重庆市育才中学校2025_2026学年高一上学期12月联合诊断性考试数学试题 [含答案]

这是一份重庆市育才中学校2025_2026学年高一上学期12月联合诊断性考试数学试题 [含答案]，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
2．“关于的不等式的解集为”，是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知一扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．函数（其中e=2.71828…）的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数的值域为，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，其中，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．9
二、多选题
9．若，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．A的真子集个数为7
C．D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，都有
B．的值域为
C．，且，都有
D．方程有3个不等实数根
11．已知函数，若关于x的方程有4个不等的实数根，分别记为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．函数有8个零点
三、填空题
12．已知角的终边过点，则 .
13．已知，，则用a、b表示对数 .
14．若定义在上的函数满足，且为偶函数.当时，，其中，则 ；方程在区间上的所有实数解之和为4，请写出一个符合条件的正整数a的值 .
四、解答题
15．已知角为第二象限角.
（1）若，化简并求值.
（2）若，求的值.
16．已知函数．
（1）若的解集为，求的解析式及实数c；
（2）若，解关于x的不等式．
17．静脉注射是一种常见的医疗方法，即把药液、营养液等液体物质直接注射到人体静脉中.而药物在人体内的含量会随着时间的增加而变化，通过一些技术手段我们可以测得药物在患者体内的含量，再根据不同药物在体内起效的最低含量，决定何时需要再次用药.现给某患者在1小时内静脉注射了某种药物75mg，在注射过程中，患者体内的药物含量逐渐增加；停止注射后，患者体内的药物含量随时间而衰减（如图）.为了描述该种药物在此患者体内药物含量（mg）与时间t（小时）的关系，现有以下五种函数模型供选择：
①；②；③；④；⑤；
（1）根据题图，选出你认为最符合实际的两个函数模型，用于描述患者体内的药物含量在不同时间的变化情况，给出理由；并求出相应的函数解析式；
（2）如果这种药物在患者体内的含量需保持在10mg及以上时才有疗效.为保证有疗效，那么第一次注射结束后，最迟应在什么时候再向该患者补充注射这种药物?
参考数据：，，，，，.
18．已知函数的定义域为，对都有，且时，，其中.
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并根据单调性的定义证明；
（3）若对任意，总存在，使得不等式成立，求实数t的取值范围.
19．已知函数的图象与函数（，且）的图象关于对称，且.
（1）求函数的解析式；
（2）设m，n是方程的两个实数根（其中，，且，），求的值.
（3）是否存在实数，使得函数只有一个零点，如果存在，求出t的取值范围，如果不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】A
【详解】故选A
2．【正确答案】A
【详解】因为 的解集为，
则，解得，
即命题对应的范围是，
若成立（），则一定满足（），故是的充分条件；
若成立（），
例如取，此时的判别式，解集不是，
故不能推出，即不是的必要条件，
综上，是的充分不必要条件.
故选A.
3．【正确答案】C
【详解】因为扇形的半径为2，圆心角为，可得扇形的弧长为，
所以扇形的面积为.
故选C.
4．【正确答案】C
【详解】函数的定义域为，且，
因此是奇函数，其图象关于原点对称，故选项A、B不符合题意；
令，则,
因为，所以或，解得或.
因此，函数有三个零点，C选项正确.
故选C.
5．【正确答案】B
【详解】因为当接近于1时，趋向于，
，
，
，
，
所以零点所在的大致区间为，
故选B．
6．【正确答案】A
【详解】因为在R上单调递增，所以，，
又在R上单调递减，所以，
而在上单调递增，所以，所以，即，
所以.
故选A.
7．【正确答案】D
【详解】由函数的值域为R，得的值域包含所有正数，
当时，得符合题意；
当时，则，解得；
综上，.
故选D.
8．【正确答案】A
【详解】因为，若恒成立，
则与有相同的单调性及相同的零点，
即，，.
则，
因为，，所以，
所以，
当且仅当时，即时取等号.
所以 .
则的最小值为.
故选A
9．【正确答案】BC
【详解】，
由，，，
作出图，如图所示，

由图可知，，，故A错误，正确；
集合的真子集个数为个，故B正确；
因为，所以，错误.
故选BC.
10．【正确答案】ACD
【详解】对于A，因为，，故A正确；
对于B，当时，，所以，
由A知为奇函数，故的值域为，故B错误；
对于C，对，且，不妨设，
则，
，，，即，
所以在上单调递增，所以，故C正确；
对于D，当时，，则为，解得，
当时，方程成立，
又为奇函数，根据对称性知也满足方程，
综上，方程有3个不等的实数根，故D正确.
故选ACD.
11．【正确答案】ABD
【详解】在平面直角坐标系中，作出函数的图象.
关于x的方程有4个不等的实数根，等价于函数的图象与有个交点.
对于A：由图可知，当时，函数的图象与有个交点，故A正确；
对于B：由图可知，，即，得，
解得，故B正确；
对于C：由图可知，是的两个解，因此，由韦达定理可得.
，得，
因此有，得.
因此，故C错误；
对于D：设，则，即，
当时，，解得或；
当时，，得或，解得或.
当时，由图可知，无解；
当时，由图可知，有2个解；
当时，由图可知，有3个解；
当时，由图可知，有3个解.
综上所述，函数有个零点，故D正确.
故选ABD.
12．【正确答案】/
【详解】由题，，所以，
.
13．【正确答案】
【详解】.
14．【正确答案】 （写出其中任何一个即可）
【详解】由，可知的图象关于点对称，又是偶函数，所以，
所以，则，可得，
所以的周期为4，则，
令代入，得，又，
.
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
又的图象关于点对称，关于直线对称，所以在上单调递增，在上单调递减，
由于不是方程的解，所以方程可变形为，
令，可以看成由反比例函数向右平移1个单位，向上平移个单位得到，
所以的图象也关于点对称，
原方程在区间上的所有实数解之和为4，等价于函数与的图象在区间有两个交点，
注意到，，，
作出图象如下，可得，即.
所以符合要求的正整数的取值为.
15．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为角为第二象限角，，
所以 ，
所以
所以.
（2）因为，
所以
所以
所以
因为角为第二象限角，所以 ，所以 ；
所以
所以.
16．【正确答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）由的解集为，知有唯一零点，且开口向上，
令，展开得：，
，解得：，
；
（2），
，
，
，
由，不等式等价于，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为，
综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为．
17．【正确答案】（1）选择模型①和③，理由见详解；.
（2）应该在第一次注射后小时再次注射.
【详解】（1）由图可知患者体内的药物含量不过点，故排除模型②；
图中曲线过点，对于模型④，故排除模型④；
对模型⑤，图中曲线过点，代入得，解得，但此时，不合题意，排除模型⑤；
所以可选择模型①和模型③来描述患者体内的药物含量在不同时间的变化情况.
因为图中曲线过点，代入，可求得，此时满足图中曲线时的变化；
代入，即，得，
所以，又符合图象过点，
此时满足图中曲线时的变化；
所以.
（2）由（1），当时，，得，
又，所以，得，
又第一次注射用时1小时，故为保证有疗效，那么第一次注射结束后小时需再次注射.
18．【正确答案】（1）2
（2）在R上单调递减，见详解；
（3）
【详解】（1）令，得，又，得.
（2）函数在R上为减函数，理由如下：
对，不妨设，即，所以，
令，，得，
即，所以，
所以函数在R上为减函数.
（3）不等式等价于，
所以，由（2）知在R上为减函数，
故原问题等价于对任意的，总存在，使得成立，
令，，
原命题等价于对任意，都有成立，这进一步等价于，
对于，令，
由对勾函数的性质得在上单调递减，在上单调递增，
又，所以；
对于，令，
记，对称轴为，
当即时，，所以；
当即时，成立，所以；
综上，实数的取值范围为.
19．【正确答案】（1）；
（2）56；
（3）或.
【详解】（1）由反函数定义可得：，又，
则，从而
（2）由（1），等价于，则，
因为方程两根，设，
由韦达定理，，.
，注意到.
则；
（3）由题可得，
只有1个零点，则方程只有1个根，
因在上单调递增，
则.
令，则.
即方程只有一个正根，可满足题意.
若，则，不满足题意；
若，此时方程为二次方程.
当
或.
当，化为:，满足题意；
当，化为:，不满足题意；
当，由上分析可得或且.
当，注意到两根之和为，两根之积为，则此时方程有2个正根，不满足题意；
当且时，为使方程只有一个正根，需满足两根之积.
综上，为使只有1个零点，或.