湖南省湘潭市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省湘潭市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知 ，则 的大小关系是，已知 ，则 的最小值为，已知角 的终边经过点 ，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.函数 的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知 是三角形的一个内角，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
5.“ ”是“关于 的不等式 有解”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件
6.已知 ，则 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，这是一块扇形菜地， 是弧 的中点， 是该扇形菜地的弧 所在圆的圆心，D 为 和
的交点，若 米，则该扇形菜地的面积是（ ）
A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米
8.已知 ，则 的最小值为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知角 的终边经过点 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D.将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象
11.已知函数 则下列结论正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 在 上单调递增，则 的值可以为
C.存在 ，使得 在 上单调递减
D.若 的值域为 ，则 的取值范围为
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
的值为__________.
13.已知函数 则 __________.
14.如图， 地在自西向东的一条直线铁路上，在距 地 的 B 地有一金属矿， 地到该铁路的距离
.现拟定在 之间的 地修建一条公路到 地，即修建一条 的运输路线.若公路运
费是铁路运费的 倍，则当 地到 地的距离为__________ 时，总运费最低.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
（1）求值： （ 为正数）.
（2）若 ，且 ，求 的值.
16.（15 分）
已知
（1）求 的值；
（2）求 的值.
17.（15 分）
已知函数
（1）求 的单调递增区间；
（2）求 在 上的值域；
（3）若函数 在 上的零点个数为 2，求 的取值范围.
18.（17 分）
已知 是偶函数， ，且 在 上单调递增.
（1）比较 与 2 的大小；
（2）求不等式 的解集；
（3）若函数 ，且 ，且不等式 在 上恒成立，求 的取值范围.
19.（17 分）
已知函数 的定义域为 D，若 且 ，则称 是凹函
数；若 且 ，则称 是凸函数.
（1）已知函数
①求 的解析式；
②判断 是凹函数还是凸函数，根据凹函数、凸函数的定义证明你的结论.
（2）讨论函数 在定义域 上的凹凸性.
2024 年下期高一年级期末考试
数学参考答案
1.A 由题意可得 ，则 .
2.B 由题意可得 解得 或 或 .
3.B 均是奇函数， 是偶函数.
4.C 由题意得 ，因为 ，所以 ，即不等式 的解集为 .
5.D 若关于 的不等式 有解，则 ，得 .由
“ ”可以推出“ ”，由“ ”不能推出“ ”，所以“ ”是“关于 的不等式
有解”的充分不必要条件.
6.D 因为 ，所以 .
7.A 如图，连接 .因为 是弧 的中点，所以 ， 米.因为 ，
所以 ，所以 ，所以 是等边三角形，则 .因为
米，所以 米， 米，则该扇形菜地的面积是
平方米.
8.C 由题意得 ，则 ，当且仅当
，即 时，等号成立.故 的最小值为 3.
9.BCD 由题意得 ，所以 .
10.AB 由图可知 ，由 ，得 ，则 ，A，B 正确.因为
，所以 ，得 ，又 ，
所以 ，C 错误.由题意得 ，
D 错误.
11.ABD 由题意得 ，得 ，得 ，A 正确.
若 在 上单调递增，则 得 ，B 正确.
若 在 上单调递减，则 不等式组无解，C 错误.
若 的值域为 ，则 ，得 在 上单调递增.当 时， 在 ， 上单调
递增，则 ，得 ，即 .当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增，则 ，得 恒成立，即 2.综上， 的取值范围为 ，D
正确.
12. .
所以 .
14.10 设当 地到 地的距离为 时，铁路每公里运费为 ，公路每公里运费为 .由题意得
，则总运费 ，
要使总费用最低，只需 最小即可.
设 ，则 ，得 ，则
，得 .当 时，总费用最低，则
，得 ，所以当 地到 地的距离为 时，总运费
最低.
15.解：（1）原式 .
（2）由题意得 .
由 ，得 ，则 ，即 .
故 .
16.解：（1）由 ..
，
得 ，
所以 .
（2） .
17.解：（1） .由 ，得
，所以 的单调递增区间为 .
（2）令 ，由 ，得 ，则 .
由正弦函数的图象可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，
因为 ，所以 .
故 在 上的值域为 .
（3）令 ，得 ，即 ，则 在 上的零点个数即 的图象与直线
在 上的公共点个数.
由（2）可知 ，所以 ，即 的取值范围为 .
18.解：（1）因为 是偶函数，所以 .
又 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
则 ，即 .
（2）由 ，得 ，
得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
（3）当 时， 在 上单调递减，由 的图象（图略）可知，不等式 不恒
成立.
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增，要使不等式 在 上
恒成立，则 ，得 ，得 ，即 .
综上， 的取值范围为 .
19.解：（1）①（方法一）由题意得 ，
所以 .
（方法二）令 ，则 ，得 ，
所以 .
② 是凹函数.
证明如下：
由题意得 的定义域为 .设 且 ，
则
，
所以 ，即 .
故 是凹函数.
（2）由题意得 的定义域为 .设 ，且 ，
则
.
由 ，得 ，
得 .
当 时， ，
即 ，所以 在 上是凸函数.
当 时， ，
即 ，所以 在 上是凹函数.