2026湖北省云学联盟高三上学期12月月考数学试题含解析

2025年高三年级12月考试数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将答题卡上交．一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答题卡上此题对应选项的标号涂黑）．1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数的虚部为（ ）A B. C. D. 3. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的值为（ ）A. -1B. 1C. -2D. 25. 在中，角的对边分别为．已知，则的面积为（ ）A. B. C. D. 6. 已知为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ）A. 8B. 7C. 6．D. 57. 如图，在中，，，为与的交点，且,则向量在上的投影向量的模取得最小值时，（ ）A. B. 1C. 2D. 8. 在正三棱柱中，为边上的中点，平面过点且与平面所成的锐二面角为，平面与线段相交于点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请将答题卡上此题对应的上述选项的标号涂黑）9. 下列有关说法正确的是（ ）A. 设随机变量服从正态分布，若，则B. 若随机变量，则C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23.5D. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种10. 已知函数满足，且在上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是（ ）A. 函数的图象关于直线对称B. 的最小正周期为4C. 当时，函数每一个闭区间上单调递减D. 在（0，2026）上恰有900个零点11. 已知数列的通项公式为，将按从小到大的顺序排列起来构成数列，其中，数列中落在区间内项的个数记为数列，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 若，则三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请将每小题的正确答案填写在答题卡上对应的位置）12. 相互独立事件A、B满足，则___________．13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且，双曲线的离心率为___________．14. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为．例如：是一个函数簇．若函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且当参数变化时，由所有的点构成一条曲线，则称函数簇存在包络函数．已知函数簇，若“”是“存在包络函数”的充要条件，则集合___________；函数的表达式为___________．四、解答题（本题共5个小题，共77分．请将每小题的解答过程写在答题卡上对应的位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 某中学对学生钻研奥数课程情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：（1）对照列联表，根据小概率独立性检验，是否为“奥数迷”与性别有关？（2）现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为，在恰有两人闯关成功的条件下，求两人性别相同的概率．参考数据与公式：，其中．16. 已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且（1）求及；（2）记，其中表示不超过的最大整数，如，．求数列的前2025项和．17. 在三棱锥中，为正三角形，，点为棱的中点，点是线段上的一动点．（1）证明：；（2）求二面角的正弦值的大小；（3）设直线与平面、平面所成角分别为，求的最大值．18. 在抛物线中，过点的直线交抛物线于两点．当直线的斜率为1时，．（1）求抛物线的标准方程；（2）设抛物线的焦点为，直线上有一动点，其横坐标为．（i）若且直线经过的内心，求直线的方程；（ii）对任意满足题设条件的直线，是否存在动点，使得直线经过的内心且同时与相切？若存在，则加以证明．若不存在，请说明理由．19. 已知函数，直线．（1）若直线与曲线相切，求实数的值；（2）证明：对于，使得当时，直线恒在曲线上方；（3）若直线与曲线有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标依次为，证明：．奥数迷非奥数迷总计男243660女122840总计36641000.10.050.0100012.7063.8416.63510.828