 D1C 与 AC 所成的角，
在等边 ΔAD1C 中 ∠ACD1=60∘ ，
所以直线 MN 与 AC 所成的角为 60∘，故D正确．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
因为 2a+b=2a−b ，两边平方可得 a⋅b=0 ，即可求得 m=−1 ，从而可判断选项ABC，进而求得 b=1,−1 ，从而可判断选项D．
本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题。
【解答】
解：因为 |2a+b|=|2a−b| ，两边平方可得 (2a+b)2=(2a−b)2 ，
所以 4a2+4a⋅b+b2=4a2−4a⋅b+b2 ，即 a⋅b=0 ．
对于A， a⋅b=2+2m=0 ，解得 m=−1 ，A正确；
对于B，因为 a⋅b=0 ，所以 ⟨a,b⟩=π2 ，B错误；
对于C，因为 a⋅b=0 ，则 a→⊥b→ ，C错误；
对于D，由选项A可知 b=(1,−1) ，所以 |b|= 1+1= 2 ，D正确．
故选：AD．
11.【答案】CA
【解析】【分析】
先利用函数图象 T,A,ω,φ ，从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最值求解得结果．
本题考查通过图象求三角函数解析式，求正弦函数的对称轴，对称中心，值域，最值及零点，属于中等题。
【解答】
解：对A，依题意， T4= 2π3−5π12=π4 ，得 T=π ，故A正确；
对B，ω=2ππ=2 ， A=2 ，则 fx=2sin2x+φ ，
当 x=2π3 时， fx 取最小值，
则 2×2π3+φ=3π2 ，得 φ=π6 ，即 fx=2sin2x+π6 ，
当 x=π12 时， fπ12=2sin2×π12+π6=2sinπ3≠0 ，故B错误；
对C，当 x∈ [− π3 ， π6 ]，则 2x+π6∈−π2,π2 ，则 −2≤fx≤2 ，故C正确；
对D，−π12≤x≤11π12 ，则 2x+π6∈0,2π ，设直线 y=1 与 y=fx(−π12≤x≤11π12 )图像所有交点的横坐标为 x1,x2 ，则 2x1+π6+2x2+π6=π ，解得 x1+x2=π3 ，故D错误；
故选：AC．
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于难题.根据题意建立合适的直角坐标系，设出 Cm,3 ， Bn,0 ， Gx,y ，根据 AC⊥AB 及 GA+GB+GC=0 ，即可找到三个点的坐标关系，分别写出 AG ， 13AB+AC ，即可判断A；取 AB 中点为 F ，连接 CF ，根据 GA+GB+GC=0 ，可得 G,C,F 三点共线，且 G 为 CF 靠近 F 的三等分点，即可找到 △GAB 面积与 ▵ABC 面积之间比例关系，进而建立 △GAB 面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出 AG ，再根据基本不等式可判断C；写出 GA⋅GB 进行化简，根据 m 的范围即可得到 GA⋅GB 的最值情况．
【解答】
解：设 AB 中点为 F ，连接 CF ，以 D 为原点， DB,DE 方向分别为 x,y 轴建立如图所示的直角坐标系：
则 A0,2 ， E0,3 ，
设 Cm,3 ， Bn,0 ， Gx,y ， m,n,x,y∈R ，且 m,n≠0 ，
所以 AC=m,1 ， AB=n,−2 ，
因为 AC⊥AB ，所以 AC⋅AB=0 ，
即 mn−2=0 ，故 n=2m ，即 B2m,0 ，
所以 GA=−x,2−y ， GB=2m−x,−y ， GC=m−x,3−y ，
因为 GA+GB+GC=0 ，
所以 2m+m−3x=05−3y=0 ，
因为 13(AB+AC)=13[(2m,−2)+(m,1)]=(2m+m3,−13) ，
故 AG=13AB+AC ，A错误；
因为 GA+GB+GC=0 ，
所以 GC=−(GA+GB) ，即 GC=−2GF ，
所以 G,C,F 三点共线，且 G 为 CF 靠近 F 的三等分点，
所以 S▵GAB=13S▵ABC=16AC⋅AB
=16 m2+1· 4m2+4=13 (m2+1)(1m2+1)
=13 m2+1m2+2≥13 2 m2⋅1m2+2=23 ，
当且仅当 m2=1m2 ，即 m=±1 时取等号，故B正确；
因为 AG=13AB+AC=2m+m3,−13 ，
所以 AG= 2m+m32+19
= 4m2+m2+49+19≥ 2 4m2⋅m2+49+19=1 ，
当且仅当 4m2=m2 ，即 m=± 2 时取等号，
故 AG≥1 ，C正确；
因为 GA=(−2m+m3,13),GB=(4m−m3,−53) ，
所以 GA⋅GB=(−2m+m3,13)⋅(4m−m3,−53)=−(2m+m3)(4m−m3)−59
=m2−8m2−29−59=m2−8m2−79 ，
因为 m∈R 且 m≠0 ，所以 m2>0 ，记 f(x)=x−8x−7 ， x>0 ，
可知 fx 在0,+∞上单调递增，没有最值，即 GA⋅GB 没有最值，故选项D错误．
故选：BC．
13.【答案】910
【解析】【分析】
利用组合数和对立事件概率公式直接求解即可．
本题考查组合与组合数公式，考查对立事件的概率公式，属于基础题．
【解答】
解：从 5 位同学中任取 3 人，有 C53=10 种情况；
取出的 3 人中，没有女生的情况有 C33=1 种，
∴ 至少有 1 名女生的概率p=1−110=910 ．
故答案为： 910 ．
14.【答案】4−3 310
【解析】【分析】
结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案．
本题考查两角和与差的余弦公式，考查由一个三角函数值求其他三角函数值，属于基础题。
【解答】
解：因为角 α 为第二象限角， sinα=45 ，
所以 csα=− 1−sin2α=−35 ，
所以 csα−π6=csαcsπ6+sinαsinπ6=−35× 32+45×12=4−3 310 ．
故答案为： 4−3 310 ．
15.【答案】2 2
【解析】【分析】
先求函数的周期，再利用奇偶性和周期求解．
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查周期函数，属于中等题。
【解答】
解：因为 f(x+2)=−f(x) ，所以 f(x+4)=−f(x+2)=f(x) ，即周期为4；
f(20212)=f(1010.5)=f(2.5)=f(−2.5)=f(1.5) ，
因为 x∈(1,2] 时， f(x)=2x ，所以 f(1.5)=21.5=2 2 ，即 f20212= 2 2 ．
故答案为： 2 2 ．
16.【答案】22
【解析】【分析】
用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．根据基底 AB⋅AD 表示 AP,BP 再根据向量数量积化简 AP⋅BP=2 ，即得结果．
本题考查向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，属于中等题。
【解答】
解： AP·BP=(AD+DP)⋅(BC+CP)=(AD+14AB)⋅(AD−34AB)
=AD2−316AB2−12AB⋅AD
=25−316×64−12AB⋅AD=13−12AB⋅AD=2
∴AB⋅AD=22.
17.【答案】解：(1)a=1,−1 ，所以 a= 2 ，
所以 a⋅b=abcsπ3= 2×1×12= 22
(2)因为 a−b⊥b ，所以 a−b⋅b=0 ，
所以 a·b−b2=0 ，所以 a·b=1 ，
令 ⟨a,b⟩=θ，
所以 csθ=a⋅bab= 22 ，
因为 θ∈0,π ，所以 θ=π4
故 a 与 b 的夹角为 π4 ．
【解析】本题考查向量数量积的坐标运算，考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于中等题．
(1)先算出 a ，再按照数量积的公式计算即可；
(2)根据 a−b⊥b 得到 (a−b)·b=0 ，计算出 a⋅b ，再根据 cs θ=a·b|a||b| 即可．
18.【答案】解：(1)由正弦定理得： sinAsinB+sinBcsA=sinC ，
而 sin C=sin [π−(A+B)]=sin (A+B)
sin Acs B+cs Asin B ，
∴ sinAsinB=sinAcsB ，又sinA≠0，
∴ sinB=csB，又 0(2)由余弦定理 b2=c2+a2−2accsB，又a= 2c ，
∴ 4=c2+2c2−2 2c2× 22 ，解得c=2(舍负)．
【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、三角恒等变换，属于基础题．
(1)由题设，根据正弦定理得sinAsinB+sinBcsA=sinC ，结合三角形内角的性质得 tanB=1 ，即可求B；
(2)由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图，可得 0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1 ，
则 a+b=0.55 ①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，
所以 0.05+0.12+a+8.1−7.5×b=0.6 ，
则 a+0.6b=0.43 ②
将①与②联立，解得 a=0.25b=0.3 ．
所以平均值为 0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.72 ．
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5,8.5)内，则
PA=PB=PC=0.3 ．
①“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内” =ABC∪ABC∪ABC ，且 ABC 与 ABC 与 ABC 互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
P1=P(ABC∪ABC∪ABC)
=0.3×0.3×(1−0.3)+0.3×(1−0.3)×0.3+(1−0.3)×0.3×0.3
=0.189 ．
②“抽取3人中有3人在[7.5,8.5)内” =ABC ，由事件独立性定义，得
P2=PABC=PAPBPC=0.3×0.3×0.3=0.027 ．
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率：
P1+P2=0.189+0.027=0.216 ．
【解析】(1)根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第 60 百分位数的性质求解 a,b ，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；
(2)分抽取的 3 人中有两人和三人去年可支配收入在 7.5,8.5 内两种情况求解即可。
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查互斥事件的概率加法公式，属于中等题。
20.【答案】解：(1)过点E作EF//AD 交PA于点F，连接BF，
因为BC//AD ，所以 EF//BC ．
又 PD=3PE ，所以 AD=3EF ．
又 AD=3BC ，所以 EF=BC
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以 CE//BF ，
又CE⊄平面PAB，BF ⊂ 平面PAB，
所以 CE//平面PAB．
(2)在梯形ABCD中， BC//AD ， AB⊥AD ， AD=3BC=3 ， AB= 2 ，
所以 BC=1,AC= AB2+BC2= 3,CD= AB2+AD−BC2= 6 ．
所以 AC2+CD2=AD2 ，即 AC⊥CD
因为PA⊥平面ABCD，CD ⊂ 平面ABCD，
所以 PA⊥CD ．
又 PA∩AC=A ，PA,AC⊂平面PAC，
所以CD⊥平面PAC，
又CD ⊂ 平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．
【解析】(1)过点E作EF//AD 交PA于点F，连接BF，证明CE//BF即可；
(2)利用勾股定理的逆定理证明AC⊥CD，从而证明CD⊥平面PAC即可；
本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定。
21.【答案】解：(1)∵ f(x) 是偶函数， ∴ f(−x)=f(x) 恒成立，
即 2−x+(p−1)⋅2x=2x+(p−1)⋅2−x 恒成立，即 (p−2)(2x−2−x)=0 ，
∴ p=2 ．
(2)由(1)知 f(x)=2x+2−x ，
∴g(x)=22x+2−2x−2k⋅(2x−2−x)=(2x−2−x)2−2k(2x−2−x)+2 ， x∈1,+∞ ．
令 t=2x−2−x ，为增函数， x∈1,+∞ ，则 t∈32,+∞ ，
∴ g(t)=t2−2kt+2 ， t∈32,+∞ ，
为对称轴为直线 t=k ，开口向上的抛物线，
①当 k≤32 时， g(t) 在 32,+∞ 递增，所以 g(t)min=g32=174−3k ，
∴ 174−3k=−4 ， k=3312 (不合题意)，
②当 k>32 时， g(t)min=g(k)=−k2+2 ，
∴ −k2+2=−4 ，解得 k= 6 或 k=− 6 (舍去)，
∴ g(x) 的最小值为−4时， k 的值为 6 ．
(3)不等式 f(2x)>m⋅f(x)−4 ，即 22x+2−2x>m(2x+2−x)−4 ，
∵2x+2−x≥2 2x⋅2−x=2 ，当且仅当2x=2−x时等号成立．
∴m<22x+2−2x+42x+2−x=(2x+2−x)2+22x+2−x=(2x+2−x)+22x+2−x ，
令 t=2x+2−x ， t∈2,+∞ ，则 g(t)=t+2t ， t∈2,+∞ ，
又对勾函数 g(t) 在 2,+∞ 上递增， ∴ g(t)min=g(2)=3 ， ∴ m<3 ．
故实数m的取值范围为 (−∞,3) ．
【解析】本题考查复合型指数函数，考查二次函数的最值，属于较难题．
(1)根据偶函数的定义，即可求得答案．
(2)由(1)可得 f(x) 解析式，代入所求，即可得 g(x) 解析式，令 t=2x−2−x ，可得 g(t)=t2−2kt+2 ，根据x的范围，可得t的范围，利用二次函数的性质，分别讨论 k≤32 和 k>32 两种情况，结合题意，即可求得答案．
(3)根据 2x+2−x⩾2 2x⋅2−x=2 ，原不等式可化为 m<(2x+2−x)+22x+2−x ，令 t=2x+2−x ，可得t的范围，根据对勾函数的性质，即可求得 g(t) 的最小值，即可得答案．
22.【答案】解：(1)在矩形OEFG中， ∠EOF=∠BOP=θ ， OF=1 ，所以 OE=csθ ．
因为MN // PQ， ∠AOB=π3 ，所以 ∠OQP=2π3 ，
在△OQP中， OP=1 ， ∠QOP=π3−θ ，
由正弦定理可知：OPsin∠OQP=PQsin∠QOP ，即 1 32=PQsin(π3−θ) ，
得 PQ=2 33sin(π3−θ) ．
所以 OE−12MN=cs θ−12×2 33sin (π3−θ)=12cs θ+ 36sin θ= 33sin (θ+π3)
因为 θ∈(0,π3) ，所以 θ+π3∈(π3,2π3) ，
当 sin(θ+π3)=1 ， θ=π6 时， OE−12MN 最大值为 33 百米．
(2)设平行四边形MNPQ边MN上的高为h，所以有 h=sinθ ，
所以平行四边形MNPQ的面积为 2 33sin(π3−θ)sinθ ，
在矩形OEFG中， EF=sinθ ，所以矩形OEFG的面积为 sinθcsθ ，
所以 S=2 33sin(π3−θ)sinθ+sinθcsθ
=2sinθcsθ− 33sin2θ
=sin2θ+ 36cs2θ− 36
= 396(6 39sin 2θ+ 3 39cs 2θ)− 36= 396sin (2θ+φ)− 36 ．
其中 sinφ= 3 39 ， csφ=6 39 ， φ∈(0,π3) ，
因为 θ∈(0,π3) ，所以 2θ+φ∈0,π ，
当 2θ+φ=π2 ， θ=π4−φ2 时， Smax= 39− 36 平方百米，
此时 cs 2θ=cs (π2−φ)=sin φ= 1313 ．
【解析】对于小问1，分别用变量 θ 来表达 OE ， MN ，代入 OE−12MN ，得关于 θ 的函数，进行三角恒等变换整理成 Asin(ωx+φ) 型函数求最大值；
对于小问2，分别用变量 θ 来表达矩形 OEFG 和平行四边形 MNPQ 面积相加，得关于 θ 的函数，进行三角恒等变换整理成 Asin(ωx+φ)+B 型函数求最大值．
本题考查三角函数在实际生活中的应用，属于较难题。
1.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=2+aii为“等部复数”，则实数a的值为
( )
A. −1B. 0C. 2D. −2
2.已知集合M=0,1,2，N=−1,0,1,2，则“a∈M”是“a∈N”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.在空间中，下列说法正确的是( )
A. 垂直于同一直线的两条直线平行B. 垂直于同一直线的两条直线垂直
C. 平行于同一平面的两条直线平行D. 垂直于同一平面的两条直线平行
4.若cs2α=−725，0<α<π2，则csα等于
( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
5.若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式恒成立的是
( )
A. ab≥ 2B. a+ b≤ 2C. 2a+1b≥3D. a2+b2≥2
6.函数fx=4x−4−xx2+x−2的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
7.著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为N0(>0)，经过时间t(天)之后的新闻热度变为N(t)=N0e−αt，其中α为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数α=0.3，要使该新闻的热度降到初始热度的10％以下，需要经过天(参考数据：ln10≈2.303)( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
8.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF//底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，EF=12AB=2,AE=2 3，则该刍甍的外接球的体积为
( )
A. 64 2π3B. 32πC. 64 3π3D. 64 2π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的结论为
( )
A. 直线AM与C1C是相交直线；B. 直线AM与BN是平行直线；
C. 直线BN与MB1是异面直线：D. 直线MN与AC所成的角为60∘．
10.已知平面向量a=(2,2),b=(1,m)，且|2a+b|=|2a−b|，则
( )
A. m=−1B. a,b=π3C. a//bD. b= 2
11.已知函数f(x)=Asin (ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
( )
A. 函数f(x)的图象的周期为T=π
B. 函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称
C. 函数f(x)在区间[−π3,π6]上的最大值为2
D. 直线y=1与y=fx(−π12≤x≤11π12)图像所有交点的横坐标之和为π6
12.如图，直线l1//l2，点A是l1,l2之间的一个定点，点A到l1,l2的距离分别为1和2.点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C,GA+GB+GC=0，则
( )
A. AG=12AB+ACB. △GAB面积的最小值是23
C. AG≥1D. GA⋅GB存在最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为
14.已知角α为第二象限角，sinα=45，则csα−π6的值为
15.已知偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=−f(x)，且当x∈(1,2]时，f(x)=2x，则f20212= ．
16.如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP⋅BP=2，则AB⋅AD的值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a，b满足a=1,−1，b=1．
(1)若a，b的夹角为π3，求a⋅b；
(2)若(a→−b→)⊥b→，求a与b的夹角．
18.(本小题12分)
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB+bcsA=c．
(1)求B；
(2)设a= 2c，b=2，求c．
19.(本小题12分)
2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间4.5,10.5内，按4.5,5.5,5.5,6.5，6.5,7.5,7.5,8.5，8.5,9.5,9.5,10.5分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1．
(1)求a,b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在7.5,8.5内的概率．
20.(本小题12分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，BC//AD，AB⊥AD，PA=AD=3BC=3,AB= 2，点E在线段PD上，PD=3PE．
(1)求证：CE//平面PAB；
(2)求证：平面PAC⊥平面PCD．
21.(本小题12分)
设函数fx=2x+p−1⋅2−x是定义域为R的偶函数．
(1)求p的值；
(2)若gx=f2x−2k⋅2x−2−x在1,+∞上最小值为−4，求k的值；
(3)若不等式f2x>m⋅fx−4对任意实数x都成立，求实数m的范围．
22.(本小题12分)
如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地AOB(圆心角为π3)和COD(圆心角为π2)，BD为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域OEFG，一块为平行四边形区域MNPQ，已知圆的直径PF=2百米，且点P在劣弧AB上(不含端点)，点Q在OA上､点G在OC上､点M和N在OB上､点E在OD上，记∠BOP=θ．
(1)经设计，当OE−12MN达到最大值时，取得最佳观赏效果，求θ取何值时，OE−12MN最大，最大值是多少？
(2)设矩形OEFG和平行四边形MNPQ面积和为S，求S的最大值及此时cs2θ的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
化简复数，再由“等部复数”的定义即可求出答案．
本题考查复数的概念与分类，属于基础题。
【解答】
解：化简复数 z=2+aii=2i−a ，因为“等部复数”的实部和虚部相等，
复数 z 为“等部复数”，所以 −a=2 ，所以 a=−2 ．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
由充分、必要条件定义即可得出答案．
本题主要考查对充分、必要、充要条件的判断，考查元素与集合的关系，属于基础题。
【解答】
解：因为 M⊆N ，所以“ a∈M ” ⇒ “ a∈N ”，
但“ a∈N ”推不出“ a∈M ”，
所以“ a∈M ”是“ a∈N ”的充分不必要条件．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D．
本题考查线面平行或垂直的判断方法，属于基础题。
【解答】
解：对AB，垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；
对C，平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；
对D，根据线面垂直的性质可知：D正确；
故选：D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
根据二倍角余弦公式可得 cs2α=925 ，再根据 0<α<π2 ，开方即可求解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，三角函数在各象限的符号是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题。
【解答】
解：因为 cs2α=2cs2α−1=−725 ，所以 cs2α=925 ，
又 0<α<π2 ，则 csα=35 ．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据不等式串 21a+1b≤ ab≤a+b2≤ a2+b22 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误．
本题主要考查基本不等式的应用，当两个正数的和或积为定值时，可考虑利用基本不等式求解最值或判断范围，属于中等题。
【解答】
解：对于A：∵ ab≤a+b22=1 ，当且仅当 a=b 时取等号，∴A错误；
对于B： a+ b2≤ a+b2=1 ， a+ b≤2 ，∴B错误；
对于C： 2a+1b=12a+b2a+1b=123+2ba+ab≥3+2 22 ，
因为 3+2 22<3 ∴C错误；
对于D：∵ a+b2≤ a2+b22 ，当且仅当 a=b 时取等号，
∴ a2+b2≥2 ，D正确；
故选：D
6.【答案】D
【解析】【分析】
根据函数解析式求得函数定义域，判断函数奇偶性，再取几个特殊点的函数值，运用排除法得到答案．
本题考查函数图象的识别，考查判断或证明函数的奇偶性，考查判断函数零点、方程的根的个数，属于中等题。
【解答】
解：由题意知， x2+x−2≠0 ，解得 x≠±1 ，所以 fx 定义域 (−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞) 关于原点对称，
又因为 f−x=4−x−4x−x2+−x−2=4−x−4xx2+x−2=−fx ，
所以此函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A．
当 x=12 时， f12=2−1214+12−2=−65<0 ，排除B．
fx=0⇒x=0 ，函数只有1个零点，排除C．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数运算的应用，考查对数式的化简求值与证明，属于基础题．
根据题意建立不等式求解．
【解答】
解：依题意， N(t)=N0e−αt<0.1N0 ，
∴e−0.3t<0.1,−0.3t
即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下，
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.根据给定条件，求出平面 ABCD 外接圆圆心和半径，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答．
本题考查球的切、接问题，并计算球的体积，属于较难题。
【解答】
解：取AD，BC中点N，M，正方形 ABCD 中心O，EF中点 O2 ，
连接 EN,MN,FM,OO2 ，如图，
依题意， OO2⊥ 平面 ABCD ，EF//AB//MN ，
点O是MN的中点，MN=AB=4 ，
等腰 ▵AED 中，AD⊥EN ，EN= AE2−AN2=2 2 ，同理 FM=2 2 ，
因此，等腰梯形 EFMN 的高 OO2= EN2−(MN−EF2)2= 7 ，
由几何体的结构特征知，
刍甍的外接球球心 O1 在直线 OO2 上，
连 O1E,O1A,OA ，正方形 ABCD 外接圆半径 OA=2 2 ，
则有 O1A2=OA2+OO12O1E2=O2E2+O2O12 ，而 O1A=O1E,O2E=12EF=1 ，
当点 O1 在线段 O2O 的延长线(含点O)时，视 OO1 为非负数，若点 O1 在线段 O2O(不含点O)上，视 OO1 为负数，
即有 O2O1=O2O+OO1= 7+OO1 ，即 (2 2)2+OO12=1+( 7+OO1)2 ，
解得OO1=0，
因此刍甍的外接球球心为O，半径为 OA=2 2 ，
所以刍甍的外接球的体积为 4π3×(2 2)3=64 2π3 ．
故选：A．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于基础题．
根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可．
【解答】
解：对A，结合图形，显然直线 AM 与 C1C 是异面直线，故A错误；
对B，取DD1中点为G，
可知AB//CD//GN，直线AM与平面ABNG相交，且A∉BN，
则直线 AM 与 BN 是异面直线，故B错误，
对C，直线 BN 与 MB1 是异面直线，故C正确．
对D，可知MN//D1C，则直线 MN 与 AC 所成的角即直线 D1C 与 AC 所成的角，
在等边 ΔAD1C 中 ∠ACD1=60∘ ，
所以直线 MN 与 AC 所成的角为 60∘，故D正确．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
因为 2a+b=2a−b ，两边平方可得 a⋅b=0 ，即可求得 m=−1 ，从而可判断选项ABC，进而求得 b=1,−1 ，从而可判断选项D．
本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题。
【解答】
解：因为 |2a+b|=|2a−b| ，两边平方可得 (2a+b)2=(2a−b)2 ，
所以 4a2+4a⋅b+b2=4a2−4a⋅b+b2 ，即 a⋅b=0 ．
对于A， a⋅b=2+2m=0 ，解得 m=−1 ，A正确；
对于B，因为 a⋅b=0 ，所以 ⟨a,b⟩=π2 ，B错误；
对于C，因为 a⋅b=0 ，则 a→⊥b→ ，C错误；
对于D，由选项A可知 b=(1,−1) ，所以 |b|= 1+1= 2 ，D正确．
故选：AD．
11.【答案】CA
【解析】【分析】
先利用函数图象 T,A,ω,φ ，从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最值求解得结果．
本题考查通过图象求三角函数解析式，求正弦函数的对称轴，对称中心，值域，最值及零点，属于中等题。
【解答】
解：对A，依题意， T4= 2π3−5π12=π4 ，得 T=π ，故A正确；
对B，ω=2ππ=2 ， A=2 ，则 fx=2sin2x+φ ，
当 x=2π3 时， fx 取最小值，
则 2×2π3+φ=3π2 ，得 φ=π6 ，即 fx=2sin2x+π6 ，
当 x=π12 时， fπ12=2sin2×π12+π6=2sinπ3≠0 ，故B错误；
对C，当 x∈ [− π3 ， π6 ]，则 2x+π6∈−π2,π2 ，则 −2≤fx≤2 ，故C正确；
对D，−π12≤x≤11π12 ，则 2x+π6∈0,2π ，设直线 y=1 与 y=fx(−π12≤x≤11π12 )图像所有交点的横坐标为 x1,x2 ，则 2x1+π6+2x2+π6=π ，解得 x1+x2=π3 ，故D错误；
故选：AC．
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于难题.根据题意建立合适的直角坐标系，设出 Cm,3 ， Bn,0 ， Gx,y ，根据 AC⊥AB 及 GA+GB+GC=0 ，即可找到三个点的坐标关系，分别写出 AG ， 13AB+AC ，即可判断A；取 AB 中点为 F ，连接 CF ，根据 GA+GB+GC=0 ，可得 G,C,F 三点共线，且 G 为 CF 靠近 F 的三等分点，即可找到 △GAB 面积与 ▵ABC 面积之间比例关系，进而建立 △GAB 面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出 AG ，再根据基本不等式可判断C；写出 GA⋅GB 进行化简，根据 m 的范围即可得到 GA⋅GB 的最值情况．
【解答】
解：设 AB 中点为 F ，连接 CF ，以 D 为原点， DB,DE 方向分别为 x,y 轴建立如图所示的直角坐标系：
则 A0,2 ， E0,3 ，
设 Cm,3 ， Bn,0 ， Gx,y ， m,n,x,y∈R ，且 m,n≠0 ，
所以 AC=m,1 ， AB=n,−2 ，
因为 AC⊥AB ，所以 AC⋅AB=0 ，
即 mn−2=0 ，故 n=2m ，即 B2m,0 ，
所以 GA=−x,2−y ， GB=2m−x,−y ， GC=m−x,3−y ，
因为 GA+GB+GC=0 ，
所以 2m+m−3x=05−3y=0 ，
因为 13(AB+AC)=13[(2m,−2)+(m,1)]=(2m+m3,−13) ，
故 AG=13AB+AC ，A错误；
因为 GA+GB+GC=0 ，
所以 GC=−(GA+GB) ，即 GC=−2GF ，
所以 G,C,F 三点共线，且 G 为 CF 靠近 F 的三等分点，
所以 S▵GAB=13S▵ABC=16AC⋅AB
=16 m2+1· 4m2+4=13 (m2+1)(1m2+1)
=13 m2+1m2+2≥13 2 m2⋅1m2+2=23 ，
当且仅当 m2=1m2 ，即 m=±1 时取等号，故B正确；
因为 AG=13AB+AC=2m+m3,−13 ，
所以 AG= 2m+m32+19
= 4m2+m2+49+19≥ 2 4m2⋅m2+49+19=1 ，
当且仅当 4m2=m2 ，即 m=± 2 时取等号，
故 AG≥1 ，C正确；
因为 GA=(−2m+m3,13),GB=(4m−m3,−53) ，
所以 GA⋅GB=(−2m+m3,13)⋅(4m−m3,−53)=−(2m+m3)(4m−m3)−59
=m2−8m2−29−59=m2−8m2−79 ，
因为 m∈R 且 m≠0 ，所以 m2>0 ，记 f(x)=x−8x−7 ， x>0 ，
可知 fx 在0,+∞上单调递增，没有最值，即 GA⋅GB 没有最值，故选项D错误．
故选：BC．
13.【答案】910
【解析】【分析】
利用组合数和对立事件概率公式直接求解即可．
本题考查组合与组合数公式，考查对立事件的概率公式，属于基础题．
【解答】
解：从 5 位同学中任取 3 人，有 C53=10 种情况；
取出的 3 人中，没有女生的情况有 C33=1 种，
∴ 至少有 1 名女生的概率p=1−110=910 ．
故答案为： 910 ．
14.【答案】4−3 310
【解析】【分析】
结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案．
本题考查两角和与差的余弦公式，考查由一个三角函数值求其他三角函数值，属于基础题。
【解答】
解：因为角 α 为第二象限角， sinα=45 ，
所以 csα=− 1−sin2α=−35 ，
所以 csα−π6=csαcsπ6+sinαsinπ6=−35× 32+45×12=4−3 310 ．
故答案为： 4−3 310 ．
15.【答案】2 2
【解析】【分析】
先求函数的周期，再利用奇偶性和周期求解．
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查周期函数，属于中等题。
【解答】
解：因为 f(x+2)=−f(x) ，所以 f(x+4)=−f(x+2)=f(x) ，即周期为4；
f(20212)=f(1010.5)=f(2.5)=f(−2.5)=f(1.5) ，
因为 x∈(1,2] 时， f(x)=2x ，所以 f(1.5)=21.5=2 2 ，即 f20212= 2 2 ．
故答案为： 2 2 ．
16.【答案】22
【解析】【分析】
用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．根据基底 AB⋅AD 表示 AP,BP 再根据向量数量积化简 AP⋅BP=2 ，即得结果．
本题考查向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，属于中等题。
【解答】
解： AP·BP=(AD+DP)⋅(BC+CP)=(AD+14AB)⋅(AD−34AB)
=AD2−316AB2−12AB⋅AD
=25−316×64−12AB⋅AD=13−12AB⋅AD=2
∴AB⋅AD=22.
17.【答案】解：(1)a=1,−1 ，所以 a= 2 ，
所以 a⋅b=abcsπ3= 2×1×12= 22
(2)因为 a−b⊥b ，所以 a−b⋅b=0 ，
所以 a·b−b2=0 ，所以 a·b=1 ，
令 ⟨a,b⟩=θ，
所以 csθ=a⋅bab= 22 ，
因为 θ∈0,π ，所以 θ=π4
故 a 与 b 的夹角为 π4 ．
【解析】本题考查向量数量积的坐标运算，考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于中等题．
(1)先算出 a ，再按照数量积的公式计算即可；
(2)根据 a−b⊥b 得到 (a−b)·b=0 ，计算出 a⋅b ，再根据 cs θ=a·b|a||b| 即可．
18.【答案】解：(1)由正弦定理得： sinAsinB+sinBcsA=sinC ，
而 sin C=sin [π−(A+B)]=sin (A+B)
sin Acs B+cs Asin B ，
∴ sinAsinB=sinAcsB ，又sinA≠0，
∴ sinB=csB，又 0
∴ 4=c2+2c2−2 2c2× 22 ，解得c=2(舍负)．
【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、三角恒等变换，属于基础题．
(1)由题设，根据正弦定理得sinAsinB+sinBcsA=sinC ，结合三角形内角的性质得 tanB=1 ，即可求B；
(2)由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图，可得 0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1 ，
则 a+b=0.55 ①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，
所以 0.05+0.12+a+8.1−7.5×b=0.6 ，
则 a+0.6b=0.43 ②
将①与②联立，解得 a=0.25b=0.3 ．
所以平均值为 0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.72 ．
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5,8.5)内，则
PA=PB=PC=0.3 ．
①“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内” =ABC∪ABC∪ABC ，且 ABC 与 ABC 与 ABC 互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
P1=P(ABC∪ABC∪ABC)
=0.3×0.3×(1−0.3)+0.3×(1−0.3)×0.3+(1−0.3)×0.3×0.3
=0.189 ．
②“抽取3人中有3人在[7.5,8.5)内” =ABC ，由事件独立性定义，得
P2=PABC=PAPBPC=0.3×0.3×0.3=0.027 ．
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率：
P1+P2=0.189+0.027=0.216 ．
【解析】(1)根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第 60 百分位数的性质求解 a,b ，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；
(2)分抽取的 3 人中有两人和三人去年可支配收入在 7.5,8.5 内两种情况求解即可。
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查互斥事件的概率加法公式，属于中等题。
20.【答案】解：(1)过点E作EF//AD 交PA于点F，连接BF，
因为BC//AD ，所以 EF//BC ．
又 PD=3PE ，所以 AD=3EF ．
又 AD=3BC ，所以 EF=BC
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以 CE//BF ，
又CE⊄平面PAB，BF ⊂ 平面PAB，
所以 CE//平面PAB．
(2)在梯形ABCD中， BC//AD ， AB⊥AD ， AD=3BC=3 ， AB= 2 ，
所以 BC=1,AC= AB2+BC2= 3,CD= AB2+AD−BC2= 6 ．
所以 AC2+CD2=AD2 ，即 AC⊥CD
因为PA⊥平面ABCD，CD ⊂ 平面ABCD，
所以 PA⊥CD ．
又 PA∩AC=A ，PA,AC⊂平面PAC，
所以CD⊥平面PAC，
又CD ⊂ 平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．
【解析】(1)过点E作EF//AD 交PA于点F，连接BF，证明CE//BF即可；
(2)利用勾股定理的逆定理证明AC⊥CD，从而证明CD⊥平面PAC即可；
本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定。
21.【答案】解：(1)∵ f(x) 是偶函数， ∴ f(−x)=f(x) 恒成立，
即 2−x+(p−1)⋅2x=2x+(p−1)⋅2−x 恒成立，即 (p−2)(2x−2−x)=0 ，
∴ p=2 ．
(2)由(1)知 f(x)=2x+2−x ，
∴g(x)=22x+2−2x−2k⋅(2x−2−x)=(2x−2−x)2−2k(2x−2−x)+2 ， x∈1,+∞ ．
令 t=2x−2−x ，为增函数， x∈1,+∞ ，则 t∈32,+∞ ，
∴ g(t)=t2−2kt+2 ， t∈32,+∞ ，
为对称轴为直线 t=k ，开口向上的抛物线，
①当 k≤32 时， g(t) 在 32,+∞ 递增，所以 g(t)min=g32=174−3k ，
∴ 174−3k=−4 ， k=3312 (不合题意)，
②当 k>32 时， g(t)min=g(k)=−k2+2 ，
∴ −k2+2=−4 ，解得 k= 6 或 k=− 6 (舍去)，
∴ g(x) 的最小值为−4时， k 的值为 6 ．
(3)不等式 f(2x)>m⋅f(x)−4 ，即 22x+2−2x>m(2x+2−x)−4 ，
∵2x+2−x≥2 2x⋅2−x=2 ，当且仅当2x=2−x时等号成立．
∴m<22x+2−2x+42x+2−x=(2x+2−x)2+22x+2−x=(2x+2−x)+22x+2−x ，
令 t=2x+2−x ， t∈2,+∞ ，则 g(t)=t+2t ， t∈2,+∞ ，
又对勾函数 g(t) 在 2,+∞ 上递增， ∴ g(t)min=g(2)=3 ， ∴ m<3 ．
故实数m的取值范围为 (−∞,3) ．
【解析】本题考查复合型指数函数，考查二次函数的最值，属于较难题．
(1)根据偶函数的定义，即可求得答案．
(2)由(1)可得 f(x) 解析式，代入所求，即可得 g(x) 解析式，令 t=2x−2−x ，可得 g(t)=t2−2kt+2 ，根据x的范围，可得t的范围，利用二次函数的性质，分别讨论 k≤32 和 k>32 两种情况，结合题意，即可求得答案．
(3)根据 2x+2−x⩾2 2x⋅2−x=2 ，原不等式可化为 m<(2x+2−x)+22x+2−x ，令 t=2x+2−x ，可得t的范围，根据对勾函数的性质，即可求得 g(t) 的最小值，即可得答案．
22.【答案】解：(1)在矩形OEFG中， ∠EOF=∠BOP=θ ， OF=1 ，所以 OE=csθ ．
因为MN // PQ， ∠AOB=π3 ，所以 ∠OQP=2π3 ，
在△OQP中， OP=1 ， ∠QOP=π3−θ ，
由正弦定理可知：OPsin∠OQP=PQsin∠QOP ，即 1 32=PQsin(π3−θ) ，
得 PQ=2 33sin(π3−θ) ．
所以 OE−12MN=cs θ−12×2 33sin (π3−θ)=12cs θ+ 36sin θ= 33sin (θ+π3)
因为 θ∈(0,π3) ，所以 θ+π3∈(π3,2π3) ，
当 sin(θ+π3)=1 ， θ=π6 时， OE−12MN 最大值为 33 百米．
(2)设平行四边形MNPQ边MN上的高为h，所以有 h=sinθ ，
所以平行四边形MNPQ的面积为 2 33sin(π3−θ)sinθ ，
在矩形OEFG中， EF=sinθ ，所以矩形OEFG的面积为 sinθcsθ ，
所以 S=2 33sin(π3−θ)sinθ+sinθcsθ
=2sinθcsθ− 33sin2θ
=sin2θ+ 36cs2θ− 36
= 396(6 39sin 2θ+ 3 39cs 2θ)− 36= 396sin (2θ+φ)− 36 ．
其中 sinφ= 3 39 ， csφ=6 39 ， φ∈(0,π3) ，
因为 θ∈(0,π3) ，所以 2θ+φ∈0,π ，
当 2θ+φ=π2 ， θ=π4−φ2 时， Smax= 39− 36 平方百米，
此时 cs 2θ=cs (π2−φ)=sin φ= 1313 ．
【解析】对于小问1，分别用变量 θ 来表达 OE ， MN ，代入 OE−12MN ，得关于 θ 的函数，进行三角恒等变换整理成 Asin(ωx+φ) 型函数求最大值；
对于小问2，分别用变量 θ 来表达矩形 OEFG 和平行四边形 MNPQ 面积相加，得关于 θ 的函数，进行三角恒等变换整理成 Asin(ωx+φ)+B 型函数求最大值．
本题考查三角函数在实际生活中的应用，属于较难题。
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