2024-2025学年上海市通河中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市通河中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆C1的半径为3，圆C2的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是( )
A. 0B. 4C. 8D. 12
2.已知直线l的方向向量为a=(1,−1,λ)，平面α的一个法向量为n=(−2,2,1)，若l⊥α，则λ的值( )
A. −2B. −12C. 1D. 4
3.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3+a10>0，S11b>0)，过左焦点F作直线l与圆M：x2+y2=c24相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|=3|EF|，则椭圆离心率为______．
15.已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则|x1+y1−1| 2+|x2+y2−1| 2的最大值为 ．
16.已知数列{an}，a1=1，an∈{1,−1}，(n≥2)，并且前n项的和Sn满足：
①存在小于1013的正整数t，使得S2t+1=−1；
②对任意的正整数k和m，都有|S2m−S2k−1|≤1．
则满足以上条件的数列{Sn}(1≤n≤2025)共有______个.
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，已知在四棱柱ABCD−EFGH中，EA⊥平面ABCD，N、M分别是EF、HD的中点．
(1)求证：HN//平面AFM；
(2)若底面ABCD为梯形，AB//CD，AB=EA=2，AD=DC=1，异面直线AB与EH所成角为π2，求直线AN与平面AFM所成角的正弦值．
18.(本小题14分)
2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱.返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”.如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点F(0,−1)和短轴的两个顶点(2,0)与(−2,0)．
(1)写出图中“果圆”的方程；
(2)直线y=x交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度(精确到0.01)．
19.(本小题14分)
已知{an}是公差d=2的等差数列，其前5项和为15，{bn}是公比q为实数的等比数列，b1=1，b4−b2=6．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=2an+b2n(n≥1,n∈N)，计算i=1nci．
20.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AB=4，且PM=λPB,(λ∈[0,1])．
(1)求证：PB⊥AC；
(2)当∠AMC为钝角时，求实数λ的取值范围；
(3)若二面角M−AC−B的大小为45°，求点P到平面AMC的距离．
21.(本小题14分)
已知双曲线C：x2−y2b2=1的图像经过点(2,3)，点A、F2分别是双曲线C的左顶点和右焦点.设过F2的直线l交C的右支于P、Q两点，其中点P在第一象限．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线AP、AQ分别交直线x=12于M、N两点，证明：MF2⋅NF2为定值；
(3)是否存在常数λ，使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.A
5.y2=4x
6.(−2,3,4)
7.35
8.2π3
9.−12b−c
10.2x−y−5=0
11.(−13,23,13)
12.(1,−2)
13.(0, 2)
14. 3−12
15. 2+ 3
16.21012−1
17.(1)证明：取AF的中点P，连接PN，
因为N是EF的中点，所以PN//AE，PN=12AE，
又M是DH的中点，所以HM//AE，HM=12AE，
所以PN//HM，PN=HM，
所以四边形PNHM是平行四边形，
所以HN//PM，
又HN⊄平面AFM，PM⊂平面AFM，
所以HN//平面AFM．
(2)解：由四棱柱的性质知，AD//EH，
所以AB与AD所成的角就是异面直线AB与EH所成角，即∠BAD=π2，也即AB⊥AD，
因为EA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
所以EA⊥AB，EA⊥AD，
故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，F(2,0,2)，M(0,1,1)，N(1,0,2)，
所以AN=(1,0,2)，AF=(2,0,2)，AM=(0,1,1)，
设平面AFM的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AF=2x+2z=0n⋅AM=y+z=0，
令z=−1，则x=1，y=1，所以n=(1,1,−1)，
设直线AN与平面AFM所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|AN⋅n||AN|⋅|n|=|1−2| 5× 3= 1515，
故直线AN与平面AFM所成角的正弦值为 1515．
18.解：(1)在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点F(0,−1)和短轴的两个顶点(2,0)与(−2,0)．
可得椭圆的c=1，b=2，则a= 4+1=5，
所以椭圆方程为：y25+x24=1(y∈[0, 5])；
设圆的圆心坐标为(0,t)，可得 t2+4=|t+1|，可得t=32．
所以圆的半径为：52，所求圆的方程为：x2+(y−32)2=254(y∈[−1,0])．
(2)由y25+x24=1y=x，可得B(2 53,2 53)，
由y=xx2+(y−32)2=254，解得A(3− 414,3− 414).
所以|AB|= (2 53−3− 414)2+(2 53−3− 414)2≈3.31．
19.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，又d=2，
∴S5=5a1+5×42×2=15，解得a1=−1，则an=2n−3．
又∵b1=1，且b4−b2=6，
∴q3−q=6，解得q=2，则bn=2n−1；
(2)由cn=2an+b2n(n≥1,n∈N)，得cn=22n−3+22n−1=58×4n，
可得数列{cn}是首项为52，公比为4的等比数列，
∴i=1ncn=52×(1−4n)1−4=56(4n−1)．
20.解：(1)证明：以点D为坐标原点，DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴正方向建立坐标系，

则D(0,0,0)，A(4,0,0)，C(0,4,0)，B(4,4,0)，P(0,0,4)
PB=(4,4,−4),AC=(−4,4,0)
因为PB⋅AC=−16+16=0
所以PB⊥AC；
(2)因为P(0,0,4),PB=(4,4,−4),PM=λ(4,4,−4)=(4λ,4λ,−4λ)，
从而M(4λ,4λ,4−4λ)，
所以AM=(4λ−4,4λ,4−4λ)=4(λ−1,λ,1−λ)，
CM=(4λ,4λ−4,4−4λ)=4(λ,λ−1,1−λ)，
当∠AMC为钝角时，AM⋅CM=16[2λ(λ−1)+(1−λ)2]