上海市曹杨二中2025-2026学年高二上学期期中数学试卷及答案

这是一份上海市曹杨二中2025-2026学年高二上学期期中数学试卷及答案，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 椭圆的长轴长为___________．
2. 已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________．
3. 设，若直线与直线垂直，则___________．
4. 已知，直线经过点，则直线的倾斜角为___________．（结果用arctan表示）
5. 已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________．
6. 已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为___________．
7. 设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是___________．
8. 设为双曲线的左、右焦点，且的离心率为，若点在的左支上，直线与的左支相交于另一点，且，则___________．
9. 设，若圆上恰有两点到直线的距离等于，则的取值范围是___________．
10. 长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为______．
11. 设为坐标原点，已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率为___________．
12. 已知是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为___________．
二、选择题
13. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
14. 直线与直线之间的距离为（ ）
A. 1B. C. D.
15. 如图，已知正方体的棱长为1，点P是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（ ）
A B.
C. D.
16. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题：
①存在点，有且仅有三条“直线”；
②存在点，有且仅有四条“直线”．
则下列说法正确的是（ ）
A. ①②均正确B. ①②均错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确
三、解答题
17. 已知圆．
（1）求圆关于直线对称圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程．
18. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

（1）若直线PA与圆锥底面所成角为，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．
19. 已知，椭圆．
（1）若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率；
（2）设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围．
20. 已知四棱锥的底面为梯形，，，，，平面.
（1）求证：；
（2）若点到平面的距离为，求四棱锥的高；
（3）若在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，求四棱锥高的取值范围.
21. 已知抛物线的焦点为．
（1）若点在抛物线上，求的值；
（2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：；
（3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围．
曹杨二中高二期中数学试卷
一、填空题
1. 椭圆的长轴长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆方程求得，进而求得长轴长.
【详解】椭圆方程为，
所以，则长轴长.
故答案为：
2. 已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】求出，得到答案.
【详解】向量，，
则，
设异面直线所成角的大小为，则，
所以.
故答案为：
3. 设，若直线与直线垂直，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据直线垂直得到方程，求出答案.
【详解】直线与直线垂直，
故，解得.
故答案为：2
4. 已知，直线经过点，则直线的倾斜角为___________．（结果用arctan表示）
【答案】
【解析】
【分析】代入，求出，得到直线的倾斜角.
【详解】将代入中得，解得，
故直线的倾斜角为.
故答案为：
5. 已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设出圆心坐标为，由两圆外切则圆心距，利用两点间距离公式列方程，再由三点共线，根据列方程，结合两个方程求解出的坐标.
【详解】设的圆心坐标为，
由圆方程得到其圆心为，；
因为圆与圆外切于点，所以，
即，即，
又因为三点共线，所以，故，得代入，得到，
所以.
又因为圆与圆外切于点，
所以与在原点同侧，所以 ，所以，
当时，，此时.
故答案为：
6. 已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设双曲线的方程为，由条件得到方程组，求出，得到答案.
【详解】设双曲线的方程为，将代入方程得，
又一条渐近线方程为，而渐近线方程为，即，
联立可得，故双曲线标准方程为.
故答案为：
7. 设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据所过象限得到不等式，求出答案.
【详解】经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，
则，故直线，
由题意得，解得.
故答案为：
8. 设为双曲线的左、右焦点，且的离心率为，若点在的左支上，直线与的左支相交于另一点，且，则___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据离心率求出，设，，则，由双曲线定义可得.
【详解】由题意得，故，解得，
设，，则，
由双曲线定义可知，
即.
故答案为：4
9. 设，若圆上恰有两点到直线的距离等于，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出与原直线距离为的平行线，计算圆心到这些平行线的距离，结合圆与直线的位置关系确定半径的范围.
【详解】圆的圆心为，半径.
设与距离为的平行线为，
由两平行线的距离公式，可得，即，解得或
于是得两条平行线：和.
分别计算圆心到的距离：，
要使圆上恰有两点到原直线的距离为，
需使圆与相交且与相离，即.
所以.
故答案为：.

10. 长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为______．
【答案】##
【解析】
【分析】作于点，于点，求出，，然后结合圆锥体积公式利用割补法求解即可.
【详解】如图，是点关于的对称点，交于，
作于点，于点，，
，，

设、、绕直线旋转所成旋转体的体积
分别为，、，则有，，
所求体积．
故答案为：
11. 设为坐标原点，已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先得到双曲线焦点，，利用点到直线距离公式得到，结合题目条件得到，，，再由三角形相似得到方程，求出，将其代入抛物线方程，得到关于的齐次式，求出离心率.
【详解】设双曲线的焦距为，
因为抛物线的准线过双曲线的焦点，
所以，故，
又到渐近线的距离，即，
因为，所以，
所以，所以，则，
所以，，
过点作⊥轴，则，
故，即，
解得，则，
由于在抛物线上，故，
即
，
解得或（舍去），故.
故答案为：
12. 已知是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】设，得到点在以为圆心，半径为的圆上，点的轨迹为以为焦点的椭圆方程，数形结合得到与圆相切且与相切时，最大，并求出最大值.
详解】不妨设，，
由，可得，故，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
由，可得，
即，
所以点到的距离之和为，
所以点的轨迹为以为焦点的椭圆方程，且，，
所以，椭圆方程为，
如图1所示，在椭圆上固定一个点，作⊥于点，
根据数量投影的概念，需为锐角，才能保证数量投影为正，
则的长即为在方向上的数量投影的大小，
其中，
由于固定点，故为定值，要想最大，则需最大，
所以需最小，显然需与圆相切（如图2所示），
此时连接，则⊥，且，
所以，直线方程为，
现在移动点，显然当与相切时，最大，
由于，故，设直线方程为，
联立与得，
由得，
由图可知，，故直线方程为，
其中，解得，
故，，
所以，.
故答案为：
二、选择题
13. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得到抛物线的标准方程，再由标准方程得到其准线方程；
【详解】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴正半轴， ，则准线方程为.
故选：D
14. 直线与直线之间的距离为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两平行直线间距离公式进行求解.
【详解】直线，即直线，
直线与直线之间的距离为.
故选：C
15. 如图，已知正方体的棱长为1，点P是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面垂直，结合面面角的定义可得，，进而根据全等，将问题转化为在正方形内考虑，结合对称性以及平面几何的知识即可求解.
【详解】如图，取正方体的上底面的各边中点，
过作于，作于，
则平面，平面，
平面，则，
同理可得.
由于,
因此,故,
同理可得,
因此只需要在正方形内考虑，即
等价于到的距离比到的距离大，所以在如图所示的阴影范围内.
故选：B.
16. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题：
①存在点，有且仅有三条“直线”；
②存在点，有且仅有四条“直线”．
则下列说法正确的是（ ）
A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①正确②错误D. ①错误②正确
【答案】A
【解析】
【分析】分析得到直线的斜率存在，且，满足要求，要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且，此时，，从而①正确；同理，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且，不妨取，此时，故，故④正确.
【详解】对于①，当直线的斜率不存在时，设为，
若时，到直线的距离之和为4，不满足要求；
若或时，到直线的距离之和大于4，不满足要求；
当直线的斜率存在时，设直线为，
则，，由可得，
若，则，即，解得，
此时，即，
若，则，即，
解得，此时，即，
若，则，即，
两边平方得，将其看作关于的方程，
若，则，即，
两边平方得，将其看作关于的方程，
要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且，
此时，，
故当点坐标为，此时和时，满足要求，
故存在点，有且仅有三条“直线”，①正确；
对于②，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且，
不妨取，此时，故，
所以此时和，满足，
故存在点，有且仅有四条“直线”，②正确.
故选：A
三、解答题
17. 已知圆．
（1）求圆关于直线的对称圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出圆心和半径，得到关于直线对称点为，从而得到对称圆的方程；
（2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线距离等于半径进行求解.
【小问1详解】
圆的圆心为，半径为4，
关于直线对称点为，
圆关于直线的对称圆的方程为；
小问2详解】
当过点的直线斜率不存在时，方程为，
此时圆心到的距离为4，等于半径，故满足要求；
当过点的直线斜率存在时，设为，
由题意得，解得，
故直线方程为，即，
综上，切线方程为或.
18. 如图，P是圆锥顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

（1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.
（2）证明平面平面，然后根据面面平行的性质可得.
【小问1详解】
由题知，，即轴截面等边三角形，故，
底面周长为，则侧面积为：;
【小问2详解】
由题知，则根据中位线性质，，
又平面，平面，则平面
由于，底面圆半径是，则，又，则，
又，则为等边三角形，则，
于是且，则四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，故平面.
又平面，
根据面面平行的判定，于是平面平面，
又，则平面，则平面

19. 已知，椭圆．
（1）若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率；
（2）设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由椭圆方程，得到，再利用三角形面积为2，列方程求出，则由，故可以写出椭圆方程和离心率；
（2）设出，利用在椭圆上得到之间的关系，再表示出关于的表达式为，根据条件得到在当时有最小值得到，最后结合题目求解的取值范围
【小问1详解】
由椭圆方程，得
设焦点为,短轴顶点为,则，即，所以 ，所以椭圆方程为，离心率
【小问2详解】
设 则，即，；
令，
因为，所以，所以为开口朝上的抛物线，对称轴为；
因为为椭圆右顶点时，取到最小值，所以当时，有最小值；
所以，即，
因为，所以，解得，
又因为，所以，所以的取值范围是.
20. 已知四棱锥的底面为梯形，，，，，平面.
（1）求证：；
（2）若点到平面的距离为，求四棱锥的高；
（3）若在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，求四棱锥的高的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）8； （3）.
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求出；
（3）先设点的坐标，根据向量和平面的法向量得到对应的数量积公式，构造关于的函数，利用函数的单调性求解即可.
【小问1详解】
如图连接，作的中点，连接，
因为底面为梯形，，，所以；
又，，
所以，，，
，所以，所以；
又平面，平面，所以；
又，平面，所以平面；
又平面，所以；
【小问2详解】
由（1）知，即为所求的四棱锥的高，且两两相互垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，则
，设，则，
所以，
设平面的一个法向量为，则
，即，取，则，所以，
所以点到平面的距离，解得，
即所求的四棱锥的高为；
【小问3详解】
如图，设，则，
由（2）知，平面的一个法向量为，则，
因为直线与平面所成角为，
所以，化简得；
构造函数，
由函数在上单调递减，且；
又在单调递增，且；
所以在上单调递减，则有，
即，化简得，解得，
即四棱锥的高的取值范围是.
21. 已知抛物线的焦点为．
（1）若点在抛物线上，求值；
（2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：；
（3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围．
【答案】（1）6； （2）证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用抛物线定义求焦半径；
（2）结合向量运算与韦达定理，通过判别式限制参数范围；
（3）利用抛物线弦的纵坐标性质求点坐标，化简斜率表达式后分析取值范围.
【小问1详解】
点在抛物线上，代入得.
抛物线的焦点为，准线为.
由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，故.
【小问2详解】
抛物线的焦点为，由，
得：
联立直线与抛物线，得，
故，.
因此，.
因在抛物线上，故.
直线与抛物线有两交点，判别式，
代入得：，
又，故.
【小问3详解】
设，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
，则，
则，，故.
直线过，联立与抛物线，得，
故，，即.
同理，直线过，得，，即.
直线的斜率：，
令，，则.
令，.
函数在上递增：
当（即），，故；
当（即），，故.
综上所述，的取值范围是.