2026长沙雅礼中学高三上学期月考试卷（四）（12月月考）数学试题含答案

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数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 6 页.时量 120 分钟，满分 150
分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1
.下列写法正确的是（
）
A.
C.
B.
D.
2
.已知
，
，则下列不等关系正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
3
.下列说法错误的是（
）
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.
是向量
的必要不充分条件
C.只有零向量的模等于 0
D.共线的单位向量都相等
4
.等比数列
A.256
.如图，二面角
中，
，
，记 为数列
的前 项积，则 的最大值是（
）
B.512
的棱上有两点
C.1024
D.2048
5
，
，线段 BD 与 AC 分别在这个二面角的两个半平面内，并且都
垂直于棱 1，若
，
，
，
，则二面角
的大小为（
）
A.
B.
C.
D.
6
.已知数列
满足递推关系
，
，则
（
）

A.
B.
B.
C.
C.
D.
7
.若实数
，
满足
，则
的最小值为（
）
A.1
D.2
8
.已知正四面体
内接于球 ，点 是底面三角形 ABC 的边 AB 的中点，过点 作球 的截面，若
存在半径为
的截面圆，则正四面体
棱长的取值范围是（
）
A.
B.
C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9
.若复数 满足
（其中 为虚数单位），则下列说法正确的是（
）
A. 在复平面内对应的点位于第四象限
B.
C.
（
是 的共轭复数）
D.若
，则
的最大值为
，则（
1
0.若随机变量
）
A. 的正态曲线与 轴只有一个交点
B. 的正态曲线关于直线
D.若 ，则
对称
C.
，
11.已知函数
，
，则（
）
A.若
B.若
C.用
存在两个零点
仅有一解，则
表示不大于 的最大整数，若
，
，则
，则
D.若方程
无解，则实数 的取值范围是
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
2.随机抽查并统计了某班的四名同学一周内背诵文言文的篇目数量，并得到一组数据 2，6，3，1，则该组
数据的方差为______.

1
1
3.若
，且
，则
______.
4.已知点 为双曲线
：
的右焦点，点 ， 分别为两条渐近线上的点，且
，
则
的最小值为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1
5.（本题满分 13 分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 20 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，
则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取 4 件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做
检验，设每件产品为不合格品的概率都为
，且各件产品是否为不合格品相互独立.
（
（
1）求 4 件产品中恰有 2 件不合格品的概率，并记为
2）求 的最大值点
；
.
1
6.（本题满分 15 分）
在
中，角
，
，
的对边分别为
，
， ，已知 为锐角，且
.
（
（
1）求
；
2）若
，求
的取值范围.
1
7.（本题满分 15 分）
如图 1 所示的正方形.
于点 ，将正方形
中，
，
，
，对角线
分别交
，
，
沿
，
折叠使得.
与
重合，构成如图 2 所示的三棱柱
.

（
（
1）若点
在棱 AC 上，且
，证明：
平面 APQ；
2）求平面 APQ 与平面
所成夹角的余弦值.
1
8.（本题满分 17 分）
已知椭圆
：
右焦点为 ，点
在椭圆 上，且
轴，过点
且
与椭圆 有且只有一个公共点的直线 与 轴交于点
，
为椭圆 的上顶点，点 是椭圆 上异于点
的一动点.
（
（
1）求椭圆 的方程；
2）若三角形 MPR 的面积为
，求直线 MR 的方程；
（
3）设过点 的直线与椭圆 的另一个交点为 ，与曲线
的另一个交点为 ，若直线 RQ 斜
率为
，试证明：直线 SR 过定点.
1
9.（本题满分 17 分）
设函数
，
，
（
（
1）求实数 的值；
2）证明： 在区间
上有唯一零点
，
（
3）在（2）的结论下，证明：
.