湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
得分：__________.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的.
1. 已知集合或，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
6. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数是定义在上的增函数，当时，.若，其中，则（ ）
A. 4B. 5C. 7D. 8
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知甲､乙两城相距，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有（ ）
A. 骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动
B. 骑自行车者比骑摩托车者早出发，晚到
C. 骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者
D. 骑摩托车者出发后与骑自行车者速度一样
10. 已知幂函数图象经过点，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 是偶函数
D. 若，则
11. 用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（ ）
A.
B. 为奇函数
C. ，都有
D. 与图象所有交点的横坐标之和为
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. ______.
13. 已知两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是__________.
14. 已知函数为上的奇函数，函数，若在上的值域为，则在上的值域为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数.
（1）求集合；
（2）设，若中恰好有2个元素，求实数的取值范围.
16. 已知函数是定义在区间上的奇函数，且.
（1）求；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式.
17. 已知函数.
（1）当时，求在区间上的最小值；
（2）若，总存在，使得，求实数的取值范围.
18. 对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为.要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为.设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度.
（1）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
（2）若采用方案乙，当为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？
19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数.
（1）已知定义在上函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值.
（2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明；
（3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数.