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福建省厦门市湖里中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷
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这是一份福建省厦门市湖里中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定
2．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，﹣2）D．（3，2）
3．（4分）垃圾分类不仅有利于提升全社会的文明程度，还可以减少不同垃圾的相互污染，有利于废旧物质的回收利用，而且有利于对生态垃圾和非生态垃圾的分离．下列垃圾分类标识图片既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
5．（4分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
6．（4分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（ ）
A．1+x2＝43B．1+x+x2＝43C．x+x2＝43D．（1+x）2＝43
7．（4分）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是72°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（ ）
A．5台B．4台C．3台D．2台
8．（4分）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．19，20，14B．19，20，20
C．18.4，20，20D．18.4，25，20
9．（4分）如图，已知⊙P与坐标轴交于点A，O，B，点C在⊙P上，且∠ACO＝60°，若点B的坐标为（0，3），则劣弧OA的长为（ ）
A．2πB．3πC．D．
10．（4分）如图所示，等边△ABC边长为6，点E是中线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF．当在点E运动过程中，DF取最小值时，△CDF的面积等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）方程：
①x2＝1的解是 ；
②x2+3x＝0的解是 ．
12．（4分）如图，C，D在圆上，AB是直径，若∠D＝64°，则∠BAC＝ ．
13．（4分）已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 ．
14．（4分）若是方程x2﹣x+k＝0的一个解，则方程的另一个解是 ．
15．（4分）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 ．
16．（4分）如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D为半径OB上一动点（D不与B重合）．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形的边界上，则CD的长为 ．
三.解答题（共86分）
18．（8分）先化简，再求值：其中．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．求证：BE＝DF．
20．（6分）如图，已知二次函数图象的顶点为P，与y轴交于点 A．
（1）在图中再确定该函数图象上的一个点B并画出；
（2）若P（1，3），A （0，2 ），求该函数的解析式．
21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB．
（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点F为BC的中点，点D在线段BF上，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接CE、DE．
（1）补全图形；
（2）用等式表示线段BF、DF、CE的数量关系，并证明．
23．（12分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．若当h＝1.5 m，EF＝0.5 m时，解答下列问题．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围 ．
24．（12分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角（0＜α＜180°）得到，且点A的对应点D恰好落在直线BC上，如图1．
（1）判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明；
（2）当∠ADC＝2∠BAC时，求∠BAC的大小；
（3）如图2，点F为线段AD的中点，点G在线段AB上且AG＝AF，当点E在线段AD上时，求证：AB＝AE+2BG．
2023-2024学年福建省厦门市湖里中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
2．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，﹣2）D．（3，2）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，2），
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
3．（4分）垃圾分类不仅有利于提升全社会的文明程度，还可以减少不同垃圾的相互污染，有利于废旧物质的回收利用，而且有利于对生态垃圾和非生态垃圾的分离．下列垃圾分类标识图片既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意；
B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故B选项符不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4．（4分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
【分析】直接由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
5．（4分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
【解答】解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
6．（4分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（ ）
A．1+x2＝43B．1+x+x2＝43C．x+x2＝43D．（1+x）2＝43
【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝43．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
7．（4分）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是72°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（ ）
A．5台B．4台C．3台D．2台
【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．
【解答】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：72×2＝144°，
∵360÷144＝2.5，
∴至少需要3台．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．
8．（4分）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．19，20，14B．19，20，20
C．18.4，20，20D．18.4，25，20
【分析】根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中位数和众数的定义分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意得：
销售20台的人数是：20×40%＝8（人），
销售30台的人数是：20×15%＝3（人），
销售12台的人数是：20×20%＝4（人），
销售14台的人数是：20×25%＝5（人），
则这20位销售人员本月销售量的平均数是＝18.4（台）；
把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的平均数，
则中位数是＝20（台）；
∵销售20台的人数最多，
∴这组数据的众数是20．
故选：C．
【点评】此题考查了平均数、中位数和众数，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
9．（4分）如图，已知⊙P与坐标轴交于点A，O，B，点C在⊙P上，且∠ACO＝60°，若点B的坐标为（0，3），则劣弧OA的长为（ ）
A．2πB．3πC．D．
【分析】作辅助线，先根据圆周角定理可知：AB为⊙P的直径，由圆心角和圆周角的关系可得：∠OPA＝120°，求得AB＝6，根据弧长公式可得结论．
【解答】解：连接AB、OP，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P的直径，
∵∠ACO＝60°，
∴∠APO＝120°，∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵OB＝3，
∴AB＝2OB＝6，
∴的长＝2π，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长公式，坐标与图形的性质，根据弧长公式确定其对应的圆心角和半径是关键．
10．（4分）如图所示，等边△ABC边长为6，点E是中线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF．当在点E运动过程中，DF取最小值时，△CDF的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质可得CD＝CG，再求出∠DCF＝∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时最短，再根据∠CAD＝30°求解即可．
【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF＝60°，
又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD＝BC＝3，AD＝CD＝3，
∴CD＝CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE＝CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF＝EG，S△DCF＝S△GCE，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，
∴EG＝AG＝×3＝，AE＝EG＝，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣＝，
∴S△GCE＝EG•DE＝×＝，
∴S△DCF＝，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）方程：
①x2＝1的解是 x1＝1，x2＝﹣1 ；
②x2+3x＝0的解是 x1＝0，x2＝﹣3 ．
【分析】①利用直接开平方法解出方程；
②利用因式分解法解出方程．
【解答】解：①x2＝1，
则x＝±1，
∴x1＝1，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣1；
②x2+3x＝0，
则x（x+3）＝0，
∴x＝0或x+3＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝0，x2＝﹣3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
12．（4分）如图，C，D在圆上，AB是直径，若∠D＝64°，则∠BAC＝ 26° ．
【分析】连接BC，根据圆周角定理得出∠B＝∠D，∠ACB＝90°，再求出答案即可．
【解答】解：连接BC，
∵∠D＝64°，
∴∠B＝∠D＝64°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣64°＝26°，
故答案为：26°．
【点评】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
13．（4分）已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 6 ．
【分析】根据扇形的面积公式S＝，得R＝．
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
R＝＝＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式．
14．（4分）若是方程x2﹣x+k＝0的一个解，则方程的另一个解是 x＝﹣1﹣ ．
【分析】设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系得2++x1＝1，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一根为x1，根据题意得2++x1＝1，
所以x1＝﹣1﹣．
故答案为：x＝﹣1﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．（4分）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 2.25米 ．
【分析】根据矩形的性质可推出线段AB为圆的直径，然后根据勾股定理可求出AB的长，再根据垂径定理求出点D为BE的中点，利用中位线即可求出OD的长，即可求出最大高度．
【解答】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作OD⊥BE于点D，
∴点O为线段AB的中点，∠ACB＝90°，
∴AB为圆O的直径，
∵宽BE为1.5米，高AE为2米，
∴AB＝＝2.5（米），
∴圆的半径＝AB＝1.25（米），
∵OD⊥BE，
∴点D为BE的中点，
又∵点O为线段AB的中点，
∴OD是△BCE的中位线，
∴OD＝BC＝1（米），
则改造后门洞的最大高度＝1.25+1＝2.25（米）；
故答案为：2.25米．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，解题关键是求出直径和线段OD的长．
16．（4分）如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D为半径OB上一动点（D不与B重合）．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形的边界上，则CD的长为 1或2或 ．
【分析】当点E落在半径OB上，点B与点E关于点CD对称，从而可以得到DE＝DB，由点C为弧AB的中点，∠AOB＝60°，OC＝OA＝2，可以求得CD的长；当E落在上时，E与A重合，D与O重合，CD＝2，；当点E落在半径OA上，画出相应的图形，由前面求得的OE的长与此时OE的长相等，可得E的坐标和直线BE的解析式，得∠EBD＝45°，∠BDE＝2∠CDB＝90°，即得D（，0），CD＝．
【解答】解：当点E落在半径OB上时，连接OC，如图：
∵∠BDC＝∠EDC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，⊙O的半径为2，
∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，
∴CD＝OC•sin30°＝2×＝1，
∴OD＝OC•cs30°＝2×＝，
∴BD＝OB﹣OD＝2﹣，
∵DE＝DB，
∴OE＝OD﹣DE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，
当E落在上时，如图：
此时E与A重合，D与O重合，
∴CD＝2，
当点E落在半径OA上时，以O为原点，OB所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接OC，BE，AC，如图：
由已知可得，CE＝CB＝CA，
同E在OB上可知此时OE＝2﹣2，C（，1），
∴点E的横坐标为：（2﹣2）×cs60°＝﹣1，点E的纵坐标为：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，
∴E（﹣1，3﹣），
∵B（2，0），
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，
∴∠EBD＝45°，
∵CD⊥BE，
∴∠CDB＝45°，
∴∠BDE＝2∠CDB＝90°，
∵E（﹣1，3﹣），
∴D（，0），
∵C（，1），
∴CD＝，
综上所述，CD的长为1或2或，
故答案为：1或2或．
【点评】本题考查扇形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，会寻找特殊位置解决问题．
三.解答题（共86分）
18．（8分）先化简，再求值：其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当a＝+2时，原式＝＝＝1+．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．求证：BE＝DF．
【分析】利用平行可知两组对应的内错角相等，然后证明△AOF≌△COE（AAS），即可解决问题．
【解答】证明：在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，∠AFO＝∠CEO，
∵AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴DF＝BE．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及判定方法是解题关键．
20．（6分）如图，已知二次函数图象的顶点为P，与y轴交于点 A．
（1）在图中再确定该函数图象上的一个点B并画出；
（2）若P（1，3），A （0，2 ），求该函数的解析式．
【分析】（1）过P点作x轴的垂线得到抛物线的对称轴，然后作点A关于对称轴的对称点即可；
（2）设顶点式y＝a（x﹣1）2+3，然后把A点坐标代入求出a即可．
【解答】解：（1）如图2，点B即为所求；
（2）由二次函数图象顶点为P（1，3），可设解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
把A（0，2）代入得a+3＝2．
解得a＝﹣1，
所以函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB．
（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠BCD＝180°，再由邻补角互补可得∠BCD+∠DCE＝180°，根据同角的补角相等可得∠A＝∠DCE，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换可得∠A＝∠AEB．
（2）连接AC，根据直角所对的弦是直径得出AC为⊙O的直径，根据勾股定理求出AC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE
∴∠E＝∠DCE，
∴∠A＝∠AEB；
（2）解：如图，连接AC，
∵∠EDC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠AEB
∴AB＝BE
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵点C为BE的中点，
∴，
在Rt△ABC中，，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，掌握以上知识是解题关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点F为BC的中点，点D在线段BF上，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接CE、DE．
（1）补全图形；
（2）用等式表示线段BF、DF、CE的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据要求画出图形；
（2）结论：BF﹣DF＝EC，再利用全等三角形的性质证明BD＝EC即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）结论：BF﹣DF＝CE．
理由：∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌CAE（SAS），
∴BD＝EC，
∵BF﹣DF＝BD，
∴BF﹣DF＝EC．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
23．（12分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．若当h＝1.5 m，EF＝0.5 m时，解答下列问题．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围 ．
【分析】（1）由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标，根据上下边缘抛物线的增减性可得结果；
（3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当y＝0时，，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0），
∵上边缘抛物线在0＜x＜2时，y随x的增大而增大，
下边缘抛物线在0＜x＜2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，上、下边缘两个抛物线高度差的最大值为2；
（3）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴，
解得，
∵x＞0，
∴，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键．
24．（12分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角（0＜α＜180°）得到，且点A的对应点D恰好落在直线BC上，如图1．
（1）判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明；
（2）当∠ADC＝2∠BAC时，求∠BAC的大小；
（3）如图2，点F为线段AD的中点，点G在线段AB上且AG＝AF，当点E在线段AD上时，求证：AB＝AE+2BG．
【分析】（1）由等边对等角得∠B＝∠ACB，由旋转的性质可得∠B＝∠ECD，从而得证．
（2）由∠ADC＝2∠BAC可证∠BAC＝∠ADE，设∠BAC＝x，则∠ADC＝2∠BAC＝2x，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，列方程求解即可．
（3）连接CF，CG，证明△AGC≌△AFC，得CG＝CF，∠AGC＝∠AFC，由CA＝CD，点F为线段AD的中点，得CF⊥AD，于是∠AGC＝∠AFC＝90°，再证明Rt△BGC≌Rt△EFC得BG＝EF，从而AB＝AG+BG＝AF+BG＝AE+2BG．
【解答】（1）解：CE∥AB．
证明：由旋转的性质可得，∠DCE＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DCE，
∴CE∥AB．
（2）解：设∠BAC＝x，则∠ADC＝2∠BAC＝2x，
由旋转的性质可得，AC＝DC，
∴∠CAD＝∠ADC＝2x，
∴∠ACB＝∠ADC+∠CAD＝4x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝4x，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴x+4x+4x＝180°，
解得，x＝20°，
答：∠BAC＝20°
（3）证明：如图3，连接CF，CG，
由旋转的性质可知：∠BAC＝∠D，CB＝CE，CA＝CD，
∴∠CAD＝∠D，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵AG＝AF，AC＝AC，
∴△AGC≌△AFC（SAS），
∴CG＝CF，∠AGC＝∠AFC，
∵CA＝CD，点F为线段AD的中点，
∴CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AGC＝∠AFC＝90°，
∴∠BGC＝90°，
在Rt△BCG和Rt△EFC 中，
，
∴Rt△BGC≌Rt△EFC（HL），
∴BG＝EF，
∴AB＝AG+BG＝AF+BG＝AE+EF+BG＝AE+2BG．
【点评】本题考查了几何变换中的旋转，是一道综合题，把各个知识点穿起来，融汇贯通是解题的关
1．（4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定
2．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，﹣2）D．（3，2）
3．（4分）垃圾分类不仅有利于提升全社会的文明程度，还可以减少不同垃圾的相互污染，有利于废旧物质的回收利用，而且有利于对生态垃圾和非生态垃圾的分离．下列垃圾分类标识图片既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
5．（4分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
6．（4分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（ ）
A．1+x2＝43B．1+x+x2＝43C．x+x2＝43D．（1+x）2＝43
7．（4分）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是72°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（ ）
A．5台B．4台C．3台D．2台
8．（4分）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．19，20，14B．19，20，20
C．18.4，20，20D．18.4，25，20
9．（4分）如图，已知⊙P与坐标轴交于点A，O，B，点C在⊙P上，且∠ACO＝60°，若点B的坐标为（0，3），则劣弧OA的长为（ ）
A．2πB．3πC．D．
10．（4分）如图所示，等边△ABC边长为6，点E是中线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF．当在点E运动过程中，DF取最小值时，△CDF的面积等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）方程：
①x2＝1的解是 ；
②x2+3x＝0的解是 ．
12．（4分）如图，C，D在圆上，AB是直径，若∠D＝64°，则∠BAC＝ ．
13．（4分）已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 ．
14．（4分）若是方程x2﹣x+k＝0的一个解，则方程的另一个解是 ．
15．（4分）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 ．
16．（4分）如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D为半径OB上一动点（D不与B重合）．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形的边界上，则CD的长为 ．
三.解答题（共86分）
18．（8分）先化简，再求值：其中．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．求证：BE＝DF．
20．（6分）如图，已知二次函数图象的顶点为P，与y轴交于点 A．
（1）在图中再确定该函数图象上的一个点B并画出；
（2）若P（1，3），A （0，2 ），求该函数的解析式．
21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB．
（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点F为BC的中点，点D在线段BF上，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接CE、DE．
（1）补全图形；
（2）用等式表示线段BF、DF、CE的数量关系，并证明．
23．（12分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．若当h＝1.5 m，EF＝0.5 m时，解答下列问题．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围 ．
24．（12分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角（0＜α＜180°）得到，且点A的对应点D恰好落在直线BC上，如图1．
（1）判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明；
（2）当∠ADC＝2∠BAC时，求∠BAC的大小；
（3）如图2，点F为线段AD的中点，点G在线段AB上且AG＝AF，当点E在线段AD上时，求证：AB＝AE+2BG．
2023-2024学年福建省厦门市湖里中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
2．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，﹣2）D．（3，2）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，2），
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
3．（4分）垃圾分类不仅有利于提升全社会的文明程度，还可以减少不同垃圾的相互污染，有利于废旧物质的回收利用，而且有利于对生态垃圾和非生态垃圾的分离．下列垃圾分类标识图片既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意；
B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故B选项符不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4．（4分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
【分析】直接由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
5．（4分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
【解答】解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
6．（4分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（ ）
A．1+x2＝43B．1+x+x2＝43C．x+x2＝43D．（1+x）2＝43
【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝43．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
7．（4分）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是72°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（ ）
A．5台B．4台C．3台D．2台
【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．
【解答】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：72×2＝144°，
∵360÷144＝2.5，
∴至少需要3台．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．
8．（4分）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．19，20，14B．19，20，20
C．18.4，20，20D．18.4，25，20
【分析】根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中位数和众数的定义分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意得：
销售20台的人数是：20×40%＝8（人），
销售30台的人数是：20×15%＝3（人），
销售12台的人数是：20×20%＝4（人），
销售14台的人数是：20×25%＝5（人），
则这20位销售人员本月销售量的平均数是＝18.4（台）；
把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的平均数，
则中位数是＝20（台）；
∵销售20台的人数最多，
∴这组数据的众数是20．
故选：C．
【点评】此题考查了平均数、中位数和众数，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
9．（4分）如图，已知⊙P与坐标轴交于点A，O，B，点C在⊙P上，且∠ACO＝60°，若点B的坐标为（0，3），则劣弧OA的长为（ ）
A．2πB．3πC．D．
【分析】作辅助线，先根据圆周角定理可知：AB为⊙P的直径，由圆心角和圆周角的关系可得：∠OPA＝120°，求得AB＝6，根据弧长公式可得结论．
【解答】解：连接AB、OP，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P的直径，
∵∠ACO＝60°，
∴∠APO＝120°，∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵OB＝3，
∴AB＝2OB＝6，
∴的长＝2π，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长公式，坐标与图形的性质，根据弧长公式确定其对应的圆心角和半径是关键．
10．（4分）如图所示，等边△ABC边长为6，点E是中线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF．当在点E运动过程中，DF取最小值时，△CDF的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质可得CD＝CG，再求出∠DCF＝∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时最短，再根据∠CAD＝30°求解即可．
【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF＝60°，
又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD＝BC＝3，AD＝CD＝3，
∴CD＝CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE＝CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF＝EG，S△DCF＝S△GCE，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，
∴EG＝AG＝×3＝，AE＝EG＝，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣＝，
∴S△GCE＝EG•DE＝×＝，
∴S△DCF＝，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）方程：
①x2＝1的解是 x1＝1，x2＝﹣1 ；
②x2+3x＝0的解是 x1＝0，x2＝﹣3 ．
【分析】①利用直接开平方法解出方程；
②利用因式分解法解出方程．
【解答】解：①x2＝1，
则x＝±1，
∴x1＝1，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣1；
②x2+3x＝0，
则x（x+3）＝0，
∴x＝0或x+3＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝0，x2＝﹣3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
12．（4分）如图，C，D在圆上，AB是直径，若∠D＝64°，则∠BAC＝ 26° ．
【分析】连接BC，根据圆周角定理得出∠B＝∠D，∠ACB＝90°，再求出答案即可．
【解答】解：连接BC，
∵∠D＝64°，
∴∠B＝∠D＝64°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣64°＝26°，
故答案为：26°．
【点评】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
13．（4分）已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 6 ．
【分析】根据扇形的面积公式S＝，得R＝．
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
R＝＝＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式．
14．（4分）若是方程x2﹣x+k＝0的一个解，则方程的另一个解是 x＝﹣1﹣ ．
【分析】设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系得2++x1＝1，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一根为x1，根据题意得2++x1＝1，
所以x1＝﹣1﹣．
故答案为：x＝﹣1﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．（4分）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 2.25米 ．
【分析】根据矩形的性质可推出线段AB为圆的直径，然后根据勾股定理可求出AB的长，再根据垂径定理求出点D为BE的中点，利用中位线即可求出OD的长，即可求出最大高度．
【解答】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作OD⊥BE于点D，
∴点O为线段AB的中点，∠ACB＝90°，
∴AB为圆O的直径，
∵宽BE为1.5米，高AE为2米，
∴AB＝＝2.5（米），
∴圆的半径＝AB＝1.25（米），
∵OD⊥BE，
∴点D为BE的中点，
又∵点O为线段AB的中点，
∴OD是△BCE的中位线，
∴OD＝BC＝1（米），
则改造后门洞的最大高度＝1.25+1＝2.25（米）；
故答案为：2.25米．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，解题关键是求出直径和线段OD的长．
16．（4分）如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D为半径OB上一动点（D不与B重合）．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形的边界上，则CD的长为 1或2或 ．
【分析】当点E落在半径OB上，点B与点E关于点CD对称，从而可以得到DE＝DB，由点C为弧AB的中点，∠AOB＝60°，OC＝OA＝2，可以求得CD的长；当E落在上时，E与A重合，D与O重合，CD＝2，；当点E落在半径OA上，画出相应的图形，由前面求得的OE的长与此时OE的长相等，可得E的坐标和直线BE的解析式，得∠EBD＝45°，∠BDE＝2∠CDB＝90°，即得D（，0），CD＝．
【解答】解：当点E落在半径OB上时，连接OC，如图：
∵∠BDC＝∠EDC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，⊙O的半径为2，
∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，
∴CD＝OC•sin30°＝2×＝1，
∴OD＝OC•cs30°＝2×＝，
∴BD＝OB﹣OD＝2﹣，
∵DE＝DB，
∴OE＝OD﹣DE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，
当E落在上时，如图：
此时E与A重合，D与O重合，
∴CD＝2，
当点E落在半径OA上时，以O为原点，OB所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接OC，BE，AC，如图：
由已知可得，CE＝CB＝CA，
同E在OB上可知此时OE＝2﹣2，C（，1），
∴点E的横坐标为：（2﹣2）×cs60°＝﹣1，点E的纵坐标为：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，
∴E（﹣1，3﹣），
∵B（2，0），
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，
∴∠EBD＝45°，
∵CD⊥BE，
∴∠CDB＝45°，
∴∠BDE＝2∠CDB＝90°，
∵E（﹣1，3﹣），
∴D（，0），
∵C（，1），
∴CD＝，
综上所述，CD的长为1或2或，
故答案为：1或2或．
【点评】本题考查扇形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，会寻找特殊位置解决问题．
三.解答题（共86分）
18．（8分）先化简，再求值：其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当a＝+2时，原式＝＝＝1+．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．求证：BE＝DF．
【分析】利用平行可知两组对应的内错角相等，然后证明△AOF≌△COE（AAS），即可解决问题．
【解答】证明：在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，∠AFO＝∠CEO，
∵AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴DF＝BE．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及判定方法是解题关键．
20．（6分）如图，已知二次函数图象的顶点为P，与y轴交于点 A．
（1）在图中再确定该函数图象上的一个点B并画出；
（2）若P（1，3），A （0，2 ），求该函数的解析式．
【分析】（1）过P点作x轴的垂线得到抛物线的对称轴，然后作点A关于对称轴的对称点即可；
（2）设顶点式y＝a（x﹣1）2+3，然后把A点坐标代入求出a即可．
【解答】解：（1）如图2，点B即为所求；
（2）由二次函数图象顶点为P（1，3），可设解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
把A（0，2）代入得a+3＝2．
解得a＝﹣1，
所以函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB．
（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠BCD＝180°，再由邻补角互补可得∠BCD+∠DCE＝180°，根据同角的补角相等可得∠A＝∠DCE，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换可得∠A＝∠AEB．
（2）连接AC，根据直角所对的弦是直径得出AC为⊙O的直径，根据勾股定理求出AC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE
∴∠E＝∠DCE，
∴∠A＝∠AEB；
（2）解：如图，连接AC，
∵∠EDC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠AEB
∴AB＝BE
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵点C为BE的中点，
∴，
在Rt△ABC中，，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，掌握以上知识是解题关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点F为BC的中点，点D在线段BF上，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接CE、DE．
（1）补全图形；
（2）用等式表示线段BF、DF、CE的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据要求画出图形；
（2）结论：BF﹣DF＝EC，再利用全等三角形的性质证明BD＝EC即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）结论：BF﹣DF＝CE．
理由：∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌CAE（SAS），
∴BD＝EC，
∵BF﹣DF＝BD，
∴BF﹣DF＝EC．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
23．（12分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．若当h＝1.5 m，EF＝0.5 m时，解答下列问题．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围 ．
【分析】（1）由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标，根据上下边缘抛物线的增减性可得结果；
（3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当y＝0时，，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0），
∵上边缘抛物线在0＜x＜2时，y随x的增大而增大，
下边缘抛物线在0＜x＜2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，上、下边缘两个抛物线高度差的最大值为2；
（3）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴，
解得，
∵x＞0，
∴，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键．
24．（12分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角（0＜α＜180°）得到，且点A的对应点D恰好落在直线BC上，如图1．
（1）判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明；
（2）当∠ADC＝2∠BAC时，求∠BAC的大小；
（3）如图2，点F为线段AD的中点，点G在线段AB上且AG＝AF，当点E在线段AD上时，求证：AB＝AE+2BG．
【分析】（1）由等边对等角得∠B＝∠ACB，由旋转的性质可得∠B＝∠ECD，从而得证．
（2）由∠ADC＝2∠BAC可证∠BAC＝∠ADE，设∠BAC＝x，则∠ADC＝2∠BAC＝2x，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，列方程求解即可．
（3）连接CF，CG，证明△AGC≌△AFC，得CG＝CF，∠AGC＝∠AFC，由CA＝CD，点F为线段AD的中点，得CF⊥AD，于是∠AGC＝∠AFC＝90°，再证明Rt△BGC≌Rt△EFC得BG＝EF，从而AB＝AG+BG＝AF+BG＝AE+2BG．
【解答】（1）解：CE∥AB．
证明：由旋转的性质可得，∠DCE＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DCE，
∴CE∥AB．
（2）解：设∠BAC＝x，则∠ADC＝2∠BAC＝2x，
由旋转的性质可得，AC＝DC，
∴∠CAD＝∠ADC＝2x，
∴∠ACB＝∠ADC+∠CAD＝4x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝4x，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴x+4x+4x＝180°，
解得，x＝20°，
答：∠BAC＝20°
（3）证明：如图3，连接CF，CG，
由旋转的性质可知：∠BAC＝∠D，CB＝CE，CA＝CD，
∴∠CAD＝∠D，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵AG＝AF，AC＝AC，
∴△AGC≌△AFC（SAS），
∴CG＝CF，∠AGC＝∠AFC，
∵CA＝CD，点F为线段AD的中点，
∴CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AGC＝∠AFC＝90°，
∴∠BGC＝90°，
在Rt△BCG和Rt△EFC 中，
，
∴Rt△BGC≌Rt△EFC（HL），
∴BG＝EF，
∴AB＝AG+BG＝AF+BG＝AE+EF+BG＝AE+2BG．
【点评】本题考查了几何变换中的旋转，是一道综合题，把各个知识点穿起来，融汇贯通是解题的关
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