12.1.1函数及其概念 -2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：12.1.1 认识函数学科：数学年级：八年级上册版本：沪科版学习目标：理解变量、常量的概念，能区分实例中的变量与常量；掌握函数的定义，明确函数中两个变量的对应关系；能根据函数定义判断两个变量是否构成函数关系，会用含自变量的式子表示函数。幻灯片 2：情境引入（生活中的变量关系）内容 1：汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t 小时，行驶的路程为 s 千米。思考：当 t=1 时，s=；当 t=2 时，s=；当 t=3.5 时，s=______。在这个过程中，哪些量是固定不变的？哪些量是不断变化的？内容 2：电影院每张电影票的售价为 40 元，设某场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元。思考：当 x=100 时，y=；当 x=250 时，y=。这里的固定量和变化量分别是什么？提问：上述两个实例中，变化的量之间是否存在某种确定的对应关系？今天我们就来探究这种关系 —— 函数。幻灯片 3：合作探究（变量与常量）问题 1：分析下列实例，找出其中的变化量和固定不变的量：圆的半径为 r，圆的面积为 S（S=πr²）；一个水池有水 100m³，现以 5m³/h 的速度向水池中注水，注水时间为 t 小时，水池中的总水量为 V m³（V=100+5t）；用 10m 长的绳子围一个矩形，矩形的长为 x m，宽为 y m（y=5-x）。概念定义：变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量（如实例 1 中的 r 和 S，实例 2 中的 t 和 V）。常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如实例 1 中的 π，实例 2 中的 100 和 5）。注意事项：常量不一定是具体的数字，也可以是用字母表示的固定值（如 π）；变量包括自变量和因变量，通常主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量（如实例 2 中 t 是自变量，V 是因变量）。练一练：在 “正方形的边长为 a，正方形的周长为 C（C=4a）” 中，变量是______，常量是______。答案：变量是 a 和 C，常量是 4。幻灯片 4：合作探究（函数的定义）问题 1：观察情境引入中的两个实例，分析变化量之间的对应关系：汽车行驶问题：s=60t，对于 t 的每一个确定值，s 都有______个确定的值与之对应（如 t=2→s=120，t=3→s=180）；电影票房问题：y=40x，对于 x 的每一个确定值（x 为非负整数），y 都有______个确定的值与之对应（如 x=150→y=6000，x=300→y=12000）。问题 2：结合圆的面积公式 S=πr²，思考：对于 r 的每一个正数取值，S 是否都有唯一确定的值与之对应？函数定义：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 y 是 x 的函数，x 叫做自变量。对定义的解读：必须有两个变量（x 和 y）；对应关系要 “唯一确定”—— 一个 x 只能对应一个 y（但多个 x 可以对应同一个 y，如 y=x² 中，x=2 和 x=-2 都对应 y=4）；自变量 x 的取值通常有一定范围（如电影票数量 x 不能为负数）。幻灯片 5：函数定义的辨析与应用问题 1：判断下列变量之间是否构成函数关系：长方形的长为 x，宽为 y，面积为 20（y=20/x）；人的身高为 x，体重为 y；汽车行驶的路程为 x，行驶的速度为 y（假设路程一定，y = 路程 /x）。解析：是函数关系：对于 x 的每一个正数取值，y 都有唯一确定的值与之对应；不是函数关系：相同身高的人，体重可能不同，即一个 x 对应多个 y；是函数关系：路程固定时，对于 x 的每一个正数取值，y 都有唯一确定的值与之对应。练一练：下列关于变量 x 和 y 的关系中，y 是 x 的函数的是（ ）A. y=±x B. y=x² C. y²=x D. 不确定答案：B（A 中一个 x 对应两个 y，C 中一个 x 对应两个 y，均不符合 “唯一确定”）。幻灯片 6：函数的表示方法（解析式法）概念定义：用含自变量 x 的数学式子表示函数 y 的方法叫做解析式法（也叫关系式法），如 s=60t、y=40x、S=πr² 等。解析式的书写注意事项：通常把因变量写在等号左边，自变量及常量写在等号右边（如 y=2x+3，不写成 x=(y-3)/2）；当自变量与常量相乘时，数字通常写在前面（如 4x，不写成 x4）；当表达式是分数形式时，分母不能含自变量（或需保证分母不为 0）；当表达式是平方形式时，注意书写规范（如 x²，不写成 x^2，正式场合需用标准格式）。典例精析：例 1：写出下列函数的解析式：若一个三角形的底边长为 5，高为 h，面积为 S，求 S 关于 h 的函数解析式；购买单价为 2 元的笔记本，购买数量为 n 本，付款金额为 w 元，求 w 关于 n 的函数解析式。解析：三角形面积公式 S=× 底 × 高，底为 5，故 S=×5×h=2.5h（或 S=h）；付款金额 = 单价 × 数量，单价为 2，故 w=2n。答案：1. S=2.5h（h>0）；2. w=2n（n 为非负整数）。幻灯片 7：典例精析（函数的定义与解析式应用）例 2：已知函数 y=2x-3，回答下列问题：当 x=0 时，求 y 的值；当 y=5 时，求 x 的值；当 x 从 1 增加到 3 时，y 的值从多少变化到多少？解析：把 x=0 代入解析式，y=2×0-3=-3；把 y=5 代入解析式，得 5=2x-3，解得 2x=8，x=4；当 x=1 时，y=2×1-3=-1；当 x=3 时，y=2×3-3=3，故 y 从 - 1 变化到 3。答案：1. y=-3；2. x=4；3. 从 - 1 变化到 3。例 3：下列变量关系中，y 是 x 的函数的有（ ）个：①y=3x+1；②y=；③|y|=x；④y=x²-2x+1A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：①是函数（一个 x 对应一个 y）；②是函数（x≠0 时，一个 x 对应一个 y）；③不是函数（x>0 时，一个 x 对应两个 y）；④是函数（一个 x 对应一个 y），共 3 个。答案：C。幻灯片 8：易错点提醒1. 易错点 1：混淆变量与常量误区：认为字母一定是变量，数字一定是常量（如把 S=πr² 中的 π 当成变量）。提醒：π 是固定不变的常数，是常量；判断常量和变量的关键是看 “数值是否变化”，而非形式。2. 易错点 2：忽略函数的 “唯一确定性”误区：认为只要有两个变量就构成函数关系（如 | y|=x 中，认为 y 是 x 的函数）。提醒：必须满足 “对于 x 的每一个确定值，y 有唯一确定值对应”，否则不构成函数。3. 易错点 3：忽略自变量的取值范围误区：写出函数解析式时，不考虑自变量的实际意义（如长方形长 x=6m，宽 y=5-x= -1m，不符合实际）。提醒：自变量的取值需使解析式有意义且符合实际情境（如长度、数量不能为负数）。幻灯片 9：课堂练习1. 填空题：在 “某地气温随时间变化” 的过程中，变量是______和______，______是自变量，______是因变量。函数 y=3x+2 中，当 x= -1 时，y=；当 y=8 时，x=。2. 选择题：下列式子中，y 是 x 的函数的是（ ）A. y=±√x（x≥0） B. y=x³ C. y²=x+1 D. y=已知函数 y=，自变量 x 的取值范围是（ ）A. x≠0 B. x≥0 C. x>0 D. 全体实数3. 解答题：已知一个长方体的高为 3cm，底面是正方形，正方形的边长为 x cm，长方体的体积为 V cm³。写出 V 关于 x 的函数解析式；当 x=2 时，求 V 的值；当 V=27 时，求 x 的值。答案：填空题：1. 气温、时间，时间、气温；2. -1、2；选择题：1. B；2. C；解答题：1. V=3x²（x>0）；2. V=3×2²=12；3. 27=3x²→x²=9→x=3（x>0，舍去负根）。幻灯片 10：课堂小结1. 核心概念：变量与常量：变化的量是变量，不变的量是常量；函数：两个变量 x、y，x 每一个确定值对应 y 唯一确定值，y 是 x 的函数。2. 函数的表示：解析式法：用含 x 的式子表示 y（如 y=kx+b）；注意自变量的取值范围（使解析式有意义且符合实际）。3. 关键能力：能区分变量与常量；能判断两个变量是否构成函数关系；能根据解析式求函数值或自变量的值。幻灯片 11：课后作业1. 基础题：指出下列变化过程中的变量和常量：① 电费按 0.56 元 / 度收取，用电量为 x 度，电费为 y 元；② 圆锥的底面半径为 r，高为 h，体积为 V（V=πr²h）。已知函数 y=2x-5，求：① x=3 时的函数值；② y=3 时对应的自变量 x 的值。2. 提高题：下列关系中，y 不是 x 的函数的是（ ）A. y=x-1 B. y= C. y= D. y=±x+2一个梯形的上底为 2cm，下底为 5cm，高为 h cm，面积为 S cm²。① 写出 S 关于 h 的函数解析式；② 当 h=4 时，求 S 的值；③ 当 S=21 时，求 h 的值。3. 拓展题：思考：在函数 y = 中，自变量 x 的取值范围是什么？为什么？【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 学习目标123理解实际问题情境中的关联量，了解常量、变量的意义；掌握函数的概念，能够区分两个变量之间的关系是否为函数关系，体会生活中的函数关系，感受数学与生活紧密相连；体会变化过程中的量的变化，初步培养构建数学模型的能力.热气球上升过程中所到达的海拔高度随着上升时间的变化而变化汽车行驶的路程随时间的变化而变化有两个相关的量，其中一个量往往随着另一个量的变化而变化.情境导入如何研究两个变化的量之间的对应关系？推进新课(1)这个问题中，涉及哪几个量？(2)热气球上升3min和6min时到达的海拔高度分别是多少米？(3)热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米？热气球的上升时间 t上升到达的海拔高度 h初始海拔高度1800m热气球上升速度30 m热气球的上升时间 t上升到达的海拔高度 h初始海拔高度1800m热气球上升的速度 30m/min练一练七年级某班有 n 名学生，每名学生购买一本数学课本，单价是 14.69 元，总金额为 y 元. 在这个问题中，变量是________，常量是________.n，y14.69判断常量和变量的方法：(1)看它是否在同一个变化过程中；(2)看它在这个变化过程中的取值是否改变.(1)这个公式中涉及哪几个量？(2)制动时，当车速是40 km/h时，相应的制动距离是多少米？若车速是80 km/h时呢？(3) 制动时，对于车速 v 的每一个值，相应的制动距离 s 的值都是唯一确定的吗？制动距离s车速v变量变量常量当v=40 km/h时，s=6.25m；当v=80 km/h时，s=25m唯一确定(1)这个问题中，涉及哪几个量？(2) 给出这天中的某一时刻，如4.5时，能找到这一时刻的用电负荷是多少吗？你是怎么找到的？找到的值是唯一确定的吗？20时呢？时间 t 、用电负荷 yy=10y=16(3)在这天中，对于时间 t 的每一个值，相应的用电负荷 y 的值都是唯一确定的吗？(4) 在这一天中，用电负荷最高和最低各是多少？它们是在什么时刻达到的？唯一确定用电负荷最高用电负荷最低在上述三个问题中，每个变化过程都只涉及两个变量，两个变量之间有一种对应关系，当其中某个变量取定一个值时，根据此对应关系就唯一确定了另一个变量的值。问题1中，t＝3时，h＝1890；t＝6时，h＝1980.问题2中，v＝40时，s＝6.25；v＝80时，s＝25.问题3中，t＝4.5时，y＝10；t＝20时， y＝16. 一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x，y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 当 x = a 时，y=b，则 b 叫作当自变量 x 取 a 时的函数值.说一说：问题1、问题2、问题3中，什么量是自变量，什么量是函数？函数的概念注意把握 ①变化过程；②两个变量x与y；③对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应.练一练如图是某市某一天的气温变化曲线，则气温 T ____(填“是”或“不是”)时间 t 的函数，理由是时间 t 在取值范围内的每一个值，气温 T 都有___________的值与它对应。是唯一确定判断两个变量间的关系是不是函数关系，要把握以下三点：1.是不是同一个变化过程中的两个变量.2.一个变量的数值是否随着另一个变量的数值的变化而变化.3.对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应，也就是说，可以是“多对一”，但不可以是“一对多”.随堂练习1.指出下列关系中的变量与常量.(1) 球的表面积 S cm2与球半径 R cm之间的关系为：S=4πR2；(2) 在一定温度范围内，某种金属丝的长度 l cm与温度 t ℃之间的关系为：l=0.002t+200.解：(1) S=4πR2中S、R为变量，4、π为常量；(2) l=0.002t+200中t、l为变量，0.002、200为常量.【教材P26 练习 T1】【教材P26 练习 T2】2.下列问题中，变量 y 是变量 x 的函数吗？请说明理由.(1) 在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的圆形波纹的半径为 x m，周长为 y m；(2) 一个正数 x 的平方根是 y .是不是【教材P26 练习 T3】3.购买单价是2元的圆珠笔，总金额 y 元是圆珠笔支数n的函数吗？并指出其中的常量与变量。总金额 y 元是圆珠笔支数 n 的函数. 其中变量为y、n，常量为2.4.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含有重物质量 m (kg)的式子表示受力后的弹簧长度 y(cm)？y=0.5m+10知识点1 常量与变量 A  返回 A  返回知识点2 函数的定义 BA. B. C. D. 返回4. 下列两个变量，不是函数关系的是( )BA. 正方形的面积与边长之间的关系B. 一个正数的平方根与这个正数之间的关系C. 圆的面积与圆的周长之间的关系D. 速度一定时，汽车行驶的路程与行驶时间之间的关系 返回 CA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个  返回知识点3 函数的自变量6. 一个容器中装有一定质量的糖，向容器中加入水，随着水量的增加，糖水的浓度将降低，这个问题中自变量是( )DA. 糖水的浓度 B. 糖水的质量C. 糖的质量 D. 水量 返回易错点 对函数定义中“唯一确定的值与它对应”理解不透彻而致错 DA. B. C. D. 返回8. 某小区用户用电量与应缴电费之间的关系如表，则下列叙述错误的是( )DA. 在这个变化过程中，自变量是用电量B. 应缴电费随用电量的增加而增加C. 用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元D. 若应缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦时 返回 ①④  返回课堂小结变量与常量的概念我们把某一变化过程中保持不变的量叫作常量.而把某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量.自变量、函数、函数值的概念设在一个变化过程中有两个变量 x，y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.当 x = a 时，y=b，则 b 叫作当自变量 x 取 a 时的函数值.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！