上海市奉贤中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷及答案

这是一份上海市奉贤中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷及答案，共22页。试卷主要包含了11， 设m是实数，已知集合，等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（1-6题每小题4分，7-12每小题5分，共54分）
1. 直线的倾斜角为________．
2. 若两条直线与平行，则与间的距离是______.
3. 在的二项展开式中，项的系数为______.
4. 经过点且与圆相切的直线方程是___________________．
5. 在一次为期天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如下图），则该样本的第百分位数是________
6. 掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为________．
7 已知，
则________．
8. 设m是实数，已知集合，
集合，且，则m的取值范围是_______．
9. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为______.
10. 已知实数满足，则的最大值为________．
11. 从1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4个不同的数，分别记作，若和的奇偶性相同，则的取法共有__________种（用数字作答）.
12. 平面直角坐标系xOy中，已知点，若直线l：上总存在P、Q两点，使得恒成立，则线段PQ长度的取值范围是_______
二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）
13. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
14. 某学校为了丰富同学们寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A. 24种B. 48种C. 72种D. 96种
15. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点，定义.对于下列两个命题：①设点P是直线上任意一点，则“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”；②设点P是椭圆上任意一点，则.则下列判断正确的是（ ）
A. ①真②真B. ①真②假C. ①假②真 D. ①假②假
三、解答题（本大题有5小题，共78分，）
17. 已知圆的圆心在直线上且与y轴相切于点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线l过点且被圆截得弦长为，求直线l的方程.
18. 某校组织全校800名学生进行校园安全相关知识的测试，从中随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），按照分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求的值，并估计全校学生测试成绩在内的人数；
（2）学校想了解部分学生测试成绩较低的原因，从样本中测试成绩在内的学生中随机抽取2名学生座谈，已知这些待选的学生中包含和，求和至少有一人被抽到的概率.
19. 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立.选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加．
（1）若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，．求他得分不低于10分的概率；
（2）规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为．
现有两种方案
方案一：依次做一道选择题两道填空题；
方案二：做三道填空题．
请你推荐一种合理的方式给小红．
20. 已知圆，直线方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别为、．
（1）当的横坐标为时，求的大小；
（2）求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标；
（3）求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标．
21. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线.
（1）已知直线，，试问是否存在点Q，使得直线，是定积直线？请说明理由.
（2）若O为坐标原点，点P与点M均在第二象限，且点在二次函数的图象上.若直线OP与直线OM是定积直线，直线OP与直线PM是定积直线，直线OM与直线PM是定积直线，求点P的坐标.
（3）已知点，直线m与n是定积直线，若m与x轴交于，n与x轴交于点B，直线将分割成面积相等的两个部分，求b的取值范围.
参考答案及解析：
奉贤中学2025学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（1-6题每小题4分，7-12每小题5分，共54分）
1. 直线的倾斜角为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系求解即可.
【详解】直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：.
2. 若两条直线与平行，则与间的距离是______.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用两直线平行的公式求出参数，再用两平行线间距离公式求距离即可.
【详解】两条直线与平行,
解得，
经检验时，,两直线不重合；
所以，
则与间的距离,
故答案为：.
3. 在的二项展开式中，项的系数为______.
【答案】
【解析】
【分析】写出通项公式，利用通项公式求指定项的系数即可.
【详解】二项式的通项公式为，
令，可得，所以项的系数为.
故答案为：.
4. 经过点且与圆相切的直线方程是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】点在圆上，圆心与的连线垂直切线，求出切线的斜率，即可求解.
【详解】满足圆的方程，在圆上，
圆心与点连线的斜率是，
所求的切线斜率为，
所求的切线方程为.
故答案为:
【点睛】本题考查圆的切线方程，注意点在圆上，利用切线的性质求出其斜率，属于基础题.
5. 在一次为期天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如下图），则该样本的第百分位数是________
【答案】
【解析】
【分析】求解个数据的第百分位数即第项与第项数据的平均数.
【详解】，
由茎叶图知从小到大排列第项数据为，第项数据为，
则该样本的第百分位数是与的平均数，即，
故答案为：.
6. 掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用列举法结合古典概型的概率公式可求出.
【详解】由题意可知，样本空间为，，，故，
由古典概型的概率公式可得.
故答案为：.
7 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法，先令，再令可得.
【详解】令，可得，
令，可得，
所以.
故答案为：2.
8. 设m是实数，已知集合，集合，且，则m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意, 分析可得与表示的平面区域, 又有 , 即可得两个区域的包含关系, 转化为圆与圆的位置关系，即可得到答案.
【详解】点集表示平面上以 为圆心, 2 为半径的圆所围成的区域（包括圆周）;
点集表示平面上以 为圆心, 为半径的圆的内部.
要使 , 应使内含或内切于.
故有 , 即，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查交集的运算, 但因涉及圆以及几何区域, 难度较大, 要求学生熟悉用集合语言表述 几何问题, 利用数形结合方法解题.
9. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用平均数和方差列方程，解方程求得，由此求得的值.
【详解】依题意，
解得或，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查平均数和方差的计算，属于基础题.
10. 已知实数满足，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用所求表达式的几何意义，转化求解对称点的坐标，利用距离公式求解最小值即可．.
【详解】由题可知，表示的是
直线0上一点到定点的距离之差．
如图，设点关于直线对称的点为，

则，解得，
当三点共线时，最大，
即最大，最大值为，
所以的最大值为．
故答案为：．
11. 从1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4个不同的数，分别记作，若和的奇偶性相同，则的取法共有__________种（用数字作答）.
【答案】912
【解析】
【分析】分类讨论两组数的奇偶性即可.
【详解】若和都是奇数，则为一奇一偶，也一奇一偶，
有种取法；
若和都是偶数，则有以下两种情况：
①两奇（偶）数，两奇（偶）数，有种取法；
②两奇（偶）数，两偶（奇）数，有种取法；
共计576+48+288=912种取法.
故答案为：912
12. 平面直角坐标系xOy中，已知点，若直线l：上总存在P、Q两点，使得恒成立，则线段PQ长度的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】要使得恒成立，则点M在以PQ为直径的圆的内部，结合点到直线的距离公式，进而得到圆的半径的最小值，即可求解.
【详解】解：要使得恒成立，则点M在以PQ为直径的圆的内部，
点P、Q在直线上，
点到直线l：距离，
以PQ为直径的圆半径的最小值为，
所以PQ的最小值为6，则线段PQ长度的取值范围是，
故答案为：.
二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）
13. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，直线，直线，
因，可得,，即，解得，
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
14. 某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A. 24种B. 48种C. 72种D. 96种
【答案】D
【解析】
【分析】先安排讲座，再安排讲座和及其余三场讲座，最后利用分步乘法计算原理即可得出答案.
【详解】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，安排A有种排法，
因为讲座和必须相邻，所以安排BC及其余三场讲座共有种排法，
根据分步计数原理知共有种排法.
故选：D．
15. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解.
【详解】因为直线恒过点，
直线与坐标轴的交点分别为，
直线的斜率，此时倾斜角为；
直线的斜率不存在，此时倾斜角为；
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：B.
16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点，定义.对于下列两个命题：①设点P是直线上任意一点，则“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”；②设点P是椭圆上任意一点，则.则下列判断正确的是（ ）
A. ①真②真B. ①真②假C. ①假②真D. ①假②假
【答案】A
【解析】
【分析】对于①，根据，把代入得到当最小时的点有无数个时，；而时，推导出最小的点有无数个，即可证明；
对于②，的坐标用参数形式表示，然后利用三角函数的辅助角公式化简可求得的最大值.
【详解】对于①，先证充分性：
由，当时，，满足题意；
又，当时，，满足题意.
再证必要性：
不难得到，当时，直线上使得最小的点P有无数个；
所以“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”，即①是真命题；
对于②，因为点P是椭圆上任意一点，则可设，
所以（，且），
则当时，，即②是真命题；
故选：A.
三、解答题（本大题有5小题，共78分，）
17. 已知圆的圆心在直线上且与y轴相切于点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线l过点且被圆截得的弦长为，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆心坐标为，结合题意得到，求得圆心，再由，即可求得圆的方程；
（2）根据圆的弦长公式，化简得到，分的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：圆圆心在直线上且与轴切于点，
可设圆心坐标为，则，解得，.
所以圆心，半径，
故圆的方程为.
【小问2详解】
解：由直线l过点且被圆C截得的弦长为，
根据圆的弦长公式，可得，即，解得，
当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件；
当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即，
可得，解得或，
所以直线方程为或.
18. 某校组织全校800名学生进行校园安全相关知识的测试，从中随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），按照分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求的值，并估计全校学生测试成绩在内的人数；
（2）学校想了解部分学生测试成绩较低的原因，从样本中测试成绩在内的学生中随机抽取2名学生座谈，已知这些待选的学生中包含和，求和至少有一人被抽到的概率.
【答案】（1），320
（2）
【解析】
【分析】（1）由各组频率和为1列方程可求出的值，由频率分布直方图求出成绩在内的频率，用其乘以800可得答案，
（2）求出成绩在内的学生人数，然后利用列举法可求得结果
【小问1详解】
由频率分布直方图知，
解得.
则测试成绩在内的频率为，
所以估计全校学生测试成绩在内的人数为.
【小问2详解】
样本中测试成绩在内的学生人数为，
记学生和之外的4人分别为，
则所有可能的结果有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种，
其中学生和至少有一人被抽到的结果有，共9种.
所以学生和至少有一人被抽到的概率.
19. 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立.选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加．
（1）若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，．求他得分不低于10分的概率；
（2）规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为．
现有两种方案
方案一：依次做一道选择题两道填空题；
方案二：做三道填空题．
请你推荐一种合理的方式给小红．
【答案】（1）
（2）推荐方案二给小红
【解析】
【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式求解即可；
（2）先计算两种方案通过决赛的概率，比较大小即可求解
【小问1详解】
记“他得分不低于10分”为事件，则
；
【小问2详解】
记“方案一通过决赛”为事件，
则，
记“方案二通过决赛”为事件，
则，
因为，
所以推荐方案二给小红．
20. 已知圆，直线的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别为、．
（1）当的横坐标为时，求的大小；
（2）求证：经过、、三点圆必过定点，并求出所有定点的坐标；
（3）求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点、
（3）证明见解析，定点为
【解析】
【分析】（1）求出点的坐标，可求出，由切线的几何性质可知，根据可得出的大小，进而可得出，即可得解；
（2）设点分析可知圆的一条直径为，求出圆的方程得，联立方程组，可得出圆所过定点的坐标；
（3）求出以点为圆心，为半径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差，可得出直线的方程为，由可得出直线所过定点的坐标.
【小问1详解】
将代入方程可得，即点，
圆的圆心为，半径为，
由平面内两点间的距离公式可得，
因为直线切圆于点，则，
因为，且为锐角，故，故.
【小问2详解】
设，因为，所以圆的一条直径为，且点，
圆的半径为，
故圆的方程为，
即，
由，解得或，
所以圆经过定点和.
【小问3详解】
因为，
所以以点为圆心，半径为的圆的方程为，
即，

直线可视为圆与圆公共弦所在的直线，
将圆的方程与圆的方程作差，
可得直线的方程为，
由得，故直线过定点.
21. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线.
（1）已知直线，，试问是否存在点Q，使得直线，是定积直线？请说明理由.
（2）若O为坐标原点，点P与点M均在第二象限，且点在二次函数的图象上.若直线OP与直线OM是定积直线，直线OP与直线PM是定积直线，直线OM与直线PM是定积直线，求点P的坐标.
（3）已知点，直线m与n是定积直线，若m与x轴交于，n与x轴交于点B，直线将分割成面积相等的两个部分，求b的取值范围.
【答案】（1）存在，，理由见解析；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直线交点结合定义即可解决问题；
（2）根据两点斜率公式设点P坐标，结合定义计算解方程组即可；
（3）根据条件先求得坐标，从而计算直线方程，利用两直线交点的求法结合三角形面积公式计算即可.
【小问1详解】
显然两直线斜率之积是定值，
根据定义可知Q为两直线交点，由，，可得，
即存在Q使得，是定积直线；
【小问2详解】
设，
则可知，
根据题意有，
即，
所以由，
则，即；
【小问3详解】
因为直线m与n是定积直线，m过，，则，
而，易知为等腰直角三角形，即，
三角形ABC的面积为，
由于直线与x轴的交点为，
由直线将分割为面积相等的两部分，可得，
故，故点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为．
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故，
把A、N两点坐标代入直线，求得．

②若点M在点O和点A之间，此时，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
故，即 ，可得，求得 ，
故有．

③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标，求得．
设直线和AC的交点为P，
则由求得点P的坐标为，
此时由题意可得，的面积等于，即，
即，化简可得．
由于此时，，．
两边开方可得，，化简可得 ，
故有．

综上的取值范围应是 .