2025年上海市七宝中学高一上学期期中数学试卷及答案解析

这是一份2025年上海市七宝中学高一上学期期中数学试卷及答案解析，共20页。试卷主要包含了 ______， 用有理数指数幂表示等内容，欢迎下载使用。
一､填空题（共12小题，共54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 已知全集，集合，则__________.
2. 函数的定义域为__________.
3. 已知常数且，则函数必过定点__________.
4. ______.
5. 若，则的取值范围是__________.
6. 设，则方程的解集为__________.
7. 用有理数指数幂表示（其中）：__________.
8. 已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________.
9. 已知指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则它在区间上的最大值和最小值之和为__________.
10. 已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________.
11. 已知实数满足，则的值为__________.
12. 已知表示中最大的数，若，则的最小值为__________.
二､选择题（共4小题，共18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 设是实数，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 下列选项中，是的函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
15. 已知，则函数与的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
16. 设集合，集合，若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“人文集”.当能被分成两个交集为空集的“人文集”，且这两个“人文集”的并集恰为时，的最大值是（ ）
A 13B. 14C. 15D. 16
三.解答题（共5小题，共78分）
17. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 已知不等式①，②，其中是实数.
（1）若1是不等式②的一个解，求实数的取值范围；
（2）证明：不等式①､②中至多有一个恒成立.
19. 为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）.
以下是调研收集到的部分数据：
（1）请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③.
（2）某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟）
20. 柯西是一位伟大法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且.
（1）证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证）
（2）请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值；
（3）证明：.
21. 已知函数，若对于定义域内任意实数，不等式都成立，则称函数是QB函数，
（1）判断狄利克雷函数是否是QB函数，并说明理由；
（2）若函数是QB函数，求实数的取值范围；
（3）已知函数且，证明：“函数是QB函数”的充要条件是“”.
参考答案及解析：
七宝中学2025-2026学年第一学期高一年级期中考试
数学试卷
一､填空题（共12小题，共54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 已知全集，集合，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合补集的概念，求出结果即可.
【详解】由题意知.
故答案为：.
2. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据具体函数定义域求法，求出结果即可.
【详解】由题意得，解得，即函数定义域为.
故答案为：.
3. 已知常数且，则函数必过定点__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，求出函数所过定点坐标即可.
【详解】当，即时，，所以函数必过定点.
故答案为：.
4. ______.
【答案】3
【解析】
【分析】利用换底公式及其对数运算法则求解即可.
【详解】
故答案为：.
5. 若，则的取值范围是__________.
【答案】区间
【解析】
【分析】应用不等式的性质计算求解.
【详解】因为，则.
故答案为：.
6. 设，则方程的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式求解即得.
【详解】依题意，，
当且仅当，即时取等号，
所以方程的解集为.
故答案为：
7. 用有理数指数幂表示（其中）：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据有理数指数幂，求出结果即可.
【详解】由题意得.
故答案：.
8. 已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________.
【答案】4或
【解析】
【分析】根据集合非空子集的个数，判断集合中元素的个数，进而根据判别式求出参数值.
【详解】集合有且只有一个非空子集，则集合中只有一个元素，即方程只有一个解，
得，解得或.
故答案为：4或.
9. 已知指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则它在区间上的最大值和最小值之和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用单调性可得，再利用指数运算法则求解.
【详解】指数函数在上单调，则在上的最大值和最小值之和为，即，
所以在上的最大值和最小值之和为.
故答案为：
10. 已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的定义确定的值，从而利用单调性解不等式即可求解.
【详解】因为是幂函数，则，得或，
又因为幂函数在上是严格减函数，所以，，
因为，则或或，
所以或.
所以解集为；
故答案为：.
11. 已知实数满足，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】同构方程，利用韦达定理得的关系，代入目标式计算得解.
【详解】由，得，，
即，而，
因此是方程的两个根，则，
即，所以.
故答案为：
12. 已知表示中最大的数，若，则的最小值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】以为主元，令，，，结合图像，先得出
【详解】以为主元，画出，，图像，
设与交点处，则，则.
当从接近开始增大时，的截距增大、斜率增大，也随之增大，减小；
趋于时，趋于0，趋于；
趋于时，趋于，趋于；
则存在，使得，此时，
当时，，且随增大而减小；
当时，，且随增大而增大；
综上当，即时，有最小值.
令可得，则，
令，整理得，解得，
代入得.
故答案为：3.
二､选择题（共4小题，共18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 设是实数，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质，以及充分不必要条件的性质，证明结果即可.
【详解】根据不等式的性质可知，当时，，
当时，满足，不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
14. 下列选项中，是的函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数的意义逐项判断得解.
【详解】对于A，由，得，对于的每个值，都有唯一值与之对应，
因此是的函数，A是；
对于B，由，得，此不等式组无解，不是的函数，B不是；
对于C，由图象知，存在值（如），有两个值与之对应，不是的函数，C不是；
对于D，与对应的值有1和3两个，不是的函数，D不是.
故选：A
15. 已知，则函数与的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先化简的解析式，然后根据函数定义域及两个函数的单调性进行判断即可．
【详解】∵，
∴，
又，定义域为，A选项错误；
∴函数与的单调性相同，结合各选项可得B，D符合题意，C不符合题意．
故选：BD
16. 设集合，集合，若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“人文集”.当能被分成两个交集为空集的“人文集”，且这两个“人文集”的并集恰为时，的最大值是（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目所给定义，判断出时，不符合题目条件，进而证明时有解，说明的最大值.
【详解】假设时能被分成两个交集为空集的“人文集”和，且和的并集恰为，
即，
不妨设，因为，所以，则，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，即，与假设矛盾，
所以假设时不能被分成两个交集为空集“人文集”， 且这两个“人文集”的并集恰为.
当，时，，对应的子集为，
可以取两个“人文集”.
当，时，对应的子集为，
可以取两个“人文集”.
当，时，，对应的子集为，
可以取两个“人文集”.
当时，集合中的元素均为分母是无理数、分子是有理数的实数，可得其中任意两个元素之和不为整数，则都符合“人文集”的要求；
则设，
此时取，则此时两个交集为空集的“人文集”和，且和的并集恰为；
综上，的最大值是.
故选：B.
三.解答题（共5小题，共78分）
17. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解不等式化简集合，再利用并集的定义求解.
（2）求出集合，再利用包含关系列式求出范围.
【小问1详解】
解不等式，得，则，即，
当时，不等式，解得，即，则，
所以.
【小问2详解】
不等式，解得，即，则，
由（1）知，，由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
18. 已知不等式①，②，其中是实数.
（1）若1是不等式②的一个解，求实数的取值范围；
（2）证明：不等式①､②中至多有一个恒成立.
【答案】（1）或； （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据1是不等式的一个解，代入计算求参；
（2）应用反证法证明.
【小问1详解】
因为1是不等式②的一个解，所以，所以，所以或，
所以实数的取值范围为或；
【小问2详解】
假设不等式①､②都恒成立，不等式①恒成立，所以，所以；
②恒成立，所以，，所以或；
所以当不等式①､②都恒成立时无解，所以假设不成立，
所以不等式①､②中至多有一个恒成立.
19. 为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）.
以下是调研收集到的部分数据：
（1）请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③.
（2）某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟）
【答案】（1）选③，理由见解析，函数解析式为.
（2）20分钟到40分钟
【解析】
【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为同一常数排除①②,代入数据③中求参数得函数解析式；
（2）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解.
【小问1详解】
模型①:假设；，
当时，不是，故①不符合题意；
模型②:假设；时，
当时，不是，故②不符合题意；
模型③:假设；时符合，
当时，得，
当时，，故③符合题意；
最符合上述规律的是模型③，.
【小问2详解】
由题意，所以分钟，
因单调递增，故，当且仅当.
设曹同学小组使用篮球场的时长为，张同学小组使用篮球场的时长为，
则且，故分钟，又
所以曹同学小组使用篮球场时长范围是分钟到分钟.
20. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且.
（1）证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证）
（2）请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求最小值；
（3）证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式，以及题干所给条件，证明不等式即可.
（2）根据题干条件，写出不等式，再利用不等式求出最小值即可.
（3）对不等式进行换元，再根据题目定义，证明结果即可.
【小问1详解】
由题意可知要证明，只需证明，
左边，
右边，
所以左边右边，当且仅当，即时等号成立；
【小问2详解】
3维柯西分式型不等式为：若均为正实数，则，当且仅当时等号成立；
由3维柯西分式型不等式可知，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
【小问3详解】
由柯西分式不等式可知，当且仅当时，即时取等号；
由可得，
即，
可得，
当且仅当时，即时取等号.
令，
则等价于，，
即证，即证，
因为恒成立，且时取等号，故原命题得证.
21. 已知函数，若对于定义域内任意实数，不等式都成立，则称函数是QB函数，
（1）判断狄利克雷函数是否是QB函数，并说明理由；
（2）若函数是QB函数，求实数的取值范围；
（3）已知函数且，证明：“函数是QB函数”的充要条件是“”.
【答案】（1）不是，理由见详解
（2）
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意举反例，例如代入分析运算即可判断；
（2）根据题意结合对数运算可得，结合对数函数单调性运算求解，注意函数定义域；
（3）根据题意从充分性和必要性两个角度，以及分、和三种情况分析证明.
【小问1详解】
不是，理由如下：
因为，
令，则，可得，，
不满足，所以狄利克雷函数不是QB函数.
【小问2详解】
因为函数，则，
若函数是QB函数，则，
即，则，可得，
且，可得，解得或（舍去），
所以实数的取值范围为.
【小问3详解】
若函数是QB函数，
当时，令，
则，
且，
因为，则，
不满足，不合题意；
当时，，且，
满足，符合题意；
当时，令，
则，且，
因为，则，可得，
不满足，不合题意；
综上所述：，即充分性成立；
若，则，且，
可得，所以函数是QB函数，即必要性成立；
综上所述：“函数是QB函数”的充要条件是“”.
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