江苏省泰州市 2025-2026学年八年级上学期期末数学练习卷（含答案+解析）

这是一份江苏省泰州市 2025-2026学年八年级上学期期末数学练习卷（含答案+解析），共15页。
A．≠B．αC．≌D．Ω
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．364=±4
B．若x2＝1，则x＝1
C．36的算术平方根是6
D．平方根等于本身的数是0，1
3．（3分）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法中，错误的是（ ）
A．k＜0，b＞0
B．若点（﹣1，y1）和点（2，y2）是直线l上的点，则y1＜y2
C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2
D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为y＝kx
4．（3分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A．2B．5C．6D．π
5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝2x+k的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
6．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（52，52）B．（3，3）C．（74，74）D．（94，94）
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
7．（3分）“近似数3.14万”精确到 位．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝11，则CE＝ ．
9．（3分）若（1﹣x）3＝64，则x的值是 ．
10．（3分）请写出一个图象经过第二、三、四象限且与y轴交于点（0，﹣2）的一次函数的解析式 ．
11．（3分）（1）已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（0，1），B（2，0）两点，则当x 时，y≤0．
（2）如图是一次函数y＝kx+b的图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解为 ．
12．（3分）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx+b与y＝bx+k互为交换函数．例如：y＝4x+3的交换函数为y＝3x+4．一次函数y＝kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为 ．
13．（3分）如图，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝ ．
14．（3分）如图，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是 ．
15．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，S△ABC＝8，点P是边BC上的一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，连接MN，则MN的最小值为 ．
16．（3分）如图，在直角坐标系中，已知AB∥x轴，AC＝BC，A（﹣4，4），C（0，1），D（2，7）．现在为方便居民生活，政府决定在一条笔直的公路边上新建一个燃气站P，该公路的函数表达式是直线y＝x﹣1，从燃气站P向C、D两个中转站分别铺设管道，输送燃气．C、D两个中转站点之间有一个古建筑区△ABC，燃气管道不能穿过该区域，为使铺设管道的路线最短，则燃气站P的坐标是 ．
三．解答题（共10小题，满分102分）
17．（8分）如图，已知AD＝BE，BD＝CE，B是AC的中点，求证：△ABD≌△BCE．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．
（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
19．（8分）贵阳的筑城广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
求风筝的高度CE．
20．（8分）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
21．（10分）如图，直线l是一次函数y＝kx+4的图象，且直线l经过点（1，2）．
（1）求k的值；
（2）若直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，求△AOB的面积．
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90，AB＝4cm，AC＝3cm，AD为BC边上的高线．
（1）如图1，求AD的长；
（2）如图2，当AE为△ABD的角平分线时，求DE的长．
23．（10分）如图，∠BAD、∠ABE是△ABC的两个外角．
（1）用无刻度直尺和圆规分别作∠BAD和∠ABE的平分线，两线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CO，求证：CO平分∠ACB．
24．（10分）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3千米时，乙才出发；开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；2.8小时后，甲到达B地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间的关系如图所示．
（1）求出图中t的值；
（2）求甲改变骑行速度后，y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙到达B地后，求甲离B地的路程．
25．（14分）在△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，点D是AC边上一个动点，连接DO．
（1）如图①，当直线DO恰好垂直平分AB时，若BC＝2，AC＝3．
①连接BD，求△BCD的周长；
②求线段CD的长；
③如图②，在△ABC右侧作∠ABE＝∠ABC，过点A作AE∥BC交BE于点E，求线段BE的长．
（2）如图③，过点B作OD的垂线，垂足为H，连接HC，若BC＝2，∠A＝30°，在点D运动的过程中，HC的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
26．（16分）【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得PA+PB最小？
小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以PA+PB＝PA′+PB≥A′B，当A′、P、B三点共线的时候，PA′+PB＝A′B，此时PA+PB最小．
如图②，在直线l上找一点P，如何使得|PA﹣PB|最大？
小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′并延长交直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以|PA﹣PB|＝|PA′﹣PB|≤A′B，当A′、P、B三点共线的时候，|PA﹣PB|＝A′B，此时|PA﹣PB|最大．
可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决．
【理解运用】（1）如图③，直线y=12x+b上有点A（4，a）、B（﹣2，1），点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动．
①求a、b的值；
②当PA+PB最小时，求点P的坐标；
③令t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值．
【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，若点M、N分别是线段OP、OQ上的动点，且PM＝ON，连接PN、MQ，当PN+MQ最小时，求点M的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．≠B．αC．≌D．Ω
【解答】解：选项A、B、C中的图案不是轴对称图形，故选项A、B、C不符合题意；
选项D：Ω有竖直方向的对称轴，是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．364=±4
B．若x2＝1，则x＝1
C．36的算术平方根是6
D．平方根等于本身的数是0，1
【解答】解：A.364=4，选项错误，不符合题意；
B．若x2＝1，则x＝±1，选项错误，不符合题意；
C.36的算术平方根是6，选项正确，符合题意；
D．平方根等于本身的数是0，选项错误，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法中，错误的是（ ）
A．k＜0，b＞0
B．若点（﹣1，y1）和点（2，y2）是直线l上的点，则y1＜y2
C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2
D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为y＝kx
【解答】解：A．由一次函数的图象可知k＜0，b＞0，故A正确，不合题意；
B．∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵点（﹣1，y1）和点（2，y2）是直线l上的点，﹣1＜2，
∴y1＞y2，故B错误，符合题意；
C．∵点（2，0）在直线l上，
∴直线y＝kx+b与x轴的交点为（2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2，故C正确，不合题意；
C．根据“上加下减”的平移规律，将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为y＝kx+b﹣b＝kx，
故C正确，不合题意．
故选：B．
4．（3分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A．2B．5C．6D．π
【解答】解：∵1＜2＜4，4＜5＜9，4＜6＜9，π≈3.14，
∴1＜2＜2，2＜5＜3，2＜6＜3，π≈3.14，而点P表示的数的取值范围在1和2之间，
∴点P表示的数可能为2，
故选：A．
5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝2x+k的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
在一次函数y＝2x+k中，2＞0，k＜0，
∴一次函数y＝2x+k图象经过一、三、四象限，
故选：B．
6．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（52，52）B．（3，3）C．（74，74）D．（94，94）
【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∠CMP=∠DNP∠MCP=∠DPNPC=PD
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD=(3−1)2+(2−1)2=5，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM=( 5)2−12=2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k=−13，
即直线CD的解析式是y=−13x+3，
即方程组 y=−13x+3 y=x得：x=94y=94，
即Q的坐标是（94，94）．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
7．（3分）“近似数3.14万”精确到 百 位．
【解答】解：∵“近似数3.14万”中的数字4在百位上，
∴“近似数3.14万”精确到百位，
故答案为：百．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝11，则CE＝ 112 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，斜边上的中线等于斜边的一半，
∴CE=112，
故答案为：112．
9．（3分）若（1﹣x）3＝64，则x的值是 ﹣3 ．
【解答】解：∵（1﹣x）3＝64，
∴1﹣x＝4，
∴x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
10．（3分）请写出一个图象经过第二、三、四象限且与y轴交于点（0，﹣2）的一次函数的解析式 y＝﹣x﹣2（答案不唯一） ．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
∵一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0，
把（0，﹣2）代入得b＝﹣2，
若k取﹣1，则一次函数解析式为y＝﹣x﹣2．
故答案为：y＝﹣x﹣2（答案不唯一）．
11．（3分）（1）已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（0，1），B（2，0）两点，则当x ≥2 时，y≤0．
（2）如图是一次函数y＝kx+b的图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解为 x＞﹣2 ．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过两点A（0，1），B（2，0），
∴b=12k+b=0，
解得：k=−0.5b=1，
这个一次函数的表达式为y＝﹣0.5x+1．
解不等式﹣0.5x+1≤0，
解得x≥2．
故答案为：≥2；
解（2）由题意可得：一次函数y＝kx+b中，y＞0时，图象在x轴上方，x＞﹣2，
则关于x的不等式kx+b＞0的解是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
12．（3分）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx+b与y＝bx+k互为交换函数．例如：y＝4x+3的交换函数为y＝3x+4．一次函数y＝kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为 1 ．
【解答】解：由题意可得，
y=kx+2y=2x+k，
解得，x=1y=k+2，
故答案为：1．
13．（3分）如图，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝ 45° ．
【解答】解：连接AD，
由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，CD2＝22+42＝20，
∴AD＝AC，AD2+AC2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAD+∠ADE＝180°，
∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°．
14．（3分）如图，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是 18 ．
【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F．
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD＝OE＝OF＝3．
∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC，
∴S△ABC=12AB•OE+12AC•OF+12BC•OD
=12（AB+AC+BC）•OD
=12×12×3＝18．
故答案为：18．
15．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，S△ABC＝8，点P是边BC上的一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，连接MN，则MN的最小值为 163 ．
【解答】解：连接PM，PN，AM，AP，AN，ρ
∵点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，
∴AB垂直平分PM，AC垂直平分PN，
∴AM＝AP，AN＝AP，
∴∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，
∵∠PAB+∠PAC＝30°，
∴∠MAB+∠NAC＝30°，
∴∠MAN＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN＝AM＝AP，
当AP⊥CB时，AP最小，此时NM最小，
∵S△ABC＝8，
∴12BC•AP＝8，
∴AP=163，
∴MN的最小值是163，
故答案为：163．
16．（3分）如图，在直角坐标系中，已知AB∥x轴，AC＝BC，A（﹣4，4），C（0，1），D（2，7）．现在为方便居民生活，政府决定在一条笔直的公路边上新建一个燃气站P，该公路的函数表达式是直线y＝x﹣1，从燃气站P向C、D两个中转站分别铺设管道，输送燃气．C、D两个中转站点之间有一个古建筑区△ABC，燃气管道不能穿过该区域，为使铺设管道的路线最短，则燃气站P的坐标是 (103，73) ．
【解答】解：作点C（0，1）关于直线y＝x﹣1的对称点E，连接BE交直线y＝x﹣1于点P，连接CP，
因为燃气管道不穿过△ABC，所以连接BD，此时管道路线最短，
设AB交y轴于点F，直线y＝x﹣1交x轴于点M，交y轴于点N，如图所示，
∵AB|x轴，
∴CF⊥AB，
∵CA＝CB，
∴AF＝BF，
∵A（﹣4，4），
∴BF＝AF＝4，
∴B（4，4），
∵D（2，7）
∴BD=(4−2)2+(7−4)2=13，
令x＝0得y＝﹣1，
∴N（0，1），
令y＝0得x﹣1＝0，解得x＝1，
∴M（1，0），
又∵C（0，1），
∴在Rt△OCM中，OC＝OM＝1，
在Rt△OMN中，ON＝OM＝1，
由C、E对称可知，PC＝PE，CM＝EM，
∴BD+BP+PC=BD+BE=13+BE，
∵CM＝EM，C（0，1），M（1，0），
∴xE+xC2=xM，yE+yC2=yM，
∴xE＝2﹣0＝2，yE＝0﹣1＝﹣1，
∴E（2，﹣1），
设直线BE的解析式为：y＝kx+b，代入点B、E的坐标，可得2k+b=−14k+b=4，
解得，k=52b=−6，
∴直线BE的解析式为：y=52x−6，
联立y=52x−6y=x−1，
解得x=103y=73，
∴P(103，73)．
故答案为：(103，73)．
三．解答题（共10小题，满分102分）
17．（8分）如图，已知AD＝BE，BD＝CE，B是AC的中点，求证：△ABD≌△BCE．
【解答】证明：∵B是AC的中点，
∴AB＝CB，
在△ABD与△BCE中，
AD=BEAB=BCBD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SSS）．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．
（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
【解答】解：（1）如图1，
（2）如图2，
（3）图1是W，图2是X．
19．（8分）贵阳的筑城广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
求风筝的高度CE．
【解答】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得：
CD=CB2−BD2=252−152=20（米），
所以CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米），
答：风筝的高度CE为21.7米．
20．（8分）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【解答】解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，
由题意，得10a+5b=10005a+3b=550，
解得a=50b=100，
∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，
根据题意，得50x+100y＝10000，
由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，
把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，
∵y≥20，
∴20≤y≤25且为正整数，
∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
∴共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，
则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，
∵﹣10＜0，
∴W随y的增大而减小，
∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
21．（10分）如图，直线l是一次函数y＝kx+4的图象，且直线l经过点（1，2）．
（1）求k的值；
（2）若直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）把（1，2）代入y＝kx+4，
得k+4＝2，解得k＝﹣2；
（2）当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得x＝2，
则直线y＝﹣2x+4与x轴的交点坐标为A（2，0）．
当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，
则直线y＝﹣2x+4与y轴的交点坐标为B（0，4）．
所以△AOB的面积为12×2×4＝4．
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90，AB＝4cm，AC＝3cm，AD为BC边上的高线．
（1）如图1，求AD的长；
（2）如图2，当AE为△ABD的角平分线时，求DE的长．
【解答】解：（1）在Rt△BAC中，由勾股定理得：BC=AB2+AC2=42+32=5（cm），
∵S△ABC=12AB•AC=12AD•BC，
∴AD=AB⋅ACBC=4×35=125（cm），
答：AD的长为125cm；
（2）如图2，过点E作EF⊥AB于点F，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BD，
∴EF＝DE，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD=AB2−BD2=42−(125)2=165（cm），
∵S△ABD=12AD•BD=12×125×165=9625（cm2），
S△ABD＝S△ADE+S△ABE=12AD•DE+12AB•EF=12×125×DE+12×4×DE=165DE，
∴165DE=9625，
∴DE=65（cm），
答：DE的长为65cm．
23．（10分）如图，∠BAD、∠ABE是△ABC的两个外角．
（1）用无刻度直尺和圆规分别作∠BAD和∠ABE的平分线，两线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CO，求证：CO平分∠ACB．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：过点O作OH⊥CD于点H，OM⊥AB于点M，ON⊥CE于点N．
∵AO平分∠BAD，OB平分∠ABE，
∴OH＝OM，OM＝ON，
∴OH＝ON，
∴OC平分∠ACB．
24．（10分）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3千米时，乙才出发；开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；2.8小时后，甲到达B地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间的关系如图所示．
（1）求出图中t的值；
（2）求甲改变骑行速度后，y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙到达B地后，求甲离B地的路程．
【解答】解：（1）由图象可得，乙的速度为36÷2.4＝15（千米/时），
∵开始时，甲、乙两人骑行速度相同，
∴t=18−315=1，
∴t的值为1；
（2）设甲改变骑行速度后，y关于x的函数关系式为y＝kx+b，
把（1，18），（2.8，36）代入得：
k+b=182.8k+b=36，
解得k=10b=8，
∴甲改变骑行速度后，y关于x的函数关系式为y＝10x+8（1≤x≤2.8）；
（3）由图象可知，t＝2.4时，乙到达B地，
在y＝10x+8中，令x＝2.4得y＝10×2.4+8＝32，
∵36﹣32＝4（千米），
∴乙到达B地后，甲离B地4千米．
25．（14分）在△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，点D是AC边上一个动点，连接DO．
（1）如图①，当直线DO恰好垂直平分AB时，若BC＝2，AC＝3．
①连接BD，求△BCD的周长；
②求线段CD的长；
③如图②，在△ABC右侧作∠ABE＝∠ABC，过点A作AE∥BC交BE于点E，求线段BE的长．
（2）如图③，过点B作OD的垂线，垂足为H，连接HC，若BC＝2，∠A＝30°，在点D运动的过程中，HC的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①如图1，∵直线DO恰好垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵BC＝2，AC＝3，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝2+3＝5；
②设CD＝x，则AD＝BD＝3﹣x，
∵∠C＝90°，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴x2+22＝（3﹣x）2，
∴x=56，
∴CD=56；
③如图2，过点B作BF⊥AE于F，则BF＝AC＝3，AF＝BC＝2，
设EF＝a，则AE＝a+2，
∵AE∥BC，
∴∠ABC＝∠BAE，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴BE＝AE＝a+2，
由勾股定理得：EF2+BF2＝BE2，
∴a2+32＝（a+2）2，
∴a=54，
∴BE＝a+2=54+2=134，
即BE的长是134；
（2）存在，
如图3，取OB的中点M，连接MH，
∵BC＝2，∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝2BC＝4，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB＝2，
∵BH⊥OD，
∴∠BHD＝90°，
∴MH=12OB＝OM＝BM＝1，
∴点H在以OB为直径的圆上，
连接CH，CM，则CM+MH≥CH，
当C，M，H三点共线时，CH有最大值，其最大值为：CM+MH，
如图4，连接CO，则CO=12AB＝2＝OB，
∵∠B＝60°，
∴△BCO是等边三角形，
∵M是OB的中点，
∴CM⊥OB，
∴CM=BC2−BM2=22−12=3，
∴CH的最大值是3+1．
26．（16分）【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得PA+PB最小？
小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以PA+PB＝PA′+PB≥A′B，当A′、P、B三点共线的时候，PA′+PB＝A′B，此时PA+PB最小．
如图②，在直线l上找一点P，如何使得|PA﹣PB|最大？
小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′并延长交直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以|PA﹣PB|＝|PA′﹣PB|≤A′B，当A′、P、B三点共线的时候，|PA﹣PB|＝A′B，此时|PA﹣PB|最大．
可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决．
【理解运用】（1）如图③，直线y=12x+b上有点A（4，a）、B（﹣2，1），点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动．
①求a、b的值；
②当PA+PB最小时，求点P的坐标；
③令t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值．
【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，若点M、N分别是线段OP、OQ上的动点，且PM＝ON，连接PN、MQ，当PN+MQ最小时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）①由题意得，
12×4+b=a12×(−2)+b=1，
∴a=4b=2；
②如图1，
作点B关于x轴对称点B′，连接AB′，交x轴于点P，则PA+PB最小，
设直线AB′的解析式为：y＝kx+m，
∴4k+m=4−2k+m=−1，
∴k=56m=23，
∴y=56x+23，
当y＝0时，0=56x+23，
∴x=−45，
∴（−45，0）；
③如图1，
作点B关于y轴对称点B″（2，1），作直线AB″，交y轴于点Q，
则t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB最大，
设直线AB″的解析式为：y＝px+q，
∴4p+q=42p+q=1，
∴p=32q=−2，
∴y=32x−2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴Q（0，﹣2），
∵QA﹣QB＝QA﹣QB″＝AB″=(4−2)2+(4−1)2=13，
PA+PB＝PA+PB′＝AB′=(4+2)2+(4+1)2=61，
t最大＝QA﹣QB﹣PA﹣PB=13−61；
（2）如图2，
作PG⊥x轴，截取PG＝OP，
∵PM＝ON，∠GPM＝∠PON＝90°，
∴△GPM≌△PON（SAS），
∴PN＝GM，
∴PN+MQ＝GM+MQ≥GQ，
∴当G、M、Q共线时，PM+QN最小，
∵G（−45，45），Q（0，﹣2），
∴直线GQ的解析式为：y=−72x−2，
当y＝0时，−72x−2=0，
∴x=−47，
∴M（−47，0）．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/23 20:20:26；用户：名思；邮箱：[email protected]；学号：32366772题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
B
A
B
D