湖南省湘潭市部分学校2025-2026学年高一上学期12月学情检测数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象得到阴影表示的集合，进一步运算即可.
【详解】由题可知，
图中阴影部分表示的集合为,
故选：C.
2. 已知幂函数是奇函数，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 或2
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出的可能值，再结合奇偶性即可得出结果．
【详解】由为幂函数得，即，解得或．
当时，，，原幂函数为偶函数，所以；
当时，，，原幂函数为奇函数，故．
故选：A．
3. 若：，：，则是成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
【详解】由不能推出，例如，
但必有，
所以：是：，的必要不充分条件.
故选：B.
4. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求解.
【详解】由对且，都有，得函数在R上单调递减，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
5. 在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况，利用函数的单调性进行判断即可．
【详解】对于A，B，当时，函数在R上为单调递减函数；
又，所以在区间和区间上单调递减，
且当时，，故A和B均错误；
对于C，当时，函数在R上为单调递增函数，
又，所以在区间和区间上单调递增，故C错误，D正确．
故选：D．
6. 已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可得函数在上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据，可得，进而得出结论.
【详解】因为偶函数在区间上单调递减，
所以函数在上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，
又，所以，
故选：.
7. 已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令（），原方程转化为，根据一元二次不等式有两个不等的实根求解即可.
【详解】令（），原方程转化为．
关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根，
因此有解得．
故选：D．
8. 已知函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，得到，根据题意，转化为与的图象仅有两个交点，画出同一坐标系内作出两个函数的图象，结合斜率公式和直线与抛物线的位置关系，即可求解.
【详解】由函数，
令，可得，即，
因为函数有且仅有两个零点，
即函数与的图象仅有两个交点，
因为，
作出函数和的图象，如图所示，
当时，联立方程组，可得，
由，解得，
当时，可得，
要使得函数有且仅有两个零点，则满足或，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面给出的四个式子中（式中，，，，）中错误的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由对数的运算性质：当，，，时，成立，判断A选项正确；当，时，判断BCD选项错误.
【详解】A选项：由对数的运算性质：当，，，时，成立，故A选项正确；
B选项：当，时，，，成立，，故B选项错误；
C选项：当，时，，，成立，，故C选项错误；
D选项：当，时，，，成立，无意义，故D选项错误；
故选：BCD.
【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础题.
10. 下面命题正确的是（ ）
A. 若且，则都大于1
B. “任意，则”的否定是“存在，则”
C. 设，则“且”是的必要而不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】BD
【解析】
【分析】利用命题的否定和充分条件及必要条件的定义判断即得.
【详解】对于A，假设，与都大于1矛盾，命题为假命题，A错误；
对于B， “任意，则”的否定为“存在，则”，B正确；
对于C，则，则，，则成立，满足充分性，C错误；
对于D，当时，可能为零，当时，一定不等于零，则“”是“”的必要不充分条件，D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（ ）
A 0B. 1C. D. 2
【答案】BC
【解析】
【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程的一个根在，一个根在，结合一元二次方程的根的分布问题即可求解．
【详解】记，作出函数的图象如图所示，
令，则由图可知，当时，方程只有一个根；
当时，方程有两个根；当时，方程只有一个根；
显然不是方程的根；
若是方程的根，则，此时，
结合图象可知，此时方程和方程共有4个根，则函数有4个零点，不满足题意；
所以恰有5个零点等价于方程恰有5个实根，
等价于方程的一个根在，一个根在，
令，则，所以，
结合选项可知，m的值可以是1和.
故选：BC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15 分.
12. 函数（且）的图象过定点______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的函数，借助指数函数、对数函数过定点问题求解.
【详解】对任意且，当时，成立，此时，
所以函数（且）的图象过定点.
故答案为：
13. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由函数图象恒过定点，先求出点，代入直线方程中变形让等式右边化为“1”，再用基本不等式求解即可.
【详解】因为函数（，且）的图象恒过定点，
所以点，又点在直线上，
所以有，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为：，
故答案为：.
14. 若实数满足，则称为函数的一个“二阶不动点”．给定函数，则其所有“二阶不动点”的和为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义解方程可得“二阶不动点”，然后求和即可.
【详解】时，，，则，满足题意；
时，，，则，满足题意；
时，，，则，满足题意；
时，，，则，满足题意，
所以的“二阶不动点”有：，和为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值；
（2）利用对数的换底公式计算可得所求代数式的值.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
16. 已知关于的一元二次方程.
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程有两实根，，且满足，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的判别式列出关于的不等式，求解即可；
（2）根据一元二次方程的判别式和根与系数的关系，结合已知条件，即可求解.
【小问1详解】
∵方程有实数根，
∴，∴.
【小问2详解】
∵方程有两实根，，
∴，∴，
且，，
∴，
，，
∴，或，
∵，∴.
17. 某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元）．当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，（万元），若每台电子设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（利润销售额成本）.
（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元.
【解析】
【分析】（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本再减去年固定成本即可求解；
（2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大
【小问1详解】
解：由题意可得：时，，
当时，
所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
，
【小问2详解】
解：由（1）得时，，开口向下的抛物线，对称轴为，
此时时，万元，
当时，，
当且仅当即时等号成立，（万元），
综上所述：年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元.
18. 已知函数，其中且.
（1）当时，求函数的单调区间和值域；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）增区间为，减区间为，值域为.
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据指数函数及二次函数单调性应用复合函数单调性性质计算求解，进而得出函数的单调区间和值域；
（2）分及应用对数函数单调性及对数复合函数定义域列式计算求解.
【小问1详解】
由，有，可得函数的定义域为，
又由二次函数的增区间为，减区间为，
当时，函数在上单调递增，
可得函数的增区间为，减区间为.
当时，，有，
故函数的值域为.
【小问2详解】
①当时，关于的不等式可化为，
可化为或.
可得或，
故关于的不等式的解集为.
②当时，关于的不等式可化为，
可化为或.
可得或，
故关于的不等式的解集为.
综上，当时，关于的不等式的解集为，
当时，关于的不等式的解集为.
19. 对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，.
（1）根据定义作出函数和在的大致图象；
（2）当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围；
（3）求下列方程的解集：①；②.
【答案】（1）图象见详解
（2）的最小值为8，此时的取值范围为
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题意化简函数解析式，进而作出函数图象；
（2）根据题意结合基本不等式求最小值，并结合成立的条件求的取值范围；
（3）分类讨论，结合的定义以及指数函数的性质化简方程，进而分析求解.
【小问1详解】
因为，则，
所以函数在的大致图象如图所示：
且，
所以函数在的大致图象如图所示：
【小问2详解】
因为，且，可得，
又因为，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为8，此时的取值范围为.
小问3详解】
对于①：，可得，
若，则，
可得，解得；
若，则，不合题意；
若，则，
可得，解得；
综上所述：的解集为；
对于②：，
若，则，可得，
但，即不成立，不合题意；
若，则，可得，
但，即不成立，不合题意；
若，则，可得，
但，即不成立，不合题意；
若，则，可得，
即，解得；
若，则，，即成立，符合题意；
若，由图象可知，
可得，即不成立，不合题意；
综上所述：的解集为.