福建省厦门市思明区音乐学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份福建省厦门市思明区音乐学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的一次项系数是（ ）
A．﹣4B．﹣3C．2D．3
2．（4分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1
C．，D．x1＝1，x2＝0
3．（4分）如图是抛物线y＝x2﹣3x+c的示意图，则c的值可以是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
4．（4分）将抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2B．y＝﹣（x﹣2）2C．y＝﹣x2﹣2D．y＝﹣x2+2
5．（4分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+k，若点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
6．（4分）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，可列方程（ ）
A．（x+6）2+x2＝102B．（x﹣6）2+x2＝102
C．（x+6）2﹣x2＝102D．62+x2＝102
7．（4分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）
A．b＝﹣1B．b＝2C．b＝﹣2D．b＝0
8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，2），其对称轴是直线x＝，则不等式ax2+bx+c≤2的解集是（ ）
A．x≤0B．x≤﹣1或x≥2C．0≤x≤1D．x≤0或x≥1
9．（4分）一块三角形材料如图所示，∠A＝∠B＝60°，用这块材料剪出一个矩形DEFG，其中，点D，E分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积s与x之间的函数解析式是s＝﹣x2+x，则AC的长是（ ）
A．2B．3C． xD．1+x
10．（4分）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（ ）
A．x1＜m＜n＜x2B．m＜x1＜x2＜nC．m＜x1＜n＜x2D．x1＜m＜x2＜n
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2+5的顶点是 ．
12．（4分）若x＝3是方程x2﹣x+2a＝0的一个根，则a的值是 ．
13．（4分）淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，根据题意可列出方程为 （不用化简）．
14．（4分）已知一个二次函数，当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的二次函数解析式 ．
15．（4分）已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过A（n+3，y1），B（2n﹣1，y2）两点，若A、B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 ．
16．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣4x+1＝0．
18．（8分）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4．
（1）在平面直角坐标系中，列表描点法画出该二次函数的图象；
（2）根据图象回答：
①当0＜x≤3时，y的取值范围是 ；
②当y＜0时，x的取值范围是 ．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．
（1）x1x2＝ ；
（2）若x2+x1＝6，求m的值．
20．（8分）某地举行一次篮球比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间赛一场），共进行了55场比赛．请问有多少个队伍参加比赛？
21．（8分）已知函数y＝x2+mx+m﹣3．
（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）若函数有最小值﹣2，求函数表达式．
22．（10分）为缓解停车难的问题，太阳山小区利用一块长方形空地建一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．
（1）求通道的宽是多少米；
（2）该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位．
①当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27000元吗？
②当每个车位的月租金上涨时，停车场会有部分车位空置，所以物业部门拟把这些空置车位提供给到附近办事的人临时停车，经过调查发现每个空置车位每天平均收入10元（每月按30天算），则每个车位月租金上涨多少元时，停车场的总收入最高，最高是多少？
23．（11分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若一元二次方程为x2＝4，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ．
（2）若点M是关于x的一元二次方程为x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝0的衍生点，若点M在直线y＝﹣x上，求m的值；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝﹣kx+2（4+k）的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
24．（12分）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表．
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
25．（14分）已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：y＝kx+b与抛物线有且只有一个交点A，且与y轴交于点B，点C的坐标为（0，﹣2），直线AC交抛物线于点D，连接OA，OD，BD．
（1）用含k的代数式表示b；
（2）求证：AC＝BC；
（3）在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．
2024-2025学年福建省厦门市思明区音乐学校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．【解答】解：一元二次方程2x2+3x﹣4＝0一次项系数是：3．
故选：D．
2．【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故选：D．
3．【解答】解，由图象可得，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，所以c＞0，
结合选项，只有A选项符合，B、C、D选项不符合．
故选：A．
4．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位得到的抛物线是y＝﹣x2+2．
故选：D．
5．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+k，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点A（0，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝（x﹣1）2+k图象上的两点，|1﹣0|＝1，|3﹣1|＝2，
∴y1＜y2．
故选：C．
6．【解答】解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，
依题意得：（x+6）2+x2＝102．
故选：A．
7．【解答】解：Δ＝b2﹣4，由于当b＝﹣1时，满足b＜0，而Δ＜0，方程没有实数解，所以当b＝﹣1时，可说明这个命题是假命题．
故选：A．
8．【解答】解：∵点A（0，2），抛物线的对称轴是直线x＝，
∴点A关于对称轴对称的点的坐标为（1，2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝2的交点坐标为（0，2），（1，2），
∴不等式ax2+bx+c≤2的解集是x≤0或x≥1．
故选：D．
9．【解答】解：∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵DE＝x，
∴DE、GF之间的距离＝（BC﹣x）＝（AC﹣x），
∴矩形DEFG的面积s＝（AC﹣x）x＝﹣x2+AC•x，
又∵s与x之间的函数解析式是s＝﹣x2+x，
∴AC＝2．
故答案为：A．
10．【解答】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，
即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如图所示（省略了y轴），
从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．【解答】解：关于二次函数y＝2（x﹣3）2+5，
∴顶点坐标为（3，5），
故答案为：（3，5）．
12．【解答】解：将x＝3代入x2﹣x+2a＝0，
∴9﹣3+2a＝0，
∴a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．【解答】解：根据题意得：5（1+x）2＝9.8．
故答案为：5（1+x）2＝9.8．
14．【解答】解：∵当x＜2时y随x增大而增大；当x＞2时y随x增大而减小，
∴对称轴为x＝2，开口向下，
∴符合条件的二次函数可以为：y＝﹣（x﹣2）2，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2（答案不唯一）．
15．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过A（n+3，y1），B（2n﹣1，y2）两点，A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，
∴抛物线对称轴为，a＝1＞0，抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴A点离对称轴近，B点离对称轴远．
下面分两种情况讨论：
①若点A在抛物线对称轴的左侧，点B在抛物线对称轴的右侧，
则，
解得，
∴不等式组无解，
∴该情况不存在；
②若点A在抛物线对称轴的右侧，点B在抛物线对称轴的左侧，
则，
解得，
∴﹣2＜n＜0，
综上所述，n的取值范围是﹣2＜n＜0，
故答案为：﹣2＜n＜0．
16．【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故答案为：﹣6＜m＜﹣2．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．【解答】解：（1）x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3；
（2）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝±，
x1＝2+，x2＝2﹣．
18．【解答】解：（1）列表如下：
，
描点、连线：
；
（2）①观察图象可知：当0＜x≤3时，﹣4≤y≤0；
②当y＜0时，﹣1＜x＜3．
19．【解答】解：（1）根据根与系数的关系得：x1x2＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝m，x1x2＝﹣2，
∵x2+x1＝6，
∴x1x2（x1+x2）＝6，
∴﹣2m＝6，
∴m＝﹣3．
20．【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意舍去），
所以，这次有11队参加比赛．
答：这次有11队参加比赛．
21．【解答】（1）证明：Δ＝m2﹣4（m﹣3）＝m2﹣4m+12＝（m﹣2）2+8，
∵（m﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）∵，
整理得m2﹣4m+4＝0，
∴m1＝m2＝2，
所求函数表达式为：y＝x2+2x﹣1．
22．【解答】解：（1）设通道的宽是x米，则阴影部分可合成长为（52﹣2x）m，宽为（28﹣2x）m的长方形，
根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣40x+204＝0，
解得：x1＝6，x2＝34（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽是6米；
（2）①当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27000元，理由如下：
设每个车位的月租金上涨m元，停车场的月租金收入为w元，则可租出（64﹣）个车位，
根据题意得：w＝（400+m）（64﹣）＝﹣m2+24m+25600，
即w＝﹣（m﹣120）2+27040，
∵﹣＜0，
∴当m＝120时，w取得最大值，最大值为27040，
∵27040＞27000，
∴当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27000元；
②设每个车位的月租金上涨m元，停车场的总收入为y元，则可租出（64﹣）个车位，
根据题意得：y＝（400+m）（64﹣）+30×10×＝﹣m2+54m+25600，
即y＝﹣（m﹣270）2+32890，
∵﹣＜0，
∴当m＝270时，y取得最大值，最大值为32890，
∴每个车位月租金上涨270元时，停车场的总收入最高，最高是32890元．
23．【解答】解：（1）∵x2＝4，
∴x1＝﹣2，x2＝2，
∴M（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）；
（2）x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝0，解得：x1＝﹣m﹣2，x2＝﹣m，x1＜x2，
∴M（﹣m﹣2，﹣m），
∵点M在直线y＝﹣x上，
∴﹣m＝﹣（﹣m﹣2），解得：m＝﹣1，
∴m的值为﹣1；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣kx+2（4+k）＝k（﹣x+2）+8，
∴直线恒过定点（2，8），则方程x2+bx+c＝0的衍生点M为（2，8），
∴根据根与系数的关系有，，即，
∴b＝﹣10，c＝16．
24．【解答】解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设x＝kt，y＝at2+bt，
由题意得：10＝2k，，
解得：k＝5，，
∴x＝5t，y＝﹣t2+12t，
问题解决：（1）依题意，得﹣t2+12t＝0．
解得，t1＝0（舍），t2＝24，
当t＝24 时，x＝120．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m．
（2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y′＝﹣t2+12t+n，
∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26．
在y′＝﹣t2+12t+n中，
当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；
当t＝26，y′＝0时，n＝26．
∴12.5＜n＜26．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m．
25．【解答】（1）解：令，
整理得 x2﹣4kx﹣12﹣4b＝0，
∵直线AB与抛物线有且只有一个交点，
∴Δ＝16k2+4（12+4b）＝0，
∴b＝﹣k2﹣3；
（2）证明：由题意可知，联立，
解得，
∴点A坐标是（2k，k2﹣3），
又∵点B坐标是（0，﹣k2﹣3），点C坐标是（0，﹣2），
∴BC＝1+k2，
由勾股定理，得，
∴AC＝BC；
（3）解：点A在抛物线上运动的过程中，是定值．理由如下：
设直线AC的表达式为y＝mx﹣2，
将点A坐标是（2k，k2﹣3）代入y＝mx﹣2，
得 k2﹣3＝2km﹣2，即，
联立，
解得（舍去），，
∴点D坐标是，
又∵点A坐标是（2k，k2﹣3），点B坐标是（0，﹣k2﹣3），点C坐标是（0，﹣2），
∴，
，
∴．
x
y
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离x/m
0
10
20
30
40
…
飞行高度y/m
0
22
40
54
64
…
x
…
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
…
x
…
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
…
x
…
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
…