安徽省合肥市2025_2026学年高一数学上学期11月期中测试试题含解析

这是一份安徽省合肥市2025_2026学年高一数学上学期11月期中测试试题含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 设全集小于10的正整数，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用列举法求出全集，再利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】依题意，全集，而，则，
又，所以.
故选：A
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可得：命题“”的否定是“”.
故选：B.
3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】A
【解析】
【分析】由同一函数的定义域和对应法则都相同，依次判断各项即可.
【详解】A：和的定义域和对应法则都相同，符合；
B：定义域为R，定义域为，不符合；
C：定义域为，定义域为R，不符合；
D：定义域为R，定义域为，不符合.
故选：A
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解.
【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即；
设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即.
故.
故选：D
5. 若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可.
【详解】因为函数在上单调，由在上不可能单调递增，
则函数在上不可能单调递增，故在R上单调递减，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选：D
6. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果.
【详解】若，则等价于，因是偶函数，故，
又在上单调递减，则由可得；
若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得；
综上，的解集为.
故选：A.
7. 已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】整理不等式得，然后构造函数，由函数大致图像推理出不等式解集中的2个整数解，从而知道实数m的取值范围.
【详解】，即，
，令
，
由二次函数的图像可作函数的大致图像为：
∵，，，，
由题意可知不等式解集中有且仅有2个整数解为，
∴，
故选：C.
【点睛】
8. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ）
A. 小时B. 小时C. 5小时D. 小时
【答案】C
【解析】
【分析】先利用函数关系式，结合前5个小时消除了90%的污染物，求出常数k的值，然后根据污染物的残留含量不得超过1%，列出方程，即可求出结论．
【详解】由题意，前5个小时消除了的污染物，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
则由，
即，
∴，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1%，
又∵前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时.
故本题选C.
【点睛】本题主要考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域，考查函数的应用，根据实际问题列出表达式是解题的关键，属中档题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题
D. 集合中的元素个数为8
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A，根据充分条件与必要条件的概念判断；选项B，结合解一元二次不等式，充分条件与必要条件的概念判断；选项C，假设都不大于2，推出矛盾；选项D，列举法表示集合即可判断.
【详解】选项A，当时，满足，但无法得到，必要性不成立，所以A错误；
选项B，由解得，
由能够得到，充分性成立，
由不能够得到，必要性不成立，所以B正确；
选项C，假设都不大于2，则，这与已知矛盾，
所以要满足，中至少有1个大于2，所以C正确；
选项D，因为，且8的因数有，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以，共有8个元素，所以D正确.
故选：BCD.
10. 已知，且，则（ ）
A. B. 的最大值为4
C. 的最小值为9D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件变形结合基本不等式或消元法及二次函数的性质计算即可.
【详解】由已知得，又，所以，故A正确；
由，当且仅当时取得最小值4，
故B错误；
由上得，所以，
当且仅当时取得最小值，故C正确；
由，所以，
当且仅当时取得最小值，故D正确.
故选：ACD
11. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（ ）
A.
B. 在上为增函数；
C.
D. 解集为或
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，用赋值法即可求值；对于B，根据增函数的定义证明即可；对于C，对条件进行适当变形即可得结论；对于D，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式.
【详解】对于A，令，则，故A正确；
对于B，令，则，，即，
所以函数为减函数，故B错误；
对于C，，即，故C正确；
对于D，由得到，所以，
于是，解得或，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分共15分.
12. ______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据对数运算运算律，可得答案.
【详解】原式．
故答案为：.
13. 已知幂函数在上单调递减．的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，在区间上单调递减，
当时，在上单调递增，不满足题意，
故．
故答案为：
14. 已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】将问题分为对，均有或和存在当时，两部分进行求解．
【详解】首先分析对，均有或，令，解得，
故当时需要，
易得二次函数对称轴为，
故需确保且右边根，
,解得，
，解得，
综上，①；
再分析存在当时，，
故存在，，
故左边根，解得②，
综合①②取交集，可得，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设集合，，.
（1），求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的并集运算求解即可.
（2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围.
【小问1详解】
当时，，
因为，
所以
【小问2详解】
由题意“”是“”的充分不必要条件
得
①若，则，解得；
②若，则，解得；
，或，
综合①②得：的取值范围是.
16. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立．
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若和至少有一个为真，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案.
【小问1详解】
若命题为真命题，即，不等式恒成立
则，可得，解得，
因此，若为真命题，则的取值范围是.
【小问2详解】
若命题为真命题，即，使得成立，则，
真假时，；假真时，；
，都真时，；
因为和至少有一个为真，则，
因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是.
17. 某科技公司有100名研发人员，平均每人每年创造利润100万元.为了进一步提高经济效益，调整名研发人员的岗位，改为从事技术指导工作，则剩余的研发人员平均每人每年创造的利润可提高25%，而从事技术指导工作的人员平均每人每年创造的利润为万元.
（1）若要使这100人每年创造的总利润比原来至少增加2000万元，求x的取值范围；
（2）求这100人每年创造的总利润的最大值.
【答案】（1）
（2）最大值为12100万元
【解析】
【分析】（1）由题意可得，解不等式可求出x的取值范围，
（2）设这100人每年创造的总利润为y万元，则，化简后利用基本不等式可求得结果
【小问1详解】
由题意得，
整理可得，解得4≤x≤16.
所以x的取值范围是.
【小问2详解】
设这100人每年创造的总利润为y万元，
则，
因为，当且仅当x=8时，取等号，
所以，
即这100人每年创造的总利润的最大值为12100万元.
18. 已知函数，定义域为．
（1）试判断函数在上的单调性，并用定义法证明．
（2）求函数的值域；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）通过作差比较函数值大小来判断；
（2）结合单调性确定函数取值范围；
（3）解不等式则依据函数单调性将函数值大小关系转化自变量大小关系.
【小问1详解】
设，则，
化简得：，
因为，所以，，，那么，即，
所以函数在上单调递增；
【小问2详解】
因为，即，则，可得，
所以，
因此函数在区间上的值域为.
【小问3详解】
因为在上单调递增，且，所以可得，
解，，；
解，，；
解，即，因式分解得，
则或，
时，，取；
时，，取；
综合可得或.
19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为y关于x的奇函数，给定函数．
（1）求的对称中心；
（2）已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）构造函数，由列方程组，从而求得对称中心.
（2）先求得在区间上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得的取值范围.
【小问1详解】
假设的图象存在对称中心，
则的图象关于原点中心对称，
因为的定义域为，所以恒成立，
即恒成立，
所以，解得，
所以的图象存在对称中心.
【小问2详解】
函数在区间上单调递减，在区间上值域为，
由题意可知：对恒成立，
因为开口向下，对称轴为，
若，即时，则在上单调递减，
则，解得，不合题意；
若，即时，则在上单调递增，在上单调递减，
则，解得；
若，即时，则在上单调递增，
则，解得，不合题意；
综上所述：的取值范围为.