重庆市长寿中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

这是一份重庆市长寿中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了设集合，.，已知函数，.，设函数，其中且，且.， 60 ；40，AD11等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡对应题⽬的答案标号涂⿊；如需改动，
⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上⽆效。
考试结束后，本试卷和答题卡⼀并交回。
第I 卷（选择题）
⼀、单选题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分。在每⼩题给出的选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
已知集合，则下列关系正确的是 （）
B．C．D．
汽⻋现在已经是我们出⾏不可分离的⼯具，⼩明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种⽅案，第⼀种⽅案：第⼀次加油元，第⼆次加油元；第
⼆种⽅案：第⼀次加油升，第⼆次加油升；请你⽐较下这两种⽅案，哪种⽅案更经济实惠（）
第⼀种B．第⼆种C．不确定D．⼀样实惠
不等式的解集是（）
B．或
C．D．
已知定义在上的函数满⾜，为偶函数，且，若，则正整数的最⼩值为（）
A．21B．22C．23D．24
已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．C．2D．4
随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．⼩李打算批发某种⽔果摆摊售卖，设他进货总费⽤（百元）与进货量（单位：百⽄）之间的关系为
（为常数），若满⾜“随着进货量的增⼤，⽔果每⽄的平均价格逐
渐减⼩”，则的取值范围为（ ）
B．C．D． 7．下列函数中，既是奇函数⼜在区间上单调递减的是（）
B．
函数，则的值为（）
C．
D．
若
是奇
A．－2B．0C．1D．2
⼆、多选题：本题共 3 ⼩题，共 18 分。在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
。
⽬要求
下列选项正确的是（）
若，则的最⼩值为 4
若，则的最⼩值为 2
若正实数，满⾜，则的最⼩值为 8
若，则的最⼩值为 2
已知定义在上的函数满⾜不是常数函数，则
（）
是增函数
的图象关于直线对称
的图象关于点对称
已知函数的定义域为，为偶函数，当时，
，则下列说法正确的是（ ）
第I I 卷（⾮选择题）
三、填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分。
某团队调查在某⾃助餐厅吃饭的 100 名顾客时，发现其中有 80 名顾客选了 A 菜品，有
60 名顾客选了 B 菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有名，最少有
名．
某汽⻋租赁公司共有 300 辆汽⻋，在⼗⼀⻩⾦周期间，若每辆汽⻋每天的租⾦为 200
元，则所有汽⻋均能被租赁出去；若将每辆汽⻋每天的租⾦在 200 元的基础上提⾼元
（，），则被租出去的汽⻋会减少辆.若要使该公司每天租赁汽⻋的收⼊超过万元，则该公司每辆汽⻋每天的租⾦定价为 元.
设，⽤表示不超过 x 的最⼤整数，则称为⾼斯函数，例如：
，.已知函数，则函数的值域是.
四、解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分。解答应写出⽂字说明，证明过程或演算
A．若函数
有四个零点，，，
，则
的取
值范围为
B．若函数
有四个零点，，，
，则
的
取值范围为
C．函数
的零点个数为 5 个
D．函数
的零点个数为 6 个
。
步骤
15．（13 分）设集合，.
求；
求.
16．（15 分）已知函数，.
若不等式对于⼀切实数 x 恒成⽴，求实数 a 的取值范围；
求关于 x 的不等式的解集.
17．（15 分）俄国数学家切⽐雪夫（）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在
⾮空集合上的函数，以及函数，切⽐雪夫将函数 的最⼤值称为的“偏差”.
函数，求的“偏差”；
函数，若的“偏差”为，求的值. 18．（17 分）设函数，其中且，且.
当时，求的定义域；
当时，利⽤定义法证明：在定义域内单调递增；
若存在，使得，证明：.
19．（17 分）设函数的定义域为 D，对于区间（，），若满⾜以下两条性质之⼀，则称I 为的⼀个“区间”.性质 1：对任意，有；性质 2：对任意，有.
分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；②
.
若（）是函数的“区间”，求 m 的取值范围；
已知定义在 R 上，且图象连续不断的函数满⾜：对任意 a，，且，有
.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意
⼀个“区间”.
参考答案
解：（1）①当时，恒成⽴，符合题意；
②当时，由已知可得，解得.
综上，a 的取值范围是.
（2）不等式可化为，即，
①当时，可化为，得，原不等式的解集；当时，⽅程的两根为和 2，
②当时，可化为，解得，原不等式的解集为；
③当时，解得或，则原不等式的解集为或；
④当时，解得，则原不等式的解集为
⑤当时，解得或，则原不等式的解集为或；综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
1-5．BABBC
12． 60 ；40
13．
6-8．CCB
9．BC
10．AD11．ABC
14．
15．解：（1）因为
，
，所以
（2）因为
，
，所以
当
时，原不等式的解集为
或
；
当
当
时，原不等式的解集为
时，原不等式的解集为
；
或
.
解：
（1）解：，
因为，，
所以，即，
（2）解：令
，
∵
，
均为
上的单调递减函数，
∴
是
上的单调减函数，
令
得
，
，
⼜
，
，
所以
所以
，即
的“偏差”为
，
因为
的“偏差”为，
所以函数与的“偏差”为 8.
所以，解得
所以，当的“偏差”为，.
解：（1）当时，.
根据对数函数的定义可知，即，故的定义域为.
当时，，设的定义域为.
在上任取，，且，，当时，指数函数在上单调递增.
由于，则，.
⼜，故在区间上单调递增，
所以，即.
故当时，在上单调递增；
当时，指数函数在上单调递减.由于，则，.
⼜，故在区间上单调递减， 所以，即.
即当时，在上单调递增.
综上，当或时，对于任意，且，均有，故在其定义域内单调递增.
令，则，即，即，
故原题等价于关于的⽅程在区间上有解.
解：
解：①中，函数，当时，可得，所以区间是函数的⼀个“区间”；
②中，函数，当时，可得，此时不满⾜，所以区间不
是函数的⼀个“区间”；所以①是（满⾜性质 1）.②不是.
解：记，，可得，故若 I 为的“区间”，则不满⾜性质②，必满⾜性质①，即；
设
.
当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，
⼜由
在区间
上有解及零点存在性定理知
，
即
，⼜
且，解得
.
所以，若存在
，使得
，则.
由，
当时，在上单调递增，且，即，所以不包含于，不合题意；
当时，，符合题意；
当时，，所以，不合题意；综上可知，，即实数的取值范围是.
证明：对于任意区间，记，由已知得在 I 上单调递减，故，
因为，即 S 的⻓度⼤于 I 的⻓度，故不满⾜性质①，所以若 I 为的“区间”，必满⾜性质②，这只需，
即只需或，
由显然不恒成⽴，所以存在常数c 使得.
如，取，区间满⾜性质②；
如，取，区间满⾜性质②；综上，函数⼀定存在“区间”；
记，则图象连续不断，下证明有零点：
因为在R 上是减函数，所以在R 上是减函数，记；若，则是的零点，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
综上，有零点，即，
因为的所有“区间”I 都满⾜性质②，故.（否则，与性质②不符）即不属于的任意⼀个“区间”，证毕.