15.1.3平面直角坐标系中的轴对称图形-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

15.1.3 平面直角坐标系中的轴对称图形幻灯片 1：封面标题：15.1.3 平面直角坐标系中的轴对称图形副标题：用坐标语言解读图形的对称奥秘配图：平面直角坐标系中，关于 x 轴、y 轴对称的两个三角形及对称轴标注示意图署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：复习导入（衔接旧知，引出新知）一、旧知回顾点的轴对称规律（上节课重点）：点 P (x, y) 关于 x 轴对称的点 P₁坐标为 (x, -y)；点 P (x, y) 关于 y 轴对称的点 P₂坐标为 (-x, y)。轴对称图形的核心特征：单个图形沿某条直线折叠后，自身两部分完全重合，对称轴垂直平分对应点所连线段。二、情境设问如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形 ABC 的顶点坐标为 A (0, 3)、B (-2, 0)、C (2, 0)，它是轴对称图形吗？对称轴是什么？若将该三角形关于 x 轴对称，得到的新图形顶点坐标有何规律？如何通过坐标直接判断一个图形是否为轴对称图形？引出主题：本节课将结合平面直角坐标系，探究轴对称图形的坐标特征、对称轴判定方法，以及图形对称变换的坐标运算，实现 “图形特征” 与 “坐标数据” 的互译。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能掌握常见轴对称图形（线段、等腰三角形、矩形等）在坐标系中的坐标特征；能根据图形顶点坐标判断其是否为轴对称图形，并确定对称轴；熟练进行轴对称图形的坐标变换（关于 x 轴、y 轴对称），能画出对称后的图形；理解 “坐标规律” 与 “图形对称性质” 的内在联系。过程与方法通过 “观察坐标→总结规律→验证特征→应用计算” 的过程，培养数形结合思想；经历 “特殊图形到一般图形” 的探究，提升归纳推理能力。情感态度与价值观感受坐标语言的简洁性与严谨性，体会数学知识的内在逻辑；在图形变换与坐标运算中，增强几何直观与运算能力的融合意识。二、教学重难点重点：轴对称图形的坐标特征；图形关于 x 轴、y 轴对称的坐标变换规律；难点：由复杂图形的顶点坐标准确判断对称轴（如非坐标轴的竖直 / 水平对称轴）；数形结合思想的应用（用坐标验证图形的轴对称性）；多对称轴图形的坐标变换综合应用。幻灯片 4：知识点 1—— 常见轴对称图形的坐标特征一、基础图形的坐标特征（以坐标轴为对称轴）1. 线段（轴对称图形，对称轴为线段垂直平分线）示例：线段 AB 的端点坐标为 A (-1, 2)、B (3, 2)，则：线段中点坐标为 ((-1+3)/2, (2+2)/2) = (1, 2)；对称轴为垂直于 AB 的直线（因 AB 平行于 x 轴，故对称轴为竖直直线 x=1）；坐标特征：两端点的纵坐标相等，对称轴为过中点且垂直于线段的直线。2. 等腰三角形（轴对称图形，对称轴为底边垂直平分线）示例：等腰△ABC 的顶点坐标为 A (0, 4)、B (-2, 0)、C (2, 0)，则：底边 BC 的中点坐标为 (0, 0)；对称轴为 y 轴（直线 x=0），恰好是底边 BC 的垂直平分线；坐标特征：两腰端点（B 与 C）关于对称轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等。3. 矩形（轴对称图形，有两条对称轴）示例：矩形 ABCD 的顶点坐标为 A (1, 3)、B (1, 1)、C (5, 1)、D (5, 3)，则：对称轴 1：过 AD、BC 中点的直线 x=3（竖直方向）；对称轴 2：过 AB、CD 中点的直线 y=2（水平方向）；坐标特征：对边端点的横 / 纵坐标呈对称分布，对称轴为两组对边中点连线。二、特征总结若图形对称轴为y 轴（直线 x=0），则对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；若图形对称轴为x 轴（直线 y=0），则对称点的纵坐标互为相反数，横坐标相等；若图形对称轴为竖直直线 x=a，则对称点的横坐标满足 “x₁ + x₂ = 2a”，纵坐标相等；若图形对称轴为水平直线 y=b，则对称点的纵坐标满足 “y₁ + y₂ = 2b”，横坐标相等。幻灯片 5：知识点 2—— 轴对称图形的坐标变换规律一、图形关于坐标轴的对称变换1. 关于 x 轴对称的变换规律核心法则：图形上所有顶点的横坐标不变，纵坐标变为其相反数；推导依据：点关于 x 轴对称的坐标规律（上节课知识），图形由点组成，故整体变换遵循点的规律；符号表示：若原图形顶点为 P (x, y)，对称后顶点为 P₁(x, -y)。2. 关于 y 轴对称的变换规律核心法则：图形上所有顶点的纵坐标不变，横坐标变为其相反数；推导依据：点关于 y 轴对称的坐标规律；符号表示：若原图形顶点为 P (x, y)，对称后顶点为 P₂(-x, y)。二、变换示例（等腰三角形的对称变换）例题 1：已知等腰△ABC 的顶点坐标为 A (0, 3)、B (-1, 0)、C (1, 0)，分别画出其关于 x 轴、y 轴对称的图形，并写出对称图形的顶点坐标。解析：关于 x 轴对称的△A₁B₁C₁：A₁(0, -3)（横坐标不变，纵坐标取反）；B₁(-1, 0)（纵坐标为 0，取反后仍为 0）；C₁(1, 0)（同理）；关于 y 轴对称的△A₂B₂C₂：A₂(0, 3)（横坐标为 0，取反后仍为 0）；B₂(1, 0)（横坐标取反，纵坐标不变）；C₂(-1, 0)（同理）。结论：等腰三角形对称后仍为等腰三角形，对称轴也随之对称。幻灯片 6：知识点 3—— 由坐标判断轴对称图形及对称轴一、判断方法与步骤步骤 1：列出图形所有顶点坐标；步骤 2：寻找对称点（观察是否存在两两对应的点，满足对称坐标规律）；步骤 3：确定对称轴（根据对称点的坐标规律，推导对称轴方程）；步骤 4：验证（检查所有点是否均满足对称关系，且图形沿对称轴折叠后重合）。二、典型例题（复杂图形的判断）例题 2：已知四边形 ABCD 的顶点坐标为 A (2, 3)、B (4, 1)、C (2, -1)、D (0, 1)，判断该四边形是否为轴对称图形，若是，求出对称轴。解析：列坐标：A(2, 3)、B(4, 1)、C(2, -1)、D(0, 1)；找对称点：B (4, 1) 与 D (0, 1)：横坐标 4+0=4，纵坐标相等，满足 “x₁+x₂=2a”（2a=4→a=2）；A (2, 3) 与 C (2, -1)：横坐标均为 2，纵坐标 3+(-1)=2，满足 “y₁+y₂=2b”（2b=2→b=1）；定对称轴：由 B 与 D 对称，得对称轴可能为 x=2；验证 A 与 C：横坐标均为 2，在直线 x=2 上（自身对称），符合要求；结论：该四边形是轴对称图形，对称轴为直线 x=2。三、易错提醒若图形只有部分点对称，整体不满足对称关系，则不是轴对称图形；对称轴可能是竖直直线（x=a）、水平直线（y=b），也可能是斜线（初中阶段暂不深入），需根据坐标规律精准判断。幻灯片 7：知识点 4—— 坐标与轴对称的综合应用一、应用 1：设计轴对称图案（坐标法）任务：在平面直角坐标系中设计一个关于 y 轴对称的花朵图案，写出关键顶点坐标。设计思路：先确定对称轴为 y 轴（x=0）；在 y 轴右侧设计半个花朵的顶点坐标：如 (1, 2)、(2, 1)、(3, 2)、(2, 3)；依据 y 轴对称规律，写出左侧对称点坐标：(-1, 2)、(-2, 1)、(-3, 2)、(-2, 3)；画图步骤：描出所有对称点，按顺序连接，形成完整花朵图案。二、应用 2：利用对称求未知点坐标例题 3：已知△ABC 是关于 x 轴对称的轴对称图形，顶点 A (3, 4)、B (5, 1)，求顶点 C 的坐标。解析：分情况讨论对称轴：情况 1：若 A 与 B 关于 x 轴对称，则 B 的对称点应为 (5, -1)，但 A (3,4)≠(5,-1)，故排除；情况 2：若 A 与 C 关于 x 轴对称，则 C 的坐标为 (3, -4)，验证 B (5,1)：自身关于 x 轴对称点为 (5,-1)，不在已知点中，故 B 在对称轴上？不，B 的纵坐标为 1≠0，不在 x 轴上；情况 3：若 B 与 C 关于 x 轴对称，则 C 的坐标为 (5, -1)，验证 A (3,4)：自身关于 x 轴对称点为 (3,-4)，不在已知点中，故 A 在对称轴上？A 的纵坐标为 4≠0，不在 x 轴上；修正：题目中 “关于 x 轴对称的轴对称图形” 即对称轴为 x 轴，故所有对称点需关于 x 轴对称。已知 A (3,4) 的对称点必在图形上，故 C 为 (3, -4)，此时△ABC 的顶点为 (3,4)、(5,1)、(3,-4)，检查是否为轴对称图形：A 与 C 关于 x 轴对称，对称轴为 x 轴，符合要求。答案：C(3, -4)。三、应用 3：中考常见题型（坐标与对称的融合）例题 4：在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O (0,0)、A (4,0)、B (4,2)、C (0,2)，将矩形沿直线 x=1 折叠，求折叠后点 B 的对应点坐标。解析：对称轴为 x=1，设点 B (4,2) 的对应点为 B'(x, 2)（因折叠前后纵坐标不变）；根据对称轴性质：(4 + x)/2 = 1（对称点横坐标之和的一半等于对称轴横坐标）；解得 x=2×1 - 4 = -2；答案：B'(-2, 2)。幻灯片 8：课堂互动（分组探究与实践）任务 1：坐标判断与验证材料：方格纸、坐标系模板、铅笔；任务：给出四边形顶点坐标：A (-3, 2)、B (-1, 4)、C (3, 4)、D (1, 2)；小组讨论：该四边形是否为轴对称图形？若是，对称轴是什么？验证方法：① 列表写出各点的对称点；② 计算对称轴方程；③ 在方格纸上画图验证；展示成果：说明判断依据与验证过程。任务 2：图形变换与创作任务：在坐标系中画一个顶点为 A (1, 1)、B (3, 2)、C (2, 4) 的三角形；分别画出该三角形关于 x 轴、y 轴对称的图形，标注对应顶点坐标；观察原图形与两个对称图形组成的新图形，判断其是否为轴对称图形，对称轴有几条？幻灯片 9：中考真题演练（综合提升）题目 1（2024・山东中考）在平面直角坐标系中，点 A (2, -3) 关于 y 轴的对称点为点 B，点 B 关于 x 轴的对称点为点 C，则点 C 的坐标为（ ）A. (2, 3) B. (-2, 3) C. (-2, -3) D. (2, -3)解析：点 A (2,-3) 关于 y 轴对称→B (-2,-3)；点 B (-2,-3) 关于 x 轴对称→C (-2,3)；故选 B。题目 2（2024・湖北中考）已知△ABC 的顶点坐标为 A (-1, 2)、B (3, 2)、C (1, 4)，求证：△ABC 是等腰三角形且为轴对称图形。证明过程：证明：1. 计算边长： - AB的长度：√[(3 - (-1))² + (2 - 2)²] = √16 = 4； - AC的长度：√[(1 - (-1))² + (4 - 2)²] = √(4 + 4) = √8 = 2√2； - BC的长度：√[(1 - 3)² + (4 - 2)²] = √(4 + 4) = √8 = 2√2；2. 判定等腰三角形： ∵ AC = BC = 2√2， ∴ △ABC是等腰三角形；3. 判定轴对称图形： ∵ AC = BC，故对称轴为底边AB的垂直平分线； 又∵ AB的中点坐标为((-1+3)/2, (2+2)/2) = (1, 2)，AB平行于x轴， ∴ 对称轴为直线x=1； 验证顶点C(1,4)在直线x=1上（自身对称），符合轴对称图形特征。 ∴ △ABC是轴对称图形。题目 3（2024・四川中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A (1, 1)，B (1, 3)，C (3, 3)，则顶点 D 的坐标为______，该正方形的对称轴有______条。解析：正方形对边平行且相等，A (1,1) 与 B (1,3) 竖直相邻，B (1,3) 与 C (3,3) 水平相邻，故 D (3,1)；正方形对称轴有 4 条：直线 x=2、y=2、y=x、y=-x+4；答案：(3,1)；4。幻灯片 10：课堂小结与作业布置一、知识梳理核心规律：点关于 x 轴对称：(x,y)→(x,-y)；关于 y 轴对称：(x,y)→(-x,y)；轴对称图形的坐标特征：对称点满足 “横 / 纵坐标和为定值”（对应对称轴）。关键能力：由坐标判图形：找对称点→定对称轴→验证；由图形变坐标：按点的变换规律推导整体坐标。二、作业布置基础作业：教材习题，写出点 (2,-5) 关于 x 轴、y 轴的对称点坐标；画出△A (2,1)、B (1,3)、C (3,2) 关于 y 轴的对称图形。提升作业：已知△ABC 是关于直线 x=2 对称的轴对称图形，A (0,3)、B (3,1)，求 C 点坐标。实践作业：在坐标系中设计一个含两条对称轴的图案，标注顶点坐标并说明对称特征。【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 探究在平面直角坐标系中关于 x 轴和 y 轴对称点的坐标特点.（重点）2. 能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于 x 轴和 y 轴的对称图形.（重点）3. 能运用坐标系中的轴对称特点解决简单的问题.（难点）学习目标 一位外国游客在天安门广场问小明询问西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就准确的告诉了他，你能猜到小明是怎么做的吗？新课导入 右图是老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系. 根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？新课导入用坐标表示轴对称思考 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(3，1)，C(3，3)，D(1，3).新课讲解(1)分别作出点 A，B，C，D关于 x 轴对称的对应点A1，B1，C1，D1；分别作出点A，B，C，D关于 y 轴对称的对应点 A2，B2，C2，D2；D1D2A1B1C1A2B2C2新课讲解1.关于 x 轴对称的点的坐标的特点是：2.关于 y 轴对称的点的坐标的特点是：（横轴横相等）（纵轴纵相等）横坐标相等，纵坐标互为相反数.横坐标互为相反数，纵坐标相等. 一般地，已知点 P 的坐标为 P (x，y)，则它关于 x 轴对称的点的坐标为 P1( __ , __ )，它关于 y 轴对称的点的坐标为P2 ( __ , __ ). -y-x x y要点归纳A1(1,-1)B1(3,-1)C1(3,-3)D1(1,-3)A2(-1,1)B2(-3,1)C2(-3,3)D2(-1,3)关于 x 轴对称的点的坐标关于 y 轴对称的点的坐标 观察下表指出已知点与它关于 x 轴对称的点的坐标有什么关系? 已知点与它关于 y 轴对称的点的坐标又有什么关系呢?(2)填写下表：新课讲解1. 点 P(-5，6) 与点 Q 关于 x 轴对称，则点 Q 的坐标为__________.2. 点 M(a，-5) 与点 N(-2，b) 关于 x 轴对称，则 a =___， b =___.(-5，-6)-253. 点 P(-5，6) 与点 Q 关于 y 轴对称，则点 Q 的坐标 为__________.4. 点 M(a，-5) 与点 N(-2，b) 关于 y 轴对称， 则 a =_____， b =_____.( 5，6 )2-5新课讲解例1 如图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-5，1)，B(-2，1)，C(-2，5)，D(-5，4)，分别画出与四边形ABCD 关于 y 轴和 x 轴对称的图形.CABD新课讲解 对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形.在坐标系中作已知图形的对称图形(一找二描三连）要点归纳平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A (0，4)，B (2，4)，C (3，－1).（1）试在平面直角坐标系中，标出 A、B、C 三点；（2）若△ABC 与△A'B'C' 关于 x 轴对称，画出△A'B'C'，并写出 A'、B'、C' 的坐标.针对训练：新课讲解A(0，4)B(2，4)C (3，-1)A' (0，-4)B'(2，-4)C'(3，1)解：如图所示：11-1-1新课讲解例2 已知点 A (2a－b，5＋a)，B (2b－1，－a＋b)．(1) 若点 A、B 关于 x 轴对称，求 a、b 的值；(2) 若 A、B 关于 y 轴对称，求 (4a＋b)2026 的值．解：(1) ∵ 点 A、B 关于 x 轴对称，∴ 2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0.解得 a＝－8，b＝－5. (2) ∵ A、B 关于 y 轴对称，∴ 2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b.解得 a＝－1，b＝3.∴ (4a＋b)2026 ＝ 1.新课讲解例3 已知点 P (a＋1，2a－1)关于 x 轴的对称点在第一象限，求 a 的取值范围．解：依题意得 P 点在第四象限，方法总结：解决此类题，一般先根据点的坐标关于坐标轴对称，判断出点或对称点所在的象限，再由各象限内坐标的符号，列不等式 (组) 求解．新课讲解1.平面直角坐标系内的点 A(-1，2) 与点 B(-1，-2) 关于（　　）A．y 轴对称 B．x 轴对称 C．原点对称 D．直线 y＝x 对称 2.在平面直角坐标系中，将点 A(-1，2) 向右平移 3 个单位长度得到点 B，则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是（　　）A．(-4，-2) B．(2，2)C．(-2，2） D．(2，-2) DB 课堂练习3. 设点 M（x，y）在第二象限，且 | x | = 2，| y | = 3，则点 M 关于 y 轴的对称点的坐标是（　　）A．（2，3） B．（-2，3） C．（-3，2） D．（-3，-2） A4. 如图，点 P（-1，2）关于过点（1，0）且垂直于 x 轴的直线 l 对称的点的坐标为（　　）A．（1，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2） C 课堂练习5.已知点 P(2a + b，-3a) 与点 P′(8，b + 2).若点 P 与点 P′ 关于 x 轴对称，则 a =___， b =____.若点 P 与点 P′ 关于 y 轴对称，则 a =____ ，b =____.246-206.若| a - 2 | + (b - 5)2 = 0，则点 P(a，b) 关于 x 轴对称的点的坐标为________.(2，-5)课堂练习7.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-3，5)，B(-4，1)，C(-1，3)，作出△ABC 关于 y 轴对称的图形.解：点 A(-3，5)，B(-4，1)，C(-1，3)，关于 y 轴的对称点分别为A′(3，5)，B′(4，1)，C′(1，3).依次连接 A′B′，B′C′，C′A′，就得到△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′.B′A′C′x y 课堂练习8.已知点 A(2a + b，-4)，B(3，a - 2b)关于 x 轴对称，求点 C(a，b) 在第几象限？解：∵ 点 A(2a + b，-4)，B(3，a - 2b) 关于 x 轴对称，∴ 2a + b = 3，a - 2b = 4， 解得 a = 2，b = -1．∴ 点 C(2，-1) 在第四象限．课堂练习拓展提升 9.在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位称为 1 次变换．如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别是(-1，-1)、(-3，-1)，把正方形 ABCD 经过连续7次这样的变换得到正方形 A′B′C′D′，求 B 的对应点 B′ 的坐标.课堂练习解：根据题意，点 B 的坐标是 (-3，-1)，∴ 第 1 次变换后的点 B 的对应点的坐标为 (-3 + 2，1)，即 (-1，1)；第 2 次变换后的对应点坐标为 (-1 + 2，-1)，即 (1，-1)；第 3 次变换后的对应点坐标为 (1 + 2，1)，即 (3，1)；…第 n 次变换后的点 B 的对应点的坐标：当 n 为奇数时为 (2n - 3，1)，当 n 为偶数时为 (2n - 3，-1).∴ 把正方形 ABCD 经过连续 7 次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，则点 B 的对应点 B′ 的坐标是 (11，1).课堂练习知识点1 关于x轴对称的点的坐标 D  返回   返回知识点2 关于y轴对称的点的坐标（第3题） C  返回（第4题） A  返回易错点 混淆轴对称点的横、纵坐标的变化特征导致出错   返回 B  返回  轴对称的坐标表示关于坐标轴对称的点的坐标特征在坐标系中作已知图形的对称图形关于 x 轴对称，横同纵反；关于 y 轴对称，横反纵同关键要明确点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律，然后正确描出对称点的位置课堂小结必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！