重庆市第一中学校2025_2026学年高三上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份重庆市第一中学校2025_2026学年高三上学期12月月考数学试题 [含答案]，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数及其共轭复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．已知，（ ）
A．B．C．D．
4．若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且.过作，满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
7．如图， 为一个五面体，底面是矩形，EF与底面平行，四个侧面中，两个侧面为全等的等腰三角形，另两个侧面为全等的等腰梯形，其中，设，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知数列的前项和为，满足，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．数列是以2为首项，2为公差的等差数列
C．，则最小值等于10
D．数列的前项和小于1
10．已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上一动点，是准线上一动点，若的最小值为2，则（ ）
A．
B．
C．当的横坐标为1时，的最小值为
D．过作圆的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为
11．如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（ ）
A．存在点，使
B．若，则动点的轨迹长度为
C．当在线段上时，直线与平面平行
D．当在线段上时，直线与平面所成角最大值为
三、填空题
12．已知直线与圆交于两点，圆心为，则的面积为 .
13．已知函数有两条切线经过，则的取值范围是 .
14．学校的食堂菜品丰富，让人垂涎欲滴. 新年伊始，学校为学生们准备了免费汤圆，但为了避免浪费，每人每次至少取1颗，最多取3颗，最多取5次. 已知小张一共取了10颗汤圆，那么他取汤圆的方式有 种.
四、解答题
15．在中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2），且，求.
16．一种游戏的玩法如下：有4个完全一样的盒子，其中有2个盒子写的是“成功”，2个盒子写的是“失败”.玩家每一次可以随机打开一个盒子.①若打开盒子内容是“成功”，则该盒子消失；②若打开盒子内容是“失败”，则所有盒子的位置会刷新（即所有盒子会随机重排，但内容不变），当所有写着“成功”的盒子被打开后，则玩家获胜，并停止游戏.
（1）求玩家打开3个盒子后获胜的概率；
（2）若玩家最多有5次打开盒子的机会，设玩家停止游戏时打开盒子的数量为X，求X的分布列与期望.
17．如图，在四棱锥中，为全等的等腰直角三角形，它们的直角顶点分别为，，，若为中点，为线段上的动点.
（1）证明：平面平面；
（2）若为中点且平面，求二面角的平面角的正弦值.
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，在上且.
（1）求双曲线的方程；
（2）按照如下方式构造点列：过点作互相垂直的两条直线分别交双曲线于，记弦与的中点分别为，直线与轴交于点.设.
（i）证明：过定点；
（ii）求.
19．已知函数，a为不等于1的正实数，为的反函数，e为自然对数的底数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若对任意恒成立，求的取值集合；
（3）若，过且不垂直于轴的任一条直线与的图象均有且只有一个交点，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】A
【详解】设复数（），则.
由可得，，
则，即.
所以，解得，所以.
故选A.
2．【正确答案】D
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，
所以.
故选D.
3．【正确答案】C
【详解】由二倍角的余弦公式、弦化切可求得的值.
【详解】，则.
故选C.
4．【正确答案】C
【详解】因为正数满足，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
若不等式恒成立，则，
解得，所以实数的范围是.
故选C．
5．【正确答案】A
【详解】因为，所以，
即，所以；
因为，所以；
代入 ，得到，得到；
.
故选A.
6．【正确答案】B
【详解】设椭圆 的左右焦点为，其中，
点在椭圆上，且.过作，满足，
设，则，故，得 ，即，
在 中， PQ 为斜边上的高，由射影定理得：
，
，根据椭圆定义，，
即： ，
因此，椭圆的离心率为.
故选B.
7．【正确答案】D
【详解】过作底面的垂线，垂足为，过作于点，连接、、，
则五面体可分为四棱锥和三棱锥.
由题意知，，
在中，，
在中，，即五面体的高为.
如图取、三等分点、、、，连接、、、、、，
则五面体可分为三棱柱、四棱锥和四棱锥，
且.
，
，
.
，，.
故选D.
8．【正确答案】C
【详解】若，
则，所以，故，
所以，所以，
所以，
则.
故选C.
9．【正确答案】ACD
【详解】数列的前项和为，满足，①，
当时，解得，
当时，②，
①﹣②得：，即，
所以数列是以2为首项2为公比的等比数列．
所以 ，故A正确，
，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，B错误；
对于C：，所以，所以，所以，则最小值等于10，故C正确；
对于D：由于，
所以数列的前项和，故D正确．
故选ACD．
10．【正确答案】BCD
【详解】抛物线的焦点，设，则，，
则，当且仅当时取等号，
对于A，由的最小值为2，得，解得，A错误；
对于B，过作于，则，B正确；
对于C，抛物线，，准线，当时，，令点关于直线的对称点为，则
，当且仅当是与的交点时取等号，C正确；
对于D，圆的圆心，半径，四边形的面积
，当且仅当时取等号，D正确.
故选BCD
11．【正确答案】AC
【详解】以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设（是侧面上，则坐标恒为2，，）.
选项A：，.
若，则，即，整理得.
取，则满足条件，故A正确；
选项B：由得，，化简得.
该方程表示在平面上，以点为圆心，半径为1的圆弧（，，实际是四分之一圆），
所以轨迹长度为，故B错误；
选项C：，.
设平面的法向量为，则
，即，令，则，，所以.
因为在线段上，设（），则，
所以，，所以，（）.
因为，所以，又平面，
所以直线与平面平行，故C正确；
选项D：，.
设平面的法向量为，则
，即，令，则，又，所以.
设直线与平面所成角为，由选项C知，（）.
则
，，
所以，当时，取最大值，为，故D错误.
故选AC.
12．【正确答案】/0.5
【详解】直线与圆交于两点，
圆心，半径，
圆心到直线距离，，
则的面积为.
13．【正确答案】
【详解】设切点为，的导数，故切线斜率.
设切线方程为
将，代入切线方程得
化简得
令，，即与有两个交点.
，令得.
时，单调递减；时，单调递增.
所以极小值，
的图象如图，
要使与有两个交点，则
解得.
14．【正确答案】61
【详解】由题意知，小张只能取4次或5次.
取4次的情况，可有组合3,3,3,1和组合3,3,2,2，
组合3,3,3,1:共4个位置，其中选1个位置放1个，剩余位置放3个，排列数；
组合3,3,2,2：共4个位置，选2个位置放3个，剩余位置放2个，排列数；
取4次时共种.
取5次的情况，可有组合3,3,2,1,1、组合3,2,2,2,1和组合2,2,2,2,2，
组合3,3,2,1,1：共5个位置，其中选2个位置放3个，剩余3个位置选1个放2个，剩余位置放1个，排列数；
组合3,2,2,2,1：共5个位置，其中选1个位置放3个，剩余4个位置选3个放2个，剩余位置放1个，排列数；
组合2,2,2,2,2：共5个位置，每个位置放2个，排列数为1；
取5次时共种.
综上，共种.
15．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以，
，又，
，即，
所以，所以，即，
又，所以.
（2）
，
由，得，
由，则，所以，
所以或，得或，
因为，所以，
所以.
16．【正确答案】（1）
（2）分布列见详解，
【详解】（1）记A为玩家打开标记“成功”的盒子，B为玩家打开标记“失败”的盒子，
事件M为玩家打开3个盒子后获胜，
则，
则
（2）由题意，，
，，
，
，
分布列如下：
.
17．【正确答案】（1）见详解；
（2）.
【详解】（1）连接，由题意可得，
因为，则，
因为为的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，而平面，
所以平面平面；
（2）由（1）可知，两两互相垂直，
所以以为坐标原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：
则，
设，因为为线段上的动点，得，
，，得，
若为中点，则，，
取平面的一个法向量为，
若平面，则，
即，解得，则，
取平面的一个法向量为，
，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角大小为，
则，
所以，
故二面角的平面角的正弦值为.
18．【正确答案】（1）；
（2）（i）过定点，见详解；（ii）
【详解】（1）在上，故，
因，可得，
又，联立解得，
故双曲线的方程为；
（2）（i）证明：设过作直线，
由，消去得，
其中，所以.
由韦达定理，
所以.
过作直线，同理可求得.
所以直线的方程为，
在直线的方程中，令，得.
当时，，故直线过定点，即.
（ii）由（i）知，，故为公比为的等比数列，
又，故.
19．【正确答案】（1）的单调递增区间为，无单调递减区间
（2）
（3）
【详解】（1）由题知，，
由于，定义域为，
，
令，故，
因为，故，故在上单调递增，故，
即的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）对任意恒成立，
即对任意恒成立，
当时显然成立，
则时，两端取对数：即恒成立，又因为为不等于1的正实数，
则恒成立，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
则，即，
由前面过程知：当且仅当时成立，
所以的取值集合为.
（3）设直线为，
因为，则原题设等价为：对恒有一个正根，
设，
则原题设等价为：对任意的与恒有一个交点，
注意到，当时，；当时，，
又是在定义域上的连续函数，
故要想使对任意的与恒有一个交点，只能为定义域上的单调递增函数，
则对恒成立，
记，
对恒成立，
又，，
设，，则，
故在上单调递增，
注意到，故当时，故在上单调递减，
当时，，、则在上单调递增，
故，故．
若，则当且仅当时，，不影响单调性．
综上所述，.
2
3
4
5