安徽省合肥市蜀山区2025_2026学年高一数学上学期11月期中测试试题含解析

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化简集合，再利用并集的定义求解得答案.
【详解】，而，
所以.
故选：C
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】特称命题的否定：将存在改为任意并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为.
故选：D
3. “且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
结合不等式的性质，分别讨论充分性与必要性，即可选出答案.
【详解】当且时，根据不等式的性质，可得；
当时，不能推出且，比如取，.
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出定义域，看看是否相同，若不同，则两个函数不是同一函数，若相同，则继续化简表达式，若表达式不同，则两个函数不是同一函数，若相同，则两个函数是同一函数.
【详解】选项A，的定义域为，的定义域为，
定义域不同，不是同一函数，故选项A错误；
选项B，的定义域为，的定义域为，
定义域不同，不是同一函数，故选项B错误；
选项C，的定义域为，的定义域为，定义域同，
与表达式不同，不是同一函数，故选项C错误；
选项D，的定义域为，的定义域为，
定义域相同，，与表达式相同，
是同一函数，故选项D正确.
故选：D.
5. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用为偶函数关于轴对称，故越靠近轴，函数值越小，从而解出不等式.
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，
因为，
所以，解得：．
故选：A.
6. 如果正数满足，那么（ ）
A. ，且等号成立时的取值唯一
B. ，且等号成立时的取值唯一
C. ，且等号成立时的取值不唯一
D. ，且等号成立时的取值不唯一
【答案】A
【解析】
【详解】正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A．
7. 若函数在上为增函数，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数对称轴和单调性、一次函数单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】由于函数在上递增，所以，解得.故选B.
【点睛】本小题主要考查分段函数的单调性，考查二次函数、一次函数的单调性，属于基础题.
8. 已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B. 有最小值
C. D. 是奇函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A：令，可得，所以A错误；
对于B：令，不妨令，则，
可得，
若时，时，，此时函数为单调递增函数；
若时，时，，此时函数为单调递减函数，
所以函数不一定有最小值，所以B错误；
对于C：令，可得，即，
所以，， ，，
各式相加得，所以，所以C错误；
对于D：令，可得，可得，
即，所以函数是奇函数，所以D正确；
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用不等式的性质和作差法求解.
【详解】，，故选项A正确；
，，，故选项B错误；
，，故选项C错误；
，
，，，，
，，故选项D正确.
故选：AD.
10. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A.利用一次函数的性质判断； B.利用反比例函数的性质判断； C.画出函数的图象判断；D.画出函数的图象判断.
【详解】A.在R内既是奇函数又是增函数,故正确；
B.在，上单调递增，故错误；
C. 的图象如图所示，
由图象易知错误；
D.，的图象如图所示，
由图象易知正确.
故选：AD
11. 下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别求出各选项中函数的定义域与值域，可得符合题意的选项.
【详解】对于A：的定义域与值域均为R，故A符合；
对于B：定义域为，值域为，故B不符合；
对于C：的定义域与值域均为，故C符合；
对于D：的定义域为，
值域：令，则，原式为，
根据二次函数的性质可知，，故D符合.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.
【答案】12
【解析】
【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.
【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，
.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.
13. 若函数满足，则在区间上的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】将中的换得到，联立方程组解出，判断在区间上的单调性，利用单调性求出在区间上的最小值.
【详解】，，
从中解出，
将代入，
得到，解得，
在区间上是减函数，在区间上是减函数，
在区间上是减函数，
时，取最小值为，
故答案为：.
14. 已知实数满足，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】法八：利用基本不等式，即可求解.
【详解】[方法一]：（代换，用判别式法）
设，则，代入，
得，由得，因此.
[方法二]：（代换，构造一元二次方程用判别式法）
设，则，则2x、y可看作关于m的方程的两个实根，由得，因此.
[方法三]：（构造向量法）
令，.
则，即的最大值为.
[方法四]：（待定系数法）
令
则解得故，化简得.
［方法五］：（代换消项结合放缩法）
令，则，则原题等价于：已知，求2a的最大值.
由的几何意义得，即得.即.
［方法六］：（换元法，转化为三角函数求解）
令则.
即，即，则.
.
故.
［方法七］：（三角换元结合均值不等式求解）
令代入条件方程得.
则
故.
故答案为：．
［方法八］：最优解】基本不等式
，
即，(当且仅当，即时，取等号)
故答案为：．
【整体点评】法一：换元利用判别式法求出；
法二：代换构造一元二次方程根据判别式法求出；
法三：构造向量利用求出；
法四：构造平方和，利用平方数自身的范围求出；
法五：代换利用椭圆的几何性质求出；
法六：利用三角代换求出，是该类型题的常用方式；
法七：利用三角代换结合基本不等式求出；
法八：直接利用基本不等式，是该题的通性通法，也是最优解．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知全集，集合．
（1）求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合运算法则进行计算即可.
（2）转化为集合的包含关系求解即可.
【小问1详解】
，或，
所以．
【小问2详解】
若“”是“”的必要不充分条件，则且，
所以且两个等号不能同时取得，解得.
所以的取值范围是.
16. 已知函数．
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）最大值为5，最小值为；
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，函数，利用二次函数的图像求解；
（2）由对任意实数，恒成立，整理得到对任意实数恒成立，按照和讨论求解，当时，对任意实数恒成立等价于，计算得解.
【小问1详解】
当时，函数，
因为，所以当时，有最小值；
当时，有最大值5，
所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为5和．
【小问2详解】
因为对任意实数，恒成立，
即对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
当时，，解得，不满足题意；
当时，对任意实数恒成立等价于，
即，解得
综上，实数的取值范围为.
17. 青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.

（1）用含有的代数式表示；
（2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式；
（2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为，
所以，可得，又，则，
又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，
可得，即关于的关系式为.
【小问2详解】
由（1）知，，，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
18. 已知是定义域为的奇函数，且．
（1）求实数的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（3）求不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）单调递增，证明见解析；
（3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义及给定函数值列式求出.
（2）判断单调性，再利用单调函数的定义推理得证.
（3）利用奇函数性质变形不等式，再利用单调性结合定义域列出不等式组求解即得..
【小问1详解】
由函数是定义在上的奇函数，得，
则在上恒成立，因此，，
由，得，因此，
所以.
【小问2详解】
函数在上单调递增，
，，则
，由，
得，则，即，
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
由以及奇函数的性质得，，
由（2）知，在上单调递增，则解得，
所以原不等式的解集为.
19. 已知幂函数在上单调递增.
（1）求实数的值；
（2）若存在，使得能成立，求实数的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，解出的值，再根据幂函数的单调性检验，即可得到答案；
（2）分离变量，再结合基本不等式可得的范围；
（3）代入，化简，因式分解，按两根的大小关系分类讨论，即得答案.
【小问1详解】
因为函数为幂函数，
所以，解得或.
当时，，在上单调递增，符合题意；
当时，，在上单调递减，不符合题意；
所以.
【小问2详解】
因为，即转化为，
由参变量分离法可得，其中，所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，所以，
综上可知，实数的取值范围为.
【小问3详解】
由（1）知，由，
得.
当，即时，不等式无解；
当，即时，不等式解为；
当，即时，不等式解为.
综上可得， 当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.