15.2.1线段垂直平分线的性质与判定-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

15.2.1 线段垂直平分线的性质与判定幻灯片 1：封面标题：15.2.1 线段垂直平分线的性质与判定副标题：从 “对称” 到 “等距” 的几何逻辑配图：线段 AB 及其垂直平分线 MN，标注中点 O、垂直符号及 “PA=PB” 的点 P 示意图署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：复习导入（温故知新，情境设问）一、旧知衔接轴对称图形的隐含条件（上节课核心）：轴对称图形的对称轴，必然是任意一组对应点所连线段的垂直平分线。例如等腰三角形的对称轴，就是底边的垂直平分线。线段的特殊直线：过线段中点的直线：能平分线段，但不一定垂直；垂直于线段的直线：能与线段垂直，但不一定平分。二、情境激疑生活问题：A、B 两个村庄合用一口水井，为使两村到水井的距离相等，水井应建在何处？几何追问：满足 “到 A、B 两点距离相等” 的点有什么共同特征？动手验证：在纸上画线段 AB，用圆规寻找几个到 A、B 距离相等的点，连接这些点，观察所得直线与 AB 的关系。引出主题：本节课将揭示 “到线段两端点距离相等的点” 与 “线段垂直平分线” 的内在联系，探究线段垂直平分线的性质定理、判定定理及实际应用，构建 “定义→性质→判定→应用” 的知识链条。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能掌握线段垂直平分线的定义及几何符号表示；理解并能证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理；熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法；能运用性质与判定解决线段相等、点的位置确定等几何问题。过程与方法通过 “观察猜想→推理论证→归纳定理→实践应用” 的过程，培养几何推理能力；经历 “性质与判定互逆” 的探究，理解互逆定理的逻辑关系。情感态度与价值观感受几何定理的严谨性，体会 “从特殊到一般” 的推理思想；在实际问题解决中，体会几何知识的实用价值。二、教学重难点重点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其应用；难点：性质定理与判定定理的区别与互逆关系；利用尺规作图原理理解判定定理；复杂几何问题中 “构造垂直平分线” 辅助解题的思路。幻灯片 4：知识点 1—— 线段垂直平分线的定义一、核心概念线段垂直平分线（又称 “中垂线”）：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。二、几何要素与符号表示1. 三要素对象：针对 “线段” 存在（直线、射线无垂直平分线）；条件 1：经过线段的中点（平分线段）；条件 2：与线段所在直线垂直（成 90° 角）。2. 符号表示如图，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，O 为 AB 中点，则：∵ O是AB中点，MN⊥AB ∴ MN是线段AB的垂直平分线 反之：∵ MN是线段AB的垂直平分线 ∴ O是AB中点，MN⊥AB（即AO=BO，∠AOM=∠BOM=90°） 三、定义的双重性可用于判定某直线是否为线段的垂直平分线（需同时满足 “平分” 和 “垂直”）；可用于推导性质（已知垂直平分线，可直接得 “中点” 和 “垂直” 两个结论）。幻灯片 5：知识点 2—— 线段垂直平分线的性质定理一、定理内容与推导1. 文字表述性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段的两个端点的距离相等。2. 符号表示已知：直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，O 为 AB 中点，点 P 在 MN 上。求证：PA=PB。3. 证明过程（全等三角形法）证明：∵ MN是AB的垂直平分线（已知）∴ AO=BO，∠AOP=∠BOP=90°（线段垂直平分线定义）在△AOP和△BOP中： AO=BO（已证） ∠AOP=∠BOP（已证） OP=OP（公共边）∴ △AOP≌△BOP（SAS全等判定）∴ PA=PB（全等三角形对应边相等）二、定理解读与注意“任意一点” 的含义：无论点 P 在垂直平分线的哪个位置（线段上方、下方或延长线上），结论均成立，体现定理的普遍性。定理的作用：由 “点在垂直平分线上” 直接推导出 “线段相等”，无需再通过全等证明，简化几何推理步骤。易错提醒：仅当点在 “垂直平分线” 上时，才满足 “到两端点距离相等”，若直线仅平分线段或仅垂直于线段，均不成立。三、即时小练如图，MN 是线段 AB 的垂直平分线，点 C、D 在 MN 上，若 AC=5，则 BC=；若 AD=3，则 BD=。答案：5；3（直接应用性质定理，无需计算）。幻灯片 6：知识点 3—— 线段垂直平分线的判定定理一、定理连接 C、D，直线 CD 即为线段 AB 的垂直平分线（C、D 均满足 CA=CB、DA=DB，故 CD 是垂直平分线）。二、作图步骤与示范1. 步骤拆解准备工具：直尺、圆规、铅笔、白纸；画线段 AB：确定已知线段；画弧：以 A 为圆心，R（R>1/2AB）为半径画弧，再以 B 为圆心，同半径画弧，得交点 C、D；连线：用直尺连接 C、D，标注垂直符号和中点 O。2. 关键提醒半径必须 “大于 AB 的一半”：若等于一半，两弧切于中点，无法确定直线；若小于一半，两弧无交点。两交点需在 AB 两侧：确保连线同时满足 “平分” 和 “垂直”，单侧交点会导致连线不垂直。三、作图验证用刻度尺测量：CD 过 AB 中点 O；用三角板验证：CD⊥AB，符合垂直平分线定义。幻灯片 8：知识点 5—— 综合应用（定理与作图的实战）一、应用 1：解决生活中的位置确定问题例题 1：A、B、C 三个村庄不在同一直线上，现要建一所学校，使学校到三个村庄的距离相等，确定学校的位置。解析：核心需求：找一点 O，满足 OA=OB=OC；依据定理：OA=OB→点 O 在 AB 的垂直平分线上；OB=OC→点 O 在 BC 的垂直平分线上；作图步骤：① 连接 AB、BC；② 分别作 AB、BC 的垂直平分线，交于点 O；③ 点 O 即为学校位置（由作图知 OA=OB=OC）。结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心），该点到三个顶点距离相等。二、应用 2：几何证明中的线段相等例题 2：如图，在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，求证：AD=BD=BC。解析：证明：1. ∵ MN是AB的垂直平分线（已知） ∴ AD=BD（线段垂直平分线性质定理） ∴ ∠A=∠ABD（等腰三角形等边对等角）2. ∵ AB=AC（已知） ∴ ∠ABC=∠C（等腰三角形性质） 设∠A=x，则∠ABD=x，∠ABC=∠C=(180°-x)/23. ∵ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=(180°-x)/2 - x=90°- 3x/2 （需补充条件：如∠A=36°，则∠DBC=36°=∠A，故BD=BC） ∴ AD=BD=BC（等量代换）三、应用 3：坐标系中的垂直平分线例题 3：已知线段 AB 的端点坐标为 A (-1, 2)、B (3, 2)，求 AB 的垂直平分线的函数表达式。解析：求 AB 的中点 O：横坐标 =(-1+3)/2=1，纵坐标 =(2+2)/2=2，即 O (1, 2)；分析 AB 的位置：AB 平行于 x 轴，故其垂直平分线垂直于 x 轴，为竖直直线；竖直直线过点 (1, 2)，故表达式为 x=1；验证：取直线 x=1 上一点 (1, 5)，计算到 A、B 的距离均为√[(1+1)²+(5-2)²]=√13，符合性质定理。幻灯片 9：课堂互动（探究与辨析）任务 1：定理辨析与应用小组讨论：判断下列说法是否正确，并说明理由：过线段中点的直线一定是线段的垂直平分线；垂直于线段的直线上的点，到线段两端点距离相等；若 PA=PB，QA=QB，则直线 PQ 是线段 AB 的垂直平分线。成果展示：结合定义或定理，逐一拆解错误原因，强化 “平分 + 垂直” 的双重条件认知。任务 2：尺规作图实践材料：每人一张方格纸、圆规、直尺；任务：画线段 AB，使 A (0,0)、B (4,0)；用尺规作 AB 的垂直平分线 MN；在 MN 上取一点 P (2,3)，计算 PA、PB 的长度，验证性质定理；另取一点 Q (2,-2)，重复验证，总结规律。幻灯片 10：中考真题演练（能力提升）题目 1（2024・江苏中考）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，若 BD=5，则 CD=______；若∠A=60°，AB=AC，则∠ACD=______°。解析：由垂直平分线性质得 CD=BD=5；AB=AC，∠A=60°→△ABC 是等边三角形，BC 垂直平分线平分∠ACB，故∠ACD=30°；答案：5；30。题目 2（2024・浙江中考）用尺规作图作线段 AB 的垂直平分线时，分别以 A、B 为圆心，以大于 1/2AB 的长为半径画弧，两弧交于 C、D 两点，连接 CD。则下列说法错误的是（ ）A. CD 垂直平分 AB B. 点 A、B 关于直线 CD 对称C. 直线 CD 是△ABC 的对称轴 D. 线段 CD 平分∠ACB解析：A、B、D 均由垂直平分线性质和对称定义可证；C 中△ABC 未必是轴对称图形（C 点位置不确定），故错误；答案：C。题目 3（2024・广东中考）如图，在四边形 ABCD 中，AC 垂直平分 BD，垂足为 O，求证：AB=AD，CB=CD。证明过程：证明：∵ AC垂直平分BD（已知）∴ 点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上（定义）根据线段垂直平分线的性质定理： 点A到B、D的距离相等→AB=AD； 点C到B、D的距离相等→CB=CD。∴ AB=AD，CB=CD。幻灯片 11：课堂小结与作业布置一、知识脉络梳理核心定理性质定理：垂直平分线上点→到两端点距离相等（位置→数量）；判定定理：到两端点距离相等→在垂直平分线上（数量→位置）。关键技能尺规作图：依据 “两弧交点” 找垂直平分线；应用逻辑：“证相等用性质，定位置用判定”。二、作业布置基础作业：教材习题，用尺规作线段 AB=6cm 的垂直平分线，并在其上取 3 个点，测量它们到 A、B 的距离；提升作业：在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，若△BCD 的周长为 10，BC=4，求 AB 的长；实践作业：找生活中应用线段垂直平分线的实例（如建筑图纸、道路规划），画出示意图并说明原理。【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.理解和掌握线段垂直平分线的性质；（难点）2.通过观察、实验、猜测、验证与交流等活动，初步形成数学学习的方法.（难点）学习目标思考：上节课我们学习了点关于直线成轴对称的知识，那从图形的角度看，线段是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴会是什么样的线呢？答：如果两个点所连线段被某条直线垂直平分，那么这两个点关于这条直线成轴对称.这说明线段是轴对称图形，这条线段的垂直平分线是它的对称轴.新课导入 如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．P1A ____P1BP2A ____ P2BP3A ____ P3B＝＝＝探究发现线段垂直平分线的性质新课讲解猜想：点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等． 猜测：线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？新课讲解已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上．求证：PA = PB．证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又 AC = BC，PC = PC，∴ △PCA≌△PCB (SAS)．∴ PA = PB．验证结论：新课讲解线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离_____.相等几何表达：如果 l⊥AB，AC = BC，那么对 l 上任意一点 P，有 PA = PB.知识要点例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．17.5 cm例题讲解解析：∵ △DBC 的周长为 BC＋BD＋CD ＝ 35 cm，又 DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.∵ AC＝AD＋CD＝20 cm，∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．例题讲解练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3B图①新课讲解2.如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .10 cm新课讲解例2 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) AD＝FC；(2) AB＝BC＋AD.解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADE＝∠FCE，再根据 E 是 CD 的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质证得结论；(2) 先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BF，再结合 (1) 即可得证．例题讲解证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE.又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD.(2) ∵△ADE≌△FCE，∴ AE＝FE.又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴ AB＝FB＝BC＋FC.∵ AD＝FC，∴ AB＝BC＋AD.例题讲解定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.逆命题到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.它是真命题吗？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定新课讲解已知：PA = PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.证明：作 PC⊥AB，垂足为 C.∴ ∠ACP =∠BCP = 90°.在Rt△ACP 和 Rt△BCP 中，∴ Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）.∴ AC = BC.∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.PA = PB，PC = PC，lC新课讲解到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．应用格式：∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.定理：要点归纳1. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合有 　　　种.无数课堂练习2. 下列说法：① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点， 则 EA＝EB，PA＝PB；② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB；③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点；④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB．其中正确的有 (填序号).①②③课堂练习3.已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC， AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.求证：AO = BO.证明： ∵ AC = BC，AD = BD，∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线.又∵AB 与 CD 相交于点 O，∴ AO = BO.∴点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.课堂练习4. 如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，试说明 AD 与 EF 的关系.解：∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.又∵ AD＝AD，∴△ADE≌△ADF(AAS). ∴ AE＝AF，DE＝DF.∴ A、D 均在线段 EF 的垂直平分线上， 即直线 AD 垂直平分线段 EF.课堂练习知识点1 线段的垂直平分线的性质（第1题） C  返回（第2题） CA. 7 B. 8 C. 10 D. 12 返回（第3题）      返回知识点2 线段的垂直平分线的判定 A（第4题）   返回 B   返回 BA. 2.5 B. 5 C. 10 D. 25 返回   返回线段的垂直平分的性质和判定性质到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容判定内容作用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等作用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上课堂小结必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！