广东省东莞市七校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省东莞市七校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．椭圆的焦点为（ ）
A．B．C．D．
2．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．若直线被圆C截得的弦长为，则（ ）
A．±2B．C．2D．2
4．如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在正方体中，为的中点，在线段上，且，则与所成角的余弦值为（ ）

A．1B．0
C．D．
6．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．数学家莱莫恩（Lemine）在1867年发现并证明：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边所在的直线相交于点，则三点在同一直线上. 这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemine）线”.在平面直角坐标系中若某三角形三个顶点的坐标分别为，则该三角形的莱莫恩（Lemine）线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．直线与平行，则它们之间的距离为
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．点关于直线的对称点是
10．已知圆，，下列结论正确的是（ ）
A．若且两圆内切，则圆心的轨迹方程为
B．若，则两圆有3条公切线
C．若，则两圆的公共弦所在直线的方程为
D．若，为圆的直径，为圆上的动点，则的最大值为
11．在棱长为2的正方体中，点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，平面截正方体所得的截面的面积为
C．若且，则当取得最小值时，
D．若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为
三、填空题
12．如图，线段在平面内，，且，则
13．已知实数满足，则的最小值为
14．如图，“爱心”图案由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为 ．
四、解答题
15．如图，在棱长为2的正方体中，分别是平面，平面的中心．
(1)求证：四点共面；
(2)求的体积．
16．已知圆，直线
(1)求证：直线恒过定点；
(2)当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值；
(3)当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值．
17．已知双曲线过点，左右焦点分别为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求；
(3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率．
18．已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点．
(1)求；
(2)若为线段的中点，求二面角的正弦值；
(3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆．
(1)结合椭圆的定义以及椭圆与圆的关系，猜想椭圆上的所有点到某个焦点的平均距离和椭圆的面积（不需证明）；
(2)已知，请利用（1）的猜想解答下面问题．
①求椭圆的方程；
②为坐标原点，设点，过右焦点作的垂线交椭圆于两点．求面积的最大值．
1．C
根据方程分析可知焦点在x轴上，，即可得焦点坐标.
【详解】椭圆方程为，即，
可知，且焦点在x轴上，
则，所以焦点坐标为.
故选：C.
2．D
根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D.
【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误；
对于B，由，得，则，解得，故B错误；
对于C，由，得，则或，故C错误；
对于D，由，得，则，故D正确.
故选：D.
3．A
由直线和圆相交时的弦长公式求解即可.
【详解】由题意可得圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
又因为截得的弦长为，
所以，
化简得，解得.
故选：A.
4．C
连接，根据向量的线性运算与共线定理运算即可.
【详解】连接，

因为点为的中点，
所以
即，.
故选：C.
5．D
建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成的角的三角函数.
【详解】根据题意，可以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：

不妨设，则，，，.
所以，.
设直线与所成的角为，
则.
故选：D
6．B
根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程.
【详解】设点，由，得为线段中点，则点，
而点在圆上，因此，即，
所以点的轨迹方程为.
故选：B
7．D
取椭圆的上顶点，可根据求离心率的取值范围.
【详解】如图：
取椭圆的上顶点，因为存在，分别是上第二、四象限上的点，使得四边形为矩形，所以必有.
即.
所以.
所以，又椭圆的离心率，
所以.
故选：D
8．D
待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案.
【详解】的外接圆方程设为，
，解得，
外接圆方程为，即，
故外接圆的圆心坐标为，故外接圆在处切线方程为，
又，令得，，，
在处切线方程为，
又，令得，，
则三角形的线的方程为，即.
故选：D.
9．BD
对于A：根据直线的斜截式方程直接判断即可；对于B：由平行关系可求得，结合平行直线间距离公式运算求解；当直线斜率不存在时，无法用方程表示，知C错误；采用待定系数法，根据点关于直线对称点的求法可构造方程组求得D正确.
【详解】对于选项A：直线在轴上的截距为，故A错误；
对于选项B：由两直线平行可得：，解得：或，
若，直线与重合，不合题意
若，直线与平行，符合题意，
综上所述：，它们之间的距离为，故B正确；
对于选项C：当经过的直线斜率不存在时，即方程为时，无法用方程来表示，故C错误；
对于选项D：设关于直线的对称点为，
则，解得：，
即关于直线的对称点为，故D正确.
故选：BD.
10．AC
A. 两圆内切，根据圆心间距离等于半径相减列方程找轨迹；B. 根据圆心间的距离，可知，所以两圆相交，可知有两条公切线；C.先判断两圆相交，再将两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程；D.根据，根据圆上一点和定点的距离最大值为圆心与定点的距离加半径即可求得；
【详解】A. ，圆心，
，圆心，，两圆内切，所以圆心间距离等于半径相减，所以，A选项正确.
B.圆心间距离为，因为，两圆相交，故有2条公切线，B选项错误.
C.
圆心间距离为，因为，两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，故C选项正确.
D. ,的最大值为，所以最大值为，故D选项错误.
故选： AC
11．ABC
根据锥体体积公式、正方体截面、线段和的最值、轨迹等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，.
A选项，当时，，
则在线段上，
根据正方体的性质可知，，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
所以，则，所以A选项正确.
B选项，当时，是的中点，设是的中点，
连接，则，
所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
，
到的距离为，
所以截面面积为，所以B选项正确.
C选项，时，，
设分别是的中点，连接，则在线段上，
由于，所以是的中点，则，
连接，
将四边形与四边形展开成平面图形如下图所示，
连接，交于，由图可知的最小值是，
此时，对应，所以C选项正确.
D选项，依题意，，
则在正方形上，
，设，连接，则，
若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，
则，，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，长度，所以D选项错误.
故选：ABC
12．
利用余弦定理求出，再根据线面垂直的性质得，最后根据勾股定理即可得到答案.
【详解】连接，如图，在中，根据余弦定理有：，
因为，所以，所以.
故答案为：
13．
表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，即可求解．
【详解】，
，
则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，
如图所示：
设点关于直线的对称点为，
得，解得，
得，
则
，
等号成立时，三点共线，
故答案为：
14．
由对称性转化为求图案在上方的点到直线的距离的最大值的2倍，利用点到直线的距离，转化为二次函数求最值.
【详解】由对称性可知，求的最大值，转化为该图案上的点到直线距离的最大值的2倍，
由对称性不妨设点为图案上上方的点，联立与，
得，解得：，所以图案在上方的点的正坐标为，
设图案在上方的点，，
则点到直线的距离为，当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量共线的坐标表示推理得证.
（2）利用（1）中坐标系，利用点到平面距离公式求出四棱锥的高，进而求出体积.
【详解】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
因此，即，即，
所以四点共面.
（2）正方体的对角面为矩形，且，
由（1）知，，
，
设平面的法向量，则，
令，得，
因此点F到平面的距离
所以的体积是.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）将方程变换为，即可求解直线的定点；
（2）当时，此时圆心到直线的距离最大，利用斜率公式，即可求解；
（3）由几何关系，将面积的最小值转化为求点到直线距离的最小值.
【详解】（1）证明：由得
由
得
所以直线恒过定点；
（2）由（1）知，当时，圆心到直线的距离取得最大值
易知圆心为
因为
所以 即
解得
（3）当时，直线的方程为，故可设

圆的半径
圆心到直线的距离
所以
所以
即四边形面积的最小值为
17．(1)
(2)
(3)
（1）根据双曲线的定义求得，进而求得双曲线的方程.
（2）求得直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得.
（3）利用点差法求得直线的斜率.
【详解】（1）根据题意可得，
，
所以，
故双曲线C的方程为；
（2）直线的方程为，
设，由得，
，
所以．
（3）设，则，
则两式相减得．
设，则所以，
即，
所以，所以直线OP的斜率.
18．(1)
(2)
(3)存在；
【详解】（1）因为底面为矩形，所以，，
又底面，底面，
所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，所以为直线与所成角，即，
在直角中，
所以，
.
（2）因为且为矩形，
所以可如图建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，
则，
令，得 所以，
因为 所以平面的法向量可取，
设二面角的平面角为 ，则，
所以 ， 所以，
所以二面角的正弦值为．
（3）依题意，，，
又，
所以，，
设，，
则 ， 所以，
由，
得 ， 所以 ， ，
由（1）知，
又因 ， 所以，
所以线段上存在点，使得，此时．
19．(1)
(2)① ；②
【详解】（1）（1）根据椭圆的定义和椭圆与圆的关系（当椭圆退化为圆时，，焦点即为圆心），可以猜想：
椭圆上所有点到某个焦点的平均距离 等于半长轴 ，即 。
椭圆的面积 为 .
（2）（2）①由（1）知，，
所以
所以椭圆的标准方程为．
②因为，，所以，
因为，所以，
故直线的方程为，即，
联立并整理得，
设，则，
所以，
所以的面积，
令，则，，
当且仅当，即时取等号，