安徽省2025_2026学年高三数学上学期8月摸底大联考试题含解析

这是一份安徽省2025_2026学年高三数学上学期8月摸底大联考试题含解析，共20页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知复数 z 满足 ，i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法运算化简 ，结合虚部的概念即可求出.
【详解】由题意得， ，故复数 z 的虚部为 .
故选：D．
2. 已知集合 ， ，则 ＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用对数型函数定义域的求法把集合 具体化，再根据集合的基本运算法则即可得答案.
【详解】 ，
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则 ，又因为 ，
所以 .
故选：A
3. 如图，5×5 的方格里，每个方格长度为 1，则向量 ＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定方格图，利用向量的加减法计算即得.
【详解】如图所示， ．
故选：B
4. 已知双曲线 C： （m＞0）的上、下焦点分别为 ，A 为 C 上一点，且
，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线定义可得 ，从而求出渐近线方程.
【详解】由双曲线定义可知 ，所以 ，即 ，
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所以双曲线 C： ，则渐近线方程为 .
故选：B．
5. 已知定义在 R 上的奇函数 ，满足当 时， ，且 ，则
（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，赋值后与条件联立求出 ，进而求出 ，再利用奇函数性质计算即得.
【详解】当 时， ，则 ，且 ，
又 ，联立解得 ，因此 ，
又 是 R 上 奇函数，所以 .
故选：A
6. 已知过点 与圆 相切的两条直线的夹角为α，则 tanα＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心和半径，得到点 到圆心的距离为 ，从而得到 ，由正切二倍角公式进
行求解即可.
【详解】 变形为 ，
故圆心为 ，半径为 2，所以点 到圆心的距离为 ，
则切线长为 ，所以 ，则 .
故选：D．
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7. 将函数 的图象沿 x 轴向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则实数
a 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，根据函数图象变换可得新函数的解析式，由整体思想可得参数
值，根据正切值建立方程，可得答案.
【详解】由题意可知 ，设 ，则 ，
设将函数 的图象向右平移 个单位可得函数 的图象，
则 ，
易知 ，则 ，即 ，
可得 ，解得 .
故选：B.
8. 已知随机变量 ， 均服从正态分布，其中 ，且 ，设函数
，则 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】求出 ，判断函数 的对称性，可排除 AC；求 的值，可排除 D.即可得到正确答案
.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
＝ ，
因为 ，所以根据对称性可知 ，
所以函数 图象关于 对称，故排除 AC；
当 时， ，所以排除 D．
故选：B
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点， 为 的中点，则（ ）
A. B. //平面
C. 与 是异面直线 D. 三棱锥 的体积为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据线面垂直的判定和性质定理证明判断 A；根据 ∥CD 且 CD 与平面 有交点判断 B；
根据异面直线的概念判断 C；根据等体积法求解判断 D.
【详解】如图：
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对于 A，因为 为正方体，所以 ，且 ⊥ ，
平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，则 ，所以 A 正确；
对于 B，因为 //CD， 平面 ，
所以 与平面 也有交点，所以 B 错误；
对于 C， ， ， 三点共面，且 点不在平面内， 点不在直线 上，
所以 与 是异面直线，所以 C 正确；
对于 D， ，所以 D 错误．
故选：AC
10. 已知定义域为 的函数 f（x）＝ 的所有单调增区间，从左往右排列可以表示为 ，
，令 ，且数列 的前 n 项和为 ，则（ ）
A. B. 是递增数列 C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用导数求出函数的单调增区间为 ，可得 ， ，
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即 ，结合单调性可判断 A，B 选项，利用 判断 C，求得 判断 D 选项.
【详解】 ，令 ＞0，得 ＞0，
所以 ，即 ，
所以当 x＞ 时，f（x）的单调增区间为 ，
其中 ，故 ， ，
所以 ，所以 是递增数列，故 A 错误，B 正确；
令 ，求导可得 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故 C，D 均正确.
故选：BCD．
11. 已知 的内角 所对的边分别为 ， ，且 ，
则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，由 得 ，即 ，则 或
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，分类讨论即可判断；对于 B，由 得
，进而得 ，令 ，得
，利用导数研究单调性结合零点存在定理即可判断；对于 C，
由 ，得 ，由 ，得 ，即
，进而得 ，由 ，得 ，即 ，即可判断；对于 D，
由 即可判断.
【详解】对于 A，由 ，得 ，
即 ，由 ， ，即 ，
因为 ，则 或 ，当 时， ，与 矛盾，舍去，
故 ，又 ，故 ，即 ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，则 ，
则 ，即 ，
故 ，即 ，
因为 ，故 B 为钝角，令 ，
令 ，由 ，
故 在 上单调递减，有 ， ，所以 ，
故 B 正确；
对于 C，因为 ， ，则 ，
由 ，得 ，则 ，
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所以 ，则 ，又 ，则 ，所以 ，即 ，故 C 错误；
对于 D，又 ，则 ，故 D 正确．
故选：ABD．
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 C 上一点，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，将 代入抛物线方程求得 ，然后利用
抛物线定义求解 即可.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线 ，
由 ，得 ，所以 ．
故答案为：3
13. 若直线 与曲线 相切，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据曲线切点处的导数值是切线斜率可得 ，再结合切点在切线上也在曲线上即可求得答
案.
【详解】设直线 与曲线 的切点为 ，
对 求导，得 ，直线 的斜率为 1，
由导数的几何意义知，在切点处 ，即 ，
又切点 既在直线上又在曲线上，∴ 且 ，
即 ，将 代入 ，
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得 ，即 ．
故答案 ：1.
14. 某学校为增强学生体质，拟举办长跑比赛，学校给某三个班级共分配 9 个参赛名额，每班至少 1 个参赛
名额，从所有可能的分配方案中随机选择一种，用 X 表示这三个班级中分配的最少名额数，则 X 的数学期
望 E（X）＝______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分析三个班级中分配的最少名额数 的取值情况，及相应的分配方案数，得到相应的
概率，根据数学期望的公式求得 X 的数学期望.
【详解】若三个班级名额数分别为 a，b，c，则 a＋b＋c＝9．
又每个班级至少一个名额，所以，相当于 9 个相同的小球分成 3 份，且每份至少有一个球，因此可用隔板
法，即用 2 个隔板插入 8 个空，则共有 ＝28 种情况．
由题意设 X＝min{a，b，c}，则 X＝1，2，3.记各班级名额数为（a，b，c），
其中 时只有 一种情况，即 ，
时,有
共九种情况．
即 ，所以 ，
所以 的分布列为:
1 2 3
综上， ．
方法二：当 时，因为 ,所以共有
(种)
当 时，因为 所以共有 (种)
当 时,因为 所以只有一种情况.
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综上，共有 28 种情况.
所以， , , .
所以 的分布列为:
1 2 3
所以， .
故答案为：
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 某研究小组为了探究成年男士的身高与体重之间是否存在关联，随机选取成年男士 人，其中身高
（单位： ）服从正态分布 ，体重 （单位： ）服从正态分布 ，得到数据如
下表．参考数据：若 ，则 ．
体重
身高 合计
大于 小于或等于
大于
小于或等于
总计
附： ，其中 ．
（1）根据正态分布估计 和 的值；
（2）若 ，根据小概率值 的独立性检验，分析成年男士身高超过 与体重超过 是
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否有关联？
【答案】（1）a＋b＝16，b＋d＝84
（2）有关联
【解析】
【分析】（1）根据正态分布的性质结合参考数据求出 ，由此确定选取的成年男士中身高大于
的大致人数，由此可得 ，再根据正态分布的性质结合参考数据求出 ，由此确定选
取的成年男士中体重大于 的大致人数，再求 ，
（2）由条件确定 ，提出零假设，再求 ，根据所得数据与临界值的大小判断结论.
【小问 1 详解】
因为该地区成年男士的身高 （单位： ）服从正态分布 ，
由正态分布可得 ，
所以可得从该地区随机选取成年男士 人，
则身高大于 的人数约为 人，所以 ，
因为体重（单位： ）服从正态分布 ．
由正态分布可得 ，
所以可得从该地区随机选取成年男士 人，则体重大于 的人数约为 人，
所以体重小于或等于 的人数约为 人，故 ．
【小问 2 详解】
若 ，则 ， ， ，
零假设 ：该地区成年男士身高超过 与体重超过 无关，
计算可得 ，
由小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
所以该地区成年男士身高超过 与体重超过 有关联．
16. 已知数列 为等差数列，且 ．
（1）求 的通项公式；
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（2）设 ，且 ，求数列 的前 n 项和
．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意，列出方程组求得 ，进而得到数列的通项公式；
（2）根据题意，利用二项展开式，求得 ，得到 ，结合乘公比错位相减法，即可
求解.
【小问 1 详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ，则 ，解得 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
解：由 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
则 ，
两式相减，得
，
所以 ．
17. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，离心率为 ．
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（1）求椭圆 的方程．
（2）如图，已知点 ， （其中 ， ），满足以线段 为直径的圆过点
，且交椭圆 的第一象限于点 ．
①若 ，求点 的纵坐标；
②若线段 交 轴于点 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由条件列关于 的方程，解方程求 可得椭圆方程；
（2）①由条件可得 ，结合向量数量积坐标运算公式列方程可求 ，设 ，根据关系
及点 在椭圆 上列方程求 ，
②由条件可得 ，所以 ，设 ，根据关系 及点 在椭圆 上列方
程可得 ，再证明 ，由此可得结论.
【小问 1 详解】
设椭圆的半焦距为 ，
由条件可知， ， ，
所以 ， ，
所以椭圆 的方程为 ．
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【小问 2 详解】
由已知 ， ， ，
因为点 在以 为直径的圆上，所以 ，故 ，
又 ， ，
所以 ，故 ，即 ．
设 ， ， ，
， ，
由题意可知， 解得 ，
则点 的纵坐标为 ．
由题知 ， ， ， ，
由 ，可得 ，
所以 ，故 ，
设 ， ， ， ， ，
因为 ，故 ，
所以 ，且 ，
化简得 ，又 ，
所以 ，即 ，
由 ，得 ，所以 ．
18. 在矩形 ABCD 中， ，E 为 AD 的中点，将点 D 沿着 CE 翻折到点 P，形成四棱锥 P－ABCD，
其中二面角 P－EC－D 大小为 ．
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（1）证明： ；
（2）当 时，求直线 PB 与平面 PEC 所成角的正弦值；
（3）求四面体 PABC 的外接球表面积的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到线线垂直，进而得到线面垂直，结合线面垂直的性质可证结论；
（2）根据 求出点 的坐标，求出平面法向量，结合线面角向量公式可得答案；
（3）设球心坐标，利用等量关系得到 ，结合 范围可得 范围，进而可求答案.
【小问 1 详解】
证明：取 EC 中点为 T，连接 DT，PT，则由等腰三角形的性质可知 ， ，
因为 ， 平面 PDT，故 平面 PDT，
因为 平面 PDT，所以 ．
【小问 2 详解】
过 P 作 ，垂足为 ，
由（1）可知 且 为二面角 P－EC－D 的平面角，
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故 ，当 时， ， ，
因为 平面 ABCD，故平面 平面 ABCD，
平面 平面 ， 平面 PDT，
故 平面 ABCD，
连接 BD 与 AC 交于点 O，如图以点 O 为原点，
以过点 O 且与 BC 平行的方向为 x 轴，以过点 O 且与 CD 平行的方向为 y 轴，
以过点 O 且与平面 ABCD 垂直的方向为 z 轴，建立空间直角坐标系，
可得 ,P ，
， ， ，
设平面 PEC 的一个法向量为 ，
则 ，令 x＝1，可得 ，
设直线 PB 与平面 PEC 所成角为α，
则 ，故直线 PB 与平面 PEC 所成的角的正弦值为 ．
【小问 3 详解】
由（2）知， ，P ，
由于球心在过△ABC 外心且垂直于平面 ABC 的直线上，
所以设球心 的坐标为 ，半径为 ,
因为 ，
所以 ，
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解得 ，
而 ，所以 ， ，
， ，
所以四面体 PABC 的外接球表面积的取值范围为 .
19. 已知函数 ．
（1）当 时，判断 的单调性；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
（3）求证： （ ）．
【答案】（1） 在 上单调递增
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，研究导数的正负情况，即可得单调性；
（2）容易得到 时成立；当 时，利用 ，可得
，令 ，求导可得到
恒成立，进而可得到 ，与 矛盾，即 时不成立，即得答案；
（3）分析法把原不等式的证明转化为证明 成立，构造函数，求导，结合不等式可证明
.
【小问 1 详解】
，
第 18页/共 20页
由 ，则 ，故 ，
，故 在 上恒成立，
故 上单调递增．
【小问 2 详解】
令 ， ，
由（1）得 在 上单调递增，又 ，
所以 ，
（i）当 时， 恒成立．
（ii）当 时，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
又 ，所以 ，故 时， ，（*）
由（*）式可得 ，
令 ，则 ，
由（*）式可得 ，
令 ， ， ，
故 在 上单调递增，又 ， ，
所以存在 使得 ，即 时， ，
所以 时， ， 单调递减，
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又 ，所以 ，
即 时， ，与 矛盾．
综上，满足条件的 的取值范围是 ．
【小问 3 详解】
证明：由 ，则 ， ，
要证 ，只需证 ，
即只需证 ，
由（2）知 ，故只需证 ，
即只需证 ，令 ， ，
则 ，
由 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，故不能取等，即有 ，
则 ，
令 ， ，则 ，
故 在 上单调递增，则 ，
即 ，故 在 上单调递增，则 ，
即有 ，即得证．