北京市第八中学高二上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市第八中学高二上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 在的展开式中，的系数为（ ）．
A. B. 5C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
2. 若直线l的方向向量是 则直线l的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解
【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为，
设直线的倾斜角是，
故选：C.
3. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
4. 和是两个等差数列，其中（）为一固定常数值，，，，则（ ）
A. 32B. 48C. 64D. 128
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.
详解】由已知条件可得，，则，
根据等差中项的性质，，所以.
故选：D.
5. 已知数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
数列满足，，可得，利用周期性即可得出．
【详解】数列满足，，
可得，
，
，
，
，数列的周期为3．
．
故选：D.
【点睛】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
7. 已知椭圆和双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】求得椭圆的离心率，双曲线的离心率为，运用离心率公式，解方程可得，再由双曲线的渐近线方程，结合直线的斜率和倾斜角关系可得所求角.
【详解】设椭圆的离心率为，则，
双曲线的离心率为，
由题意可得，
解得，
故双曲线的渐近线方程为，
可得渐近线的倾斜角分别为，，
故选：C
【点睛】双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.
8. 已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设且n ≥ 2，要为递增数列，只需在上恒成立，
当，不论取何值，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足要求；
，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足；
，若，，显然，即，不满足；
，则在上恒成立，满足.
所以为递增数列有且.
综上，“且”是“为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B
9. 在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的轨迹方程，利用两圆相交或相切的位置关系，即可求出的取值范围.
【详解】设，，
，即，
圆上存在点，使得，
所以两圆相交或相切，
，即，
.
故选：B.
10. 如图所示，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不妨令，利用勾股定理可得，根据双曲线的定义可求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出，再根据双曲线的离心率公式即可得解.
【详解】，
不妨令，
又由双曲线的定义得，
，
，
在中，，
又.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法令可计算得出，再应用二项式展开式通项公式计算可得即可求解.
【详解】因为，
令，即可得，
因为展开式中代表系数，所以的展开式中含有一次项，可得，
得，
所以.
故答案为：.
12. 当点到直线的距离最大值时，的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】直线可化为，
由点斜式方程可知直线恒过定点，且斜率为，
结合图象可知当与直线垂直时，点到直线距离最大，
此时，，
解得：．
13. 已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据条件得到数列的性质,按性质写出一个数列即可.
【详解】∵，∴数列时一个增数列；
∵，∴
∴
故答案为：（答案不唯一）
14. 等差数列的前项和为，，，则__________
【答案】
【解析】
【分析】由题意求出数列的首项和公差，继而求得数列的前项和公式，将的表达式进行裂项，再求即得.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
由题意有： ，解得 ，
数列的前n项和，
则有：，
故有 .
故答案为：.
15. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，（，）.给出下列四个结论：
①存在，使得，，成等差数列；
②存在，使得，，成等比数列；
③存在常数t，使得对任意，都有，，成等差数列；
④不存在正整数，，…，，且，使得.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③
【解析】
【分析】由第2、3、4项可判断①；观察各项的奇偶可判断②；利用递推关系得可判断③；写出斐波那契数列直接观察可判断④.
【详解】对于①，由题意得，故成等差数列，故①正确，
对于②，由递推公式可知，，中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误，
对于③，，
故当时，对任意，，，成等差数列；故③正确，
对于④，依次写出数列中的项为，
可得，故④不正确.
故答案为：①③.
三、解答题（共6题，满分85分）
16. 在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了 做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不 能脱贫户”.
（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；
（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布 列和数学期望；
（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）.
【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.
【解析】
【详解】试题分析：（1）处于100以下“”图标共5个，由古典概型可求．（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，，的可能值为0，1，2，3.
写出超几何分布列．（3）数据越集中方差越小，数据越分散方差越大，显然乙村更集中．
试题解析：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，
所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为
（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，
的可能值为0，1，2，3.从而
，，
，.
所以的分布列为：
故的数学期望.
（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.
【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小.
17. 如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.
【详解】(1)如图所示，取的中点，连结，
由于为正方体，为中点，故，
从而四点共面，即平面CDE即平面，
据此可得：直线交平面于点，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，
即点为中点.
(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，设，
则：，
从而：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
从而：，
则：，
整理可得：，故（舍去）.
【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
18. 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意过且斜率为的直线设出来，令直线方程里的求出的值，把此点代入椭圆方程，再根据的关系求解.
（2）把直线方程设出来，与椭圆联立得到关于的一元二次方程，韦达定理求出用来表示，然后把方程用表示出来，令方程里的，求出点的坐标，把三角形的面积用表示，同理的面积也用表示出来，所以用，表示，然后根据韦达定理代入化简可得.
【小问1详解】
过且斜率为的直线的方程为，
令，得，
由题意可得，解得，
椭圆E的方程为：；
【小问2详解】
由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，
，，
联立，得
，，
由，得，
，
，
直线AD的方程为，令，解得，
则，同理可得，
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.
表1
假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.
（1）试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率；
（2）设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；
（3）地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，
（3）建议农科所推广该项技术改良，理由见解析
【解析】
【分析】（1）计算出亩产量是的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（3）设增产前每亩冬小麦产量，增产后每亩冬小麦产量为，则，
设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，计算出增产的会产生增加的收益，与比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
解：由图可知，亩产量是的概率约为，
亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，
估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为
【小问2详解】
解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、，
，，
，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
.
【小问3详解】
解：建议农科所推广该项技术改良，
设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，
设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知，
所以，增产的会产生增加的收益为，
故建议农科所推广该项技术改良.
20. 已知焦点在y轴上的椭圆C：（）过点，且离心率为.设分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆上异于的一点，直线分别与直线：相交于两点，且直线与椭圆交于另一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）判断三点是否共线，并证明你的结论.
【答案】（1）
（2）共线，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条列出有关的方程组，求出的值，可得椭圆的标准方程；
（2）设点，将点的坐标代入椭圆的方程可得出与之间的关系，然后利用斜率公式，确定直线与的斜率之积为定值，设直线的方程为，可得直线的方程，与直线联立，可求出的坐标，然后求出直线的斜率，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求出点的坐标，再计算，的斜率，利用这两直线斜率相等可得结论.
【小问1详解】
根据题意得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
根据题意可知直线与的斜率都存在且不为零，，
设，则（），
则，
因为，
所以，
所以，
所以直线与的斜率之积为定值；
，，三点共线，证明如下：
设直线的方程为，
则直线的方程为，
所以，
所以，
所以设直线的方程为，
由，得，
设，则，
所以，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以，，三点共线.
21. 已知集合．对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．
（1）若，求和；
（2）若满足且，求所有可能结果；
（3）是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）、、、；
（3）存在，n的所有取值为，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据定义依次写出、即可得结果.
（2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果；
（3）由定义得，依次写出直到即可判断存在性，并确定n的所有取值.
【小问1详解】
由题意，，，，
，，，.
【小问2详解】
由且，
①，
当或1时，，
同理，或1时，，
或1时，，
或1时，，
所以①等价于，则，，
当，，则满足；
当，，则为满足，
当，，则为满足，
当，，则为满足，
综上，的所有可能结果、、、.
【小问3详解】
存在正整数n使且，理由如下：
由，则，
所以，
若，，
所以，
若，则，，，
所以，对都有，
当时，恒成立，
综上，n所有取值为使成立.
【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据已知条件及的定义依次写出结果，判断存在性并列举出结果.
明年冬小麦统一收购价格（单位：元）
概率