河北省名校联考2026届高三上学期12月联合调研测试 数学试卷（含答案）

这是一份河北省名校联考2026届高三上学期12月联合调研测试 数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的第二项和第三项分别为3，1，则第5项的值为（ ）
A．B．C．2D．
3．设，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知函数是奇函数，则（ ）
A．B．0C．2026D．4052
5．已知为实数，设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的必要不充分条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
6．设函数，若曲线在处的切线方程为，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．对于正数、，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数（且）的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．当时，
10．已知平面向量，则（ ）
A．当时，B．当时，的最小值为
C．当时，D．当时，
11．在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．算法中常用复杂度表示所需算力，指数时间复杂度表示算法的时间复杂度随输入规模呈指数型增长.记最终所需算力为，由硬件导致的规模系数为（可视为常数），则有.当输入规模增加1时，所需算力变为原来的4倍，则 .
13．已知球上两点满足，则球体积的最小值为 ．
14．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为可通过的最大极限长度的倍，则的值是 .

四、解答题
15．如图，为圆锥顶点，为底面圆心，为底面直径，．底面圆周上一点满足，为中点．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
16．将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍后得到的曲线向左平移个单位长度得到函数的图象．
(1)求；
(2)若在上单调递增，求实数的取值范围．
17．已知数列的首项为1，且是首项与公比均为的等比数列，已知．
(1)判断和的大小关系；
(2)证明：是等比数列；
(3)求数列的通项公式．
18．设，的实部为，虚部为．
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)求的前项和．
19．记函数导数为，的导数为，的导数为．且的图象在上均为连续不断的曲线．已知存在实数使得．
(1)设，判断与0的大小，并说明理由；
(2)若，证明：存在实数，使得在上无零点；
(3)若，且存在实数，使得在上恒成立，求实数的取值范围（用含的表达式表示）．
参考答案
1．A
【详解】由得，所以；解不等式得，所以.
所以.
故选：A
2．A
【详解】由题意，设公差为d，所以，
则.
故选：A
3．C
【详解】由复数的模公式得，即，
解得或，又，则.
故选：C.
4．B
【详解】当时，，
此时，，
因为函数为奇函数，则，则，
即.
则，，
所以.
故选：B.
5．C
【详解】甲：，令，则.
所以甲是乙的不充分条件；
乙：，因为，
所以，即，所以甲是乙的必要条件.
综上，甲是乙的必要不充分条件.
故选：C.
6．B
【详解】由知，理由：当时，，
此时函数图象在处为尖锐点，不存在导数，
当时，在上，，此时，矛盾．
当时，在上，，此时，而，
故曲线在处的切线方程为，
即，故，由得，
故选：B．
7．B
【详解】因为，所以，解得，
所以.
故选：B
8．B
【详解】由可得，
即，
构造函数，
因为函数、、在上为增函数，
故函数在上为增函数，
由可得，所以，即．
故选：B．
9．ABD
【详解】对于选项A：因为在定义域内是增函数可知，故A正确；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：因为，
由图可知，即，
且，可得，，故C错误；
对于选项D：因为，
则，可得，
因为在区间上单调递增，则在区间上单调递增，
若，则，故D正确；
故选：ABD.
10．ABD
【详解】对于A，当时，，即，故A正确；
对于B，当时，即，
所以，
当且仅当时取得等号，故B正确；
对于C，当时，则，所以，
解之得或，故C错误；
对于D，当时，则，所以，
而，则，故D正确.
故选：ABD
11．ABC
【详解】对于A，由正弦定理得 ，故A正确；
对于，由题意，
即
即 ，即，故B正确；
对于C，设，显然，
由余弦定理得等价于，
由正弦定理得，
即，
即
，
于是，
代入得，
解得，于是，故C正确；
对于D，，显然，故D错误；
故选:ABC．
12．2
【详解】由题意可得，
因为，
所以，解得.
故答案为：2.
13．
【详解】因为球体中的最长弦为直径，
所以当球的直径时，球的半径最小，
此时，.
故答案为：
14．
【详解】如图，铁管水平放置时，令，
，，，
设，，
．
令，，解得：，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以，
此时通过最大长度，，
倾斜后硬管可通过的最大极限长度，
．
故答案为：．
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，
可知，
由为中点可得．
（2）以为坐标原点，垂直于平面的方向为轴正方向，
的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
不妨设，则，
于是．
记平面与平面的一个法向量分别为，
，即，可取，
，即，可取，
记平面 与平面 的夹角为．
16．(1)
(2)．
【详解】（1）通过伸缩变换所得到的曲线解析式为，
所以，
（2）由得，记，
由解得，
可得的单调增区间为．
于是，由知，而，故，
于是由得，故，
于是由得实数的取值范围是．
17．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）是首项与公比均为的等比数列，故．
则，
又，故．
（2）由，有，
结合（1），，故，
由，同（1）可得，故．
结合两式可得，又，
所以是首项为，公比为的等比数列．
（3）结合（2）
，
所以数列的通项公式．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，故．
（2）因为，所以，
而，所以，
又，所以，
而，
故.
（3）由，可得，
于是，
注意到，
而，
，
故是首项为，公比为的等比数列
于是．
19．(1)，理由见解析
(2)证明见解析
(3)．
【详解】（1），令，即．又，故．
，则．故．
（2）由．
若在上没有零点，则在上恒为正或恒为负，
又由于的图象在上为连续不断的曲线，故在上恒成立．
若在上存在零点，根据零点存在性定理，设是在上的第一个零点，即且，在内．
因为在上连续且无零点，所以在上恒为正或恒为负．
由于，可知在上恒成立，
综上，总存在一个右侧的开区间或使得在上恒成立．
故当时，；
故在上单调递减．
又，故必然存在一个实数，使得对于任意， 恒成立，
故在上无零点．
（3）令．故原不等式等价于在上恒成立．
．
又，所以，
且．
若，此时．
由于且易知的图象在上均为连续不断的曲线，
由（2）同理可知，总存在一个包含的开区间，使得在上恒成立，
故在上单调递增．
当时，，故，
又，所以在上恒成立，
因为，所以在上单调递减，
又，所以当时，．
因为，所以在上单调递增．
又，所以当时，．
这与题设在上恒成立相矛盾，故舍去．
若，此时，且．
由（2）同理可知，总存在区间，使得在上恒为正．
同理，总存在区间，使得在上恒为正．
因此，在区间内，故在区间上单调递增．
又，所以当时，在上单调递增．
，当时，时，．
故在上单调递减．
又，所以当时，．
因此，取，则在上恒成立，符合题意．
若，此时 ．．
由于，由（2）同理可知，总存在区间，使得在上恒为正．
同理，总存在区间，使得在上恒为正，
因此，在区间内．
故在区间上单调递增．
又，当时，；当时，．
因此，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又，所以当时，在上单调递增．
，当时，．
又，所以当时，．
故在上单调递增．
，当时，．
由于当时，不符合题意，故舍去．
综上所述，实数的取值范围是．