福建省厦门市思明区音乐学校 九年级上学期期中数学试卷-A4

这是一份福建省厦门市思明区音乐学校 九年级上学期期中数学试卷-A4，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．3
3．（4分）如图，在⊙O中，∠ACB=34°，则∠AOB的度数是（ ）
A．17°B．34°C．56°D．68°
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，OE=3，那么线段CD的长为（ ）
A．10B．8C．6D．4
5．（4分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠AOB的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
6．（4分）若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象经过A（0，y1），B（4，y2）两点，则y1，y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y2＞y1D．y1≥y2
7．（4分）某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为x，则下列正确的是（ ）
A．40（x+1）＝140
B．40（1+x）2＝140
C．40+40（1+x）+40（1+x）2＝140
D．40+40（1+x）＝140
8．（4分）公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为s=20t-5t2，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车可以滑行4秒后才停止
B．汽车滑行2秒时停止
C．滑行速度先变大后变小
D．滑行的最远距离是22米
9．（4分）如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点．且AE=BF=CG=DH，设A，E两点间的距离为x.四边形EFGH的面积为y.则y与x的函数图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m,n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当n＞0时，m＜x1 B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0D．当n＜0时，x1＜m＜x2
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）抛物线y＝x2+2x的对称轴是 ．
12．（4分）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
13．（4分）若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则a2+a+1的值为 ．
14．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C为上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，若∠BOC=50°，∠ACD=
15．（4分）当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以点D（4，4），1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，t的最小值为 ，t的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）解方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣4x+2＝0．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（1，0），B（4，-3），C（5，0）．
（1）平移△ABC，若点C的对应点C1的坐标为（7，4），画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点（0，0）为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A2B2C2；
（3）已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为
19．（8分）如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
求证：AC=BD．
20．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为H，过点C（0，3）作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为E，画出示意图并求△HEC的面积．
21．（8分）批发商周老板家的红心蜜柚深受广大顾客的喜爱．蜜柚成熟上市几天后，他记录了每天每千克的利润s（元/千克）与销售单价x（元/千克）的相关数据如表一；每天销售数量y（千克）和销售单价x（元/千克）的相关数据如表
表一：
表二：
（1）请根据表格中的数据规律，分别求出s与x的函数关系式，y与x的函数关系式；
（2）周老板每天销售红心蜜柚的利润可以达到1000元吗？如果可以，求出此时的销售单价，如果不行，请说明理由
22．（8分）在矩形ABCD中，点E在AD边上，∠ABE=60°，将△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG，使点A的对应点F在线段BE上．
（1）请在图中作出△FBG；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）FG与BC交于点Q，连接EQ，EC，若EC=BQ，请探究AE与DE的数量关系．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
24．（12分）在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠A=90°，过点B作BC的垂线l.点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．
①求证：∠BDP=∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a,b），N；对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上，若点P（2，0），点Q为点P的“对应点”．
①当N坐标为（2，2），在图中画出点Q，并求NT；
②当N为线段OM延长线上任意一点，连接PQ，交线段ON于点T．NT是否为定值？
（2）⊙O的半径为t,M是⊙O上一点，点N在线段OM上，若点N与点O重合，P为⊙O外一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在⊙O上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积（用含t的式子表示）．
2024-2025学年福建省厦门市思明区音乐学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（4分）下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（4分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．3
【分析】根据关系式可知抛物线开口向上，函数有最小值，根据顶点坐标可得答案．
【解答】解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，
∴当x＝1时，y有最小值．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值，关键是熟练掌握二次函数的性质．
3．（4分）如图，在⊙O中，∠ACB＝34°（ ）
A．17°B．34°C．56°D．68°
【分析】欲求∠AOB，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：∵∠AOB、∠ACB是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠AOB＝2∠ACB＝68°．
故选：D．
【点评】此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，如果AB＝10，OE＝3（ ）
A．10B．8C．6D．4
【分析】连接OC，求出OC，在Rt△OCE中利用勾股定理求出CE，再由垂径定理求出CD即可．
【解答】解：如图，连接OC．
∵AB＝10，
∴OC＝AB＝2，
∵CD⊥AB，OE＝3，
∴CE＝＝＝4，
∴CD＝2CE＝8．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键．
5．（4分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，则∠AOB的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据旋转的性质可得∠AOC＝∠BOD＝40°，进而根据∠AOD的度数为90°，得出∠COB＝10°，即可求解．
【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，
∵∠AOD＝90°，
∴∠COB＝90°﹣40°﹣40°＝10°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝50°，
故选：B．
【点评】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，解题的关键是抓住旋转变换过程中不变量，灵活运用全等三角形的性质来分析、判断、推理或解答．
6．（4分）若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象经过A（0，y1），B（4，y2）三点，则y1，y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y2＞y1D．y1≥y2
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴即可求解．
【解答】解：由题意可得：二次函数的对称轴为：直线，
∵点A（4，y1）在对称轴左边，距离对称轴3个单位长度，
点B（6，y2）在对称轴右边，距离对称轴1个单位长度，
又二次函数开口向上，
∴y8＞y2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的增减性．确定二次函数的开口方向和对称轴是关键．
7．（4分）某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为x（ ）
A．40（x+1）＝140
B．40（1+x）2＝140
C．40+40（1+x）+40（1+x）2＝140
D．40+40（1+x）＝140
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设2，3月份平均每月的增长率是x，那么可以用x表示2，3月份的印刷科技书籍，然后根据题意可列出方程为．
【解答】解：如果设2，3月份平均每月的增长率是x，
那么可以用x表示8，3月份的印刷科技书籍分别是40（1+x）7，
然后根据题意可列出方程为：40+40（1+x）+40（1+x）3＝140．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量得出是解题关键．
8．（4分）公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）2，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车可以滑行4秒后才停止
B．汽车滑行2秒时停止
C．滑行速度先变大后变小
D．滑行的最远距离是22米
【分析】函数关系式为s＝20t﹣5t2，变形得，s＝﹣5（t﹣2）2+20，即求函数的最值问题，则汽车滑行2秒，到达最远距离为20米停止．
【解答】解：∵s＝20t﹣5t2＝﹣6（t2﹣4t+5）+20＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴由于惯性汽车速度变小，汽车滑行2秒，
故选项A，C，D不合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．
9．（4分）如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点．且AE＝BF＝CG＝DH，设A（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题需先设正方形的边长为m，然后得出y与x、m是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【解答】解：设正方形的边长为m，则m＞0，
∵AE＝x，
∴DH＝x，
∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）6，
y＝x2+x2﹣7mx+m2，
y＝2x7﹣2mx+m2
＝7[（x﹣m）3+m5]，
＝2（x﹣m）2+m2，
可知开口向上，顶点坐标为（m，m8），
∴y与x的函数图象是D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．（4分）二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当n＞0时，m＜x1B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0D．当n＜0时，x1＜m＜x2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+c，
∴该函数图象开口向上，
∵二次函数y＝x7+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，5），B（x2，0），且x7＜x2，点P（m，n）是图象上一点，
∴当n＞0时，m＜x7或m＞x2，故选项A、B错误；
当n＜0时，x5＜m＜x2，故选项C错误，选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）抛物线y＝x2+2x的对称轴是 直线x＝﹣1 ．
【分析】先把一般式配成顶点式，根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴．
【解答】解：y＝x2+2x＝（x3+2x+1）﹣3＝（x+1）2﹣8，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
故答案为直线x＝﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
12．（4分）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：由已知得：Δ＝4﹣4k＞3，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
13．（4分）若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则a2+a+1的值为 6 ．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣5＝0，则a2+a＝5，然后利用整体代入的方法计算a2+a+1的值．
【解答】解：∵a为方程x2+x﹣5＝4的解，
∴a2+a﹣5＝8，
∴a2+a＝5，
∴a8+a+1＝5+6＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
14．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C为，AD∥OC，AD交⊙O于点D，CD，若∠BOC＝50° 40° ．
【分析】连接OD，根据平行线的性质求出∠OAD的度数，由等腰三角形的性质求出∠ODA的度数，再根据三角形内角和定理求出∠AOD的度数，最后由圆周角定理求出∠ACD的度数．
【解答】解：如图，连接OD．
∵AD∥OC，∠BOC＝50°，
∴∠OAD＝∠BOC＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠ODA﹣∠OAD＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠ACD＝∠AOD＝．
故答案为：40°．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理是解题的关键．
15．（4分）当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 2或﹣1 ．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当y＝1时，有x2﹣5x+1＝1，
解得：x6＝0，x2＝6．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a＝7或a+1＝0，
∴a＝6或a＝﹣1，
故答案为：2或﹣5．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以点D（4，4），1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90° 4 ，t的最大值为 6 ．
【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的取值范围．
【解答】解：连接AP，
由题意，得：AB＝（1+t）﹣1＝t，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴AP＝＝AB＝t，
t要最大，就是点A到⊙O上的一点的距离最大，
∴P在AD的延长线上，
∵A（0，2），4），
∴AD＝，
∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝6﹣1＝4，
∴t的最大值是AP＝AD+PD＝3+1＝6，
故答案为：4；6．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）解方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）两边开方得：x﹣2＝±3，
解得：x7＝5，x2＝﹣4；
（2）x2﹣4x+6＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣2x+4＝﹣2+5，
（x﹣2）2＝2，
x﹣2＝±，
x6＝2+，x5＝2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（1，0），B（4，﹣3），C（5，0）．
（1）平移△ABC，若点C的对应点C1的坐标为（7，4），画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点（0，0）为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A2B2C2；
（3）已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 （1，2） ．
【分析】（1）因为点C的对应点C1的坐标为（7，4），所以找出点A1，B1的坐标，最后依次连接，即可作答；
（2）因为将△ABC以点（0，0）为旋转中心旋转180°，所以找出点A2，B2，C2的坐标，最后依次连接，即可作答；
（3）运用数形结合思想，直接得△A1B1C1与△A2B2C2的旋转中心的坐标，即可作答．
【解答】解：（1）△A1B1C8如图所示：
（2）△A2B2C4如图所示：
（3）由图得将△A1B1C3绕某一点旋转可以得到△A2B2C4，则旋转中心的坐标为（1，2），
故答案为：（8，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形，平移作图、旋转作图以及找出旋转中心，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
19．（8分）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，且OE⊥AB于点F．
求证：AC＝BD．
【分析】根据等腰三角形的性质证得AF＝BF，由垂径定理证得CF＝DF，再由AC＝AF﹣CF，BD＝BF﹣DF即可证明AC＝BD．
【解答】证明：∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵OE⊥AB，
∴AF＝BF，CF＝DF，
∵AC＝AF﹣CF，BD＝BF﹣DF，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查垂径定理，掌握等腰三角形的性质和垂径定理是解题的关键．
20．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为H，过点C（0，3）作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为E
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）求出顶点H（1，4），对称轴为直线x＝1，可得E（2，3），CE＝2，故S△HEC＝×2×（4﹣3）＝1．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），6）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+3；
（2）如图：
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）4+4，
∴顶点H（1，2），
∵过点C（0，3）作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为E，
∴C与E关于直线x＝4对称，
∴E（2，3），
∴CE＝7，
∴S△HEC＝×3×（4﹣3）＝8．
∴△HEC的面积为1．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数性质和待定系数法．
21．（8分）批发商周老板家的红心蜜柚深受广大顾客的喜爱．蜜柚成熟上市几天后，他记录了每天每千克的利润s（元/千克）与销售单价x（元/千克）；每天销售数量y（千克）和销售单价x（元/千克）
表一：
表二：
（1）请根据表格中的数据规律，分别求出s与x的函数关系式，y与x的函数关系式；
（2）周老板每天销售红心蜜柚的利润可以达到1000元吗？如果可以，求出此时的销售单价，如果不行
【分析】（1）根据表1中数据，得到每天每千克的利润s（元/千克）与销售单价x（元/千克）为一次函数关系，根据表2中数据，得到每天销售数量y（千克）和销售单价x（元/千克）为一次函数关系，利用待定系数法，得到解析式；
（2）根据每天的销售利润＝每天每千克利润×销售数量，得到利润w＝（x﹣2）（﹣100x+800），利用二次函数的顶点坐标得到结果．
【解答】解：（1）∵根据表1，每天每千克的利润s（元/千克）与销售单价x（元/千克）为一次函数关系，
∴设s＝kx+b（k≠0），
∵（6，3），2）在函数图象上，
∴，
解得：，
∴s＝x﹣5，
∵根据表2，每天销售数量y（千克）和销售单价x（元/千克）为一次函数关系，
∴设y＝mx+n（m≠0），
∵（6，300），400）在函数图象上，
∴，
解得：，
∴y＝﹣100x+800，
（2）周老板每天销售红心蜜柚的利润不能达到1000元．理由如下：
设每天销售红心蜜柚的利润为w，
∵w＝ys，
∴w＝（x﹣6）（﹣100x+800）
＝﹣100（x2﹣10x+16）
＝﹣100（x﹣5）2+900，
∴当x＝5时，w有最大值为900，
即：销售单价为5元/千克时，销售利润最高为900元．
答：周老板每天销售红心蜜柚的利润不能达到1000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，涉及到待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握相关函数的性质是解题的关键．
22．（8分）在矩形ABCD中，点E在AD边上，∠ABE＝60°，使点A的对应点F在线段BE上．
（1）请在图中作出△FBG；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）FG与BC交于点Q，连接EQ，EC，请探究AE与DE的数量关系．
【分析】（1）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，交线段BE于点F，再以点B为圆心，线段BE的长为半径画弧，以点F为圆心，线段AE的长为半径画弧，两弧交于点G，连接BG，FG即可．
（2）结合旋转的性质以及矩形的性质证明Rt△CDE≌Rt△BFQ，则DE＝FQ．由旋转可得∠ABE＝∠FBG＝60°，进而可得∠BGF＝∠QBG＝30°，即BQ＝GQ．在Rt△BFQ中，根据30°所对的直角边为斜边的一半，可得BQ＝2FQ，即GQ＝2FQ，则FG＝3FQ，从而可得AE＝3DE．
【解答】解：（1）如图，△FBG即为所求．
（2）由旋转可得，BF＝AB，∠ABE＝∠EBG，∠BGF＝∠AEB．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠BFG＝∠D＝90°，BF＝CD．
∵EC＝BQ，
∴Rt△CDE≌Rt△BFQ（HL），
∴DE＝FQ．
∵∠ABE＝60°，
∴∠FBG＝60°，∠AEB＝∠BGF＝∠FBQ＝30°，
∴∠QBG＝30°，
∴∠QBG＝∠BGF，
∴BQ＝GQ．
在Rt△BFQ中，∠FBQ＝30°，
∴BQ＝2FQ，
∴GQ＝2FQ，
∴FG＝6FQ，
∴AE＝3DE．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务2：根据该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，计算悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m；
任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏．
【解答】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，4），﹣5），
设抛物线的解析式为：y＝ax2，
把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；
任务2：
∵该河段水位再涨3.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣3+1.8+8+0.4＝﹣4.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，
当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.3，
∴x＝±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤8；
任务3：
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵﹣3≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.7×4＞6，
若顶点一侧悬挂7盏灯笼时，1.6×4＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂5盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×5＝﹣4.8；
方案二：如图3，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.6+1.6×（3﹣1）＞6，
若顶点一侧悬挂6盏灯笼时，0.8+7.6×（4﹣7）＜6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂4盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣3.6×3＝﹣2.6．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
24．（12分）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．
①求证：∠BDP＝∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD
【分析】（1）①根据题意补全图形，由直角三角形的性质可得出答案；
②过点P作PF⊥BP交BC于点F，证明△BPD≌△FPC（AAS），由全等三角形的性质得出BD＝FC，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点P作PM⊥PB交BD于点M，证明△PMD≌△PBC（AAS），由全等三角形的性质可得出DM＝BC，则可得出结论．
【解答】解：（1）①补全图形如图1，
证明：如图1，设PD与BC的交点为点E，
根据题意可知，∠CPD＝90°，
∵BC⊥l，
∴∠DBC＝90°，
∴∠BDP+∠BED＝∠PCB+∠PEC＝90°，
∴∠BDP＝∠PCB；
②BC﹣BD＝BP．
证明：如图2，过点P作PF⊥BP交BC于点F，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴BP＝BF，∠PFB＝45°，
∴∠PBD＝∠PFC＝135°，
又∵∠BDP＝∠PCF，
∴△BPD≌△FPC（AAS），
∴BD＝FC，
在等腰直角△BPF中，BF＝，
∴BC﹣BD＝BP．
（2）BD﹣BC＝BP．
证明：如图3，过点P作PM⊥PB交BD于点M，
由（1）可知∠ABC＝∠PBM＝45°，
∴∠PBM＝∠PMB＝45°，
∴PB＝PM，∠PBC＝∠PCB＝135°，
同（1）可得∠PDB＝∠PCB，
∴△PMD≌△PBC（AAS），
∴DM＝BC，
∵PB＝PM，∠BPM＝90°，
∴BM＝PB，
∴BD﹣DM＝BM＝BD﹣BC＝PB．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N；对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上（2，0），点Q为点P的“对应点”．
①当N坐标为（2，2），在图中画出点Q，并求NT；
②当N为线段OM延长线上任意一点，连接PQ，交线段ON于点T．NT是否为定值？
（2）⊙O的半径为t，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，P为⊙O外一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在⊙O上运动时（用含t的式子表示）．
【分析】（1）①根据定义求出点P′，点Q的坐标，画出图形即可；
②连接QN，PM，证明四边形PMQN是平行四边形，可得结论；
（2）根据题意画出图形，可得结论．
【解答】（1）①解：图形如图1所示：
连接QN，PM．
由题意P′（3，5），3），
∵P（2，6），2），1），
∴QM＝PN＝4，QM∥PM，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∴MT＝NT，
∴NT＝＝×＝，
②由题意P′（3，5），3），
∵点P′关于点N的对称点为Q，
∴N（2，6），
∴QM＝PN＝2，QM∥PM，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∴MT＝NT，
∴NT＝＝×＝（为定值）；
（2）解：如图3中，观察图象可知，点Q所构成的图形的面积＝πt2．
x
…
6
5
4
3
…
s
…
4
3
2
1
…
x
…
6
5
4
3
…
y
…
200
300
400
500
…
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m,拱顶离水面5m.据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
D
B
B
A
C
B
D
D
x
…
6
5
4
3
…
s
…
4
3
2
1
…
x
…
6
5
4
3
…
y
…
200
300
400
500
…
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．