11.1.3用方位角和距离表示位置 -2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：11.1.3 用方位角和距离表示位置学科：数学年级：八年级上册版本：沪科版幻灯片 2：情境引入内容 1：周末，小明和爸爸去郊外露营。爸爸用指南针定位时说：“我们现在的位置，距离前方那棵老槐树大约 200 米，老槐树在我们的北偏东 30° 方向。” 小明疑惑：只说 “北偏东 30°” 或只说 “距离 200 米”，能准确找到老槐树吗？内容 2：海上救援中，救援船接收到求救信号后，工作人员报告：“求救船只在我船的南偏西 45° 方向，距离约 8 海里。” 如果只知道方位或只知道距离，能快速找到求救船只吗？提问：结合以上两个例子，思考 “确定平面内一个点的位置，需要几个要素”？今天我们就来学习用 “方位角和距离” 表示位置的方法。幻灯片 3：合作探究（认识方位角）问题 1：在平面内，如何描述 “方向”？我们常用的 “东、南、西、北” 四个基本方向称为 “正方向”，请在图中（给出含正方向的平面示意图）标出这四个方向。问题 2：当方向不在正方向上时，如何准确描述？比如 “北偏东”“南偏西” 是什么意思？定义讲解：以正北或正南方向为基准，描述物体偏离正北或正南的角度，这种表示方向的角叫做方位角。例 1：“北偏东 30°”：以正北方向为始边，向东旋转 30° 所指的方向（结合示意图标注）。例 2：“南偏西 45°”：以正南方向为始边，向西旋转 45° 所指的方向（结合示意图标注）。注意事项：方位角的基准只能是 “正北” 或 “正南”，不能是 “正东” 或 “正西”（如不能说 “东偏北 30°”，需表述为 “北偏东 60°”）。方位角的角度范围是 0°~90°（偏离正北或正南的角度不会超过 90°）。幻灯片 4：合作探究（方位角的规范表示）问题 1：观察下列方向描述，判断是否规范，若不规范请改正：（1）“东偏南 20°”；（2）“北偏西 95°”；（3）“南偏东 40°”。解析：（1）不规范，基准应为 “正南”，改正为 “南偏东 70°”（90°-20°=70°）。（2）不规范，角度超过 90°，改正为 “南偏西 85°”（180°-95°=85°，以正南为基准）。（3）规范，符合 “正南为基准，向东偏 40°” 的要求。问题 2：特殊方位角 ——“东北方向”“西北方向”“东南方向”“西南方向” 分别对应多少度的方位角？结论：均为 “偏 45°”，即东北方向 = 北偏东 45°，西北方向 = 北偏西 45°，东南方向 = 南偏东 45°，西南方向 = 南偏西 45°。幻灯片 5：概念总结（用方位角和距离表示位置）核心要素：确定平面内一个点的位置，需要两个关键要素 ——方位角和距离（二者缺一不可）。表示方法：通常表述为 “点 A 在点 B 的 × 偏 ××° 方向，距离点 B× 单位长度处”。示例：如图（给出平面示意图，标注点 O 为观测点，点 P 为目标点），点 P 在点 O 的北偏东 60° 方向，距离点 O5cm 处，即可唯一确定点 P 的位置。思考：若只知道 “点 P 在点 O 的北偏东 60° 方向”，能确定点 P 的位置吗？（不能，点 P 可能在该方向上的任意一点）；若只知道 “点 P 距离点 O5cm”，能确定点 P 的位置吗？（不能，点 P 可能在以 O 为圆心、5cm 为半径的圆上任意一点）。幻灯片 6：练一练（方位角判断与描述）题目 1：根据下图（含观测点 O 和三个目标点 A、B、C 的示意图），描述各点相对于 O 点的方向：（1）点 A：；（2）点 B：；（3）点 C：______。答案预设：（1）北偏西 30°；（2）南偏东 50°；（3）正北方向（或北偏东 0°）。题目 2：小明站在学校门口，体育馆在他的南偏西 30° 方向，距离约 400 米。请用文字描述学校门口相对于体育馆的位置（提示：方向相反，角度不变，距离不变）。答案：学校门口在体育馆的北偏东 30° 方向，距离约 400 米处。幻灯片 7：典例精析（例 1）题目：如图（给出平面示意图，观测点为灯塔 O，A、B 两船的位置标注：A 船在 O 的北偏东 40° 方向，距离 O8 海里；B 船在 O 的南偏西 60° 方向，距离 O10 海里），根据图中信息，完成下列问题：描述 A 船相对于灯塔 O 的位置；描述 B 船相对于灯塔 O 的位置；若灯塔 O 到港口 C 的距离为 12 海里，且 C 在 O 的东北方向，在图中画出港口 C 的位置。解析：结合方位角和距离的定义，A 船在灯塔 O 的北偏东 40° 方向，距离 O8 海里处。B 船在灯塔 O 的南偏西 60° 方向，距离 O10 海里处。画港口 C 的步骤：①以 O 为基准，画北偏东 45°（东北方向）的射线；②以 O 为圆心，12 海里对应的图上距离为半径画弧，与射线的交点即为 C 点。答案：A 船在灯塔 O 的北偏东 40° 方向，距离 8 海里处；B 船在灯塔 O 的南偏西 60° 方向，距离 10 海里处；（图略，按步骤画出即可）。幻灯片 8：典例精析（例 2）题目：某军事演习中，指挥部（点 M）观测到两个目标点 P 和 Q：目标 P 在 M 的北偏东 30° 方向，距离 M15km；目标 Q 在 M 的南偏东 60° 方向，距离 M10km。求 P、Q 两点之间的距离（可结合直角三角形知识求解，示意图中∠PMQ 为 90°）。解析：先确定∠PMQ 的度数：由方位角可知，∠P MN（N 为正北方向）=30°，∠Q MS（S 为正南方向）=60°，因为正北与正南垂直（∠NMS=90°），所以∠PMQ=180°-30°-60°=90°，即△PMQ 为直角三角形。已知直角边 PM=15km，QM=10km，根据勾股定理，PQ=√(PM²+QM²)=√(15²+10²)=√(225+100)=√325=5√13≈18.03km。答案：P、Q 两点之间的距离为 5√13 km（或约 18.03km）。幻灯片 9：典例精析（例 3）题目：如图（给出社区平面图，观测点为社区中心 O，超市 A 在 O 的北偏西 40° 方向，距离 O600 米；医院 B 在 O 的南偏东 40° 方向，距离 O800 米），判断 A、O、B 三点是否在同一条直线上，并说明理由。解析：分析方位角的位置关系：超市 A 在 O 的北偏西 40°，医院 B 在 O 的南偏东 40°。计算∠AOB 的度数：以 O 为中心，正北与正南为一条直线（180°），A 偏离正北向西 40°，B 偏离正南向东 40°，则∠AOB=40°+180°-40°？不，重新分析：北偏西 40° 与正南方向的夹角为 90°+40°=130°，南偏东 40° 与正南方向的夹角为 40°，所以∠AOB=130°+40°=170°？不对，正确方法：北偏西 40° 的射线与正南方向的夹角是 90°+40°=130°，南偏东 40° 的射线与正南方向的夹角是 40°，且两条射线分别在正南方向的两侧，所以∠AOB=130°+40°=170°≠180°，因此 A、O、B 三点不在同一直线上？或重新画图：北偏西 40° 是从正北向西转 40°，南偏东 40° 是从正南向东转 40°，两条射线的夹角为 40°（北偏西到正北）+90°（正北到正南）+40°（正南到南偏东）=170°，确实不在同一直线。若题目中 A 为北偏西 50°，B 为南偏东 50°，则夹角为 50°+90°+50°=190°，不对，应为 180°-（50°+50°）=80°？此处需结合准确示意图，核心是通过方位角计算两射线的夹角，判断是否为 180°。答案：A、O、B 三点不在同一条直线上，理由：由方位角计算得∠AOB=170°≠180°（具体度数需结合图中准确角度，此处以示例角度为准）。幻灯片 10：练一练（综合应用）题目 1：如图（观测点为学校 O，图书馆 A 在 O 的北偏东 35° 方向，距离 O500 米；书店 B 在 O 的南偏西 35° 方向，距离 O700 米），求 A、B 两点之间的最短距离（提示：判断 A、O、B 是否共线）。解析：北偏东 35° 与南偏西 35° 的射线在同一直线上（夹角为 180°），所以 A、O、B 共线，AB=AO+OB=500+700=1200 米。答案：1200 米。题目 2：小明从家出发，先向正东走 200 米到超市，再从超市向正北走 150 米到学校。若以学校为观测点，描述小明家的位置。解析：先确定家、超市、学校的位置关系（直角三角形，直角在超市），计算学校到家的距离：√(200²+150²)=250 米；再确定方位角：以学校为基准，正南方向为始边，向西旋转的角度 θ，tanθ=200/150=4/3，θ≈53°，所以家在学校的南偏西约 53° 方向，距离 250 米处。答案：小明家在学校的南偏西约 53° 方向，距离 250 米处。幻灯片 11：课堂小结内容 1：方位角的定义与规范表示：基准：正北或正南方向；表示：× 偏 ××°（角度 0°~90°）；特殊方向：东北 = 北偏东 45°，西北 = 北偏西 45°，东南 = 南偏东 45°，西南 = 南偏西 45°。内容 2：用方位角和距离表示位置的核心：两个要素：方位角（确定方向）、距离（确定远近）；表述格式：“点 A 在点 B 的 × 偏 ××° 方向，距离 × 单位长度处”。内容 3：实际应用技巧：画示意图：根据方位角和距离画出位置关系，辅助分析；角度计算：通过方位角求两射线的夹角，判断点的共线或三角形关系；方向反向：若点 A 在点 B 的 × 偏 ××° 方向，距离 d，则点 B 在点 A 的 “反方向”（如北偏东→南偏西），角度不变，距离 d。幻灯片 12：课后作业题目 1：根据下图（给出观测点 O 和目标点 C、D 的示意图），写出 C、D 两点相对于 O 点的位置；再以 C 为观测点，描述 O 点的位置。题目 2：一艘渔船从港口出发，向正东航行 3 小时后，转向北偏东 30° 方向航行 2 小时，已知渔船每小时航行 20 海里。若以港口为观测点，求渔船现在的位置（用方位角和距离表示）。题目 3：在平面内，点 P 在点 Q 的北偏东 60° 方向，距离 Q5cm；点 R 在点 Q 的南偏东 30° 方向，距离 Q6cm。求△PQR 的周长（提示：先判断△PQR 的形状）。题目 4：生活中还有哪些场景会用到 “方位角和距离” 表示位置？请举例说明，并尝试用数学语言描述该场景中的位置关系。【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 新知探究知识点1 用方向和距离表示地理位置 如图，A 处有一艘遇险船，距离遇险船 50 n mile的 B 处有一艘救生船. 遇险船向海事部门发出求救信号后，海事部门向救生船发出救援指示：南偏西 60° 方向 50 n mile 处有遇险船，请前往救援.知识要点 南偏西 60° 方向 50 n mile是一种表示地理位置的方法，其中“南偏西 60°”表示一个物体相对于另一个物体的方向的角，叫作方位角. “50 n mile”表示两个物体之间的距离. 方位角一般是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向线作为起始方向旋转到目标的方向所成的角（一般指锐角）来描述，通常表达成北偏东 XX 度、北偏西 XX 度、南偏东 XX 度、南偏西 XX 度．若所成角为 45° 时，也可以说成“东北方向”“西北方向”“东南方向”“西南方向”.1. 说说上面确定两物体之间相对位置的方法包含了哪些要素？2. 用上面的方法描述救生船 B 相对于遇险船 A 的位置.方位角和距离救生船在遇险船的北偏东 60° 方向 50 n mile 处.思考：例4 如图是小明家和学校所在地的平面位置示意图，其中点 O 表示小明家，点 A，B，C，P 分别表示学校、商场、公园和停车场. 已知 OA = 2 km，OB = 3.5 km，OP = 4 km，点 C 为 OP 的中点. 回答下列问题： （1）学校、商场、公园、停车场中哪些到小明家的距离相同？（2）由图可知，公园在小明家南偏东 60° 方向 2 km处. 请描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置.（2）由图可知，学校在小明家东北方向 2 km 处，商场在小明家北偏西 30° 方向 3.5 km 处，停车场在小明家南偏东 60° 方向 4 km 处. 如图，货轮与灯塔相距 40 n mile，如何用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置？反过来，如何用方向和距离描述货轮相对于灯塔的位置？北50°解：(1)灯塔在货轮南偏东50°方向，相距40 n mile处； (2)货轮在灯塔北偏西50°方向，相距40 n mile处. 针对训练知识点2 利用经纬度表示地理位置思考：在地球上如何确定城市的位置？ 在地球上有横线和竖线，连接两极点的竖线圈叫经线，垂直于经线的横线圈为纬线.根据经纬线可以确定地球上任何一点的正确位置.如：北京在北纬 39.9°，东经116.3°.2021年7月26日中央气象台发布了一则台风消息，如图所示.确定台风中心位置根据上面的报道，解答下列问题：(1) 7 月 26 日 5:00，台风中心位置在哪里？请在下图中标示出来．你是根据报道中哪条信息确定的？台风“烟花”的中心位于浙江平湖与上海金山交界处东南方大约 25 km 的杭州湾水面上，就是北纬 30.5°、东经 121.4°（2）确定平面内点的位置，除了利用平面直角坐标系外还有哪些方法？方位角和距离 ，经纬度 .行列 ，根据下列表述，能确定准确位置的是( )A. 影城 3 号厅 2 排B. 经十路中段C. 南偏东 40°D. 东经 117°，北纬 36°D针对训练1.在如图所示的象棋棋盘上建立合适的平面直角坐标系，若“将”位于点 (1，-2)，“炮”位于点(-2，1)，则“象”可能位于点 ( ).(A) (-1， 1) (B) (-1，2)(C) (3， -2) (D) (-2，2)C【选自教材P11习题11.1 第1题】2.如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：A(1，4)，B(3，-2)，C(-3，-2)，D(-1，4). 描好后，再把各点用线段依次连接起来 (最后一个点与第一个点连接起来)，看看你得到了什么图形.【选自教材P11习题11.1 第2题】解：如图所示，最后得到的图形是一个等腰梯形.3.如图，先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置.解：如图建立平面直角坐标系，则各点坐标分别为：E(0，0)，A(3，4)，C(3，1)，D(5，0)，B(9，3)，H(1，-2)，G(4，-5)，F(7，-1). (答案不唯一)【选自教材P12习题11.1 第3题】4.若 a