7.2.2 平行线的性质（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

7.2.2 平行线的性质平行线的性质是平面几何中研究直线平行关系的重要内容，它与平行线的判定相辅相成。如果说判定是通过角的关系判断直线平行，那么性质则是在已知直线平行的前提下，推导角之间的关系。本节将系统学习平行线的性质，掌握其逻辑推导过程，并能运用性质解决几何证明和计算问题。一、平行线性质的引入在学习平行线的判定时，我们知道 “同位角相等，两直线平行”，这是由角的关系推导出直线的位置关系。反过来，如果两条直线平行，被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角之间会有什么关系呢？通过画图测量和逻辑推理，我们可以得出平行线的性质。例如，画两条平行直线\(a\parallel b\)，被第三条直线\(c\)所截，测量形成的同位角\(\angle1\)和\(\angle2\)，会发现\(\angle1=\angle2\)；测量内错角\(\angle2\)和\(\angle3\)，会发现\(\angle2=\angle3\)；测量同旁内角\(\angle2\)和\(\angle4\)，会发现\(\angle2+\angle4 = 180^\circ\)。这些规律就是平行线的性质。二、平行线的性质定理（一）性质 1：两直线平行，同位角相等定理 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。即：如果\(a\parallel b\)，那么同位角相等。证明思路：该性质可通过反证法证明。假设\(a\parallel b\)，但同位角\(\angle1\neq\angle2\)，过截线与\(a\)的交点作一条直线\(a'\)，使\(a'\)与截线形成的同位角等于\(\angle2\)，根据 “同位角相等，两直线平行”，可得\(a'\parallel b\)。但过一点有且只有一条直线与已知直线平行，这与\(a\)和\(a'\)都过该点且平行于\(b\)矛盾，因此假设不成立，故\(\angle1=\angle2\)。实例解析：例 1：如图 1，已知\(AB\parallel CD\)，直线\(EF\)分别交\(AB\)、\(CD\)于点\(E\)、\(F\)，\(\angle1 = 50^\circ\)，求\(\angle2\)的度数。解：∵\(AB\parallel CD\)（已知），∴\(\angle1=\angle2\)（两直线平行，同位角相等）。∵\(\angle1 = 50^\circ\)（已知），∴\(\angle2 = 50^\circ\)（等量代换）。（二）性质 2：两直线平行，内错角相等定理 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。即：如果\(a\parallel b\)，那么内错角相等。证明过程：已知：如图 2，\(a\parallel b\)，直线\(c\)截\(a\)、\(b\)于点\(M\)、\(N\)，\(\angle1\)和\(\angle2\)是内错角。求证：\(\angle1=\angle2\)。证明：∵\(a\parallel b\)（已知），∴\(\angle1=\angle3\)（两直线平行，同位角相等）。∵\(\angle2=\angle3\)（对顶角相等），∴\(\angle1=\angle2\)（等量代换）。实例解析：例 2：如图 3，\(AD\parallel BC\)，\(\angle A = 100^\circ\)，求\(\angle B\)的度数（提示：延长\(AD\)构造内错角）。解：延长\(AD\)至点\(E\)。∵\(AD\parallel BC\)（已知），∴\(\angle A+\angle B = 180^\circ\)？（此处修正：延长后\(\angle EAB\)与\(\angle B\)是内错角？不，更简单的是利用同旁内角，这里按内错角思路：）∵\(AD\parallel BC\)，∴\(\angle A=\angle EBC\)（两直线平行，同位角相等），但更直接的是：∵\(AD\parallel BC\)，\(\angle A\)和\(\angle B\)是同旁内角，不过按内错角：过点\(B\)作\(BF\parallel AE\)，则\(AD\parallel BF\)，\(\angle A=\angle ABF\)（内错角相等），又\(AD\parallel BC\)，所以\(BF\parallel BC\)，点\(F\)在\(BC\)上，故\(\angle ABF+\angle FBC = 180^\circ\)，但可能更简单：∵\(AD\parallel BC\)，\(\angle DAB\)与\(\angle ABC\)是同旁内角，互补，不过例 2 按题目提示用内错角：其实更简单的方法：∵\(AD\parallel BC\)，\(\angle A\)和\(\angle B\)的内错角可通过辅助线构造，最终可得\(\angle B = 80^\circ\)（过程略，实际\(\angle A\)与\(\angle B\)互补）。（三）性质 3：两直线平行，同旁内角互补定理 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。即：如果\(a\parallel b\)，那么同旁内角的和为\(180^\circ\)。证明过程：已知：如图 4，\(a\parallel b\)，直线\(c\)截\(a\)、\(b\)于点\(P\)、\(Q\)，\(\angle1\)和\(\angle2\)是同旁内角。求证：\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)。证明：∵\(a\parallel b\)（已知），∴\(\angle1=\angle3\)（两直线平行，同位角相等）。∵\(\angle3+\angle2 = 180^\circ\)（平角定义），∴\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)（等量代换）。实例解析：例 3：如图 5，\(AB\parallel CD\)，\(\angle B = 65^\circ\)，求\(\angle D\)的度数，其中\(BC\parallel DE\)。解：∵\(AB\parallel CD\)（已知），∴\(\angle B=\angle C\)（两直线平行，内错角相等）。∵\(\angle B = 65^\circ\)（已知），∴\(\angle C = 65^\circ\)（等量代换）。∵\(BC\parallel DE\)（已知），∴\(\angle C+\angle D = 180^\circ\)（两直线平行，同旁内角互补）。∴\(\angle D = 180^\circ-\angle C=180^\circ - 65^\circ=115^\circ\)（等式性质）。三、平行线的性质与判定的区别与联系（一）区别类别条件结论用途平行线的判定角的关系（相等或互补）直线平行由角定线平行线的性质直线平行角的关系（相等或互补）由线定角例如：判定：∵\(\angle1=\angle2\)，∴\(a\parallel b\)（同位角相等，两直线平行）；性质：∵\(a\parallel b\)，∴\(\angle1=\angle2\)（两直线平行，同位角相等）。（二）联系两者都涉及直线平行和角的关系，共用同一组同位角、内错角、同旁内角；判定是性质的逆过程，性质是判定的逆命题（部分为逆定理）；在证明中，两者常结合使用，先用判定证明直线平行，再用性质推导角的关系，或反之。四、平行线性质的综合应用运用平行线的性质解决几何问题，通常需要结合图形分析，明确已知的平行关系和需要推导的角的关系，步骤如下：识别平行关系：明确题目中给出的平行线，确定截线；确定角的类型：找出平行线被截线所截形成的同位角、内错角或同旁内角；应用性质推导：根据平行线的性质，由平行关系推导出角之间的相等或互补关系；结合其他知识计算或证明：利用推导得出的角的关系，结合对顶角、邻补角等知识，解决问题。例 4：如图 6，已知\(AB\parallel CD\)，\(EF\)分别交\(AB\)、\(CD\)于点\(E\)、\(F\)，\(EG\)平分\(\angle BEF\)，\(FH\)平分\(\angle EFD\)，求证：\(EG\parallel FH\)。证明：∵\(AB\parallel CD\)（已知），∴\(\angle BEF=\angle EFD\)（两直线平行，内错角相等）。∵\(EG\)平分\(\angle BEF\)，\(FH\)平分\(\angle EFD\)（已知），∴\(\angle GEF=\frac{1}{2}\angle BEF\)，\(\angle HFE=\frac{1}{2}\angle EFD\)（角平分线定义）。∴\(\angle GEF=\angle HFE\)（等量代换）。∴\(EG\parallel FH\)（内错角相等，两直线平行）。例 5：如图 7，\(AD\parallel BC\)，\(AB\parallel DC\)，\(\angle B = 60^\circ\)，求\(\angle D\)和\(\angle BAD\)的度数。解：∵\(AD\parallel BC\)（已知），∴\(\angle B+\angle BAD = 180^\circ\)（两直线平行，同旁内角互补）。∵\(\angle B = 60^\circ\)（已知），∴\(\angle BAD = 180^\circ - 60^\circ=120^\circ\)（等式性质）。∵\(AB\parallel DC\)（已知），∴\(\angle B=\angle C\)（两直线平行，内错角相等），\(\angle C+\angle D = 180^\circ\)（两直线平行，同旁内角互补）。∴\(\angle D=\angle BAD = 120^\circ\)（等量代换）。五、常见误区性质与判定混淆：误用性质代替判定或反之。例如，已知直线平行却用 “同位角相等，两直线平行” 作为依据，或已知角相等却用 “两直线平行，同位角相等” 推导平行。角的对应关系错误：未准确识别同位角、内错角或同旁内角，导致推导的角的关系与平行线不对应。例如，将不同截线形成的角错误地当作平行线被同一条截线所截的角。忽略平行条件：在使用性质时，未先确认直线是否平行，直接套用性质。例如，未证明\(a\parallel b\)就直接说 “因为\(a\parallel b\)，所以同位角相等”。辅助线使用不当：需要作辅助线构造平行线或角的关系时，未说明辅助线的作法，或构造的辅助线与已知条件矛盾。六、课堂总结平行线的性质定理：性质 1：两直线平行，同位角相等；性质 2：两直线平行，内错角相等；性质 3：两直线平行，同旁内角互补。与判定的区别联系：判定是由角定线，性质是由线定角，两者结合构成平行线的完整知识体系。应用步骤：识别平行关系→确定角的类型→应用性质推导→结合其他知识解决问题。关键能力：准确区分性质与判定，熟练运用性质推导角的关系，规范书写推理过程。平行线的性质是几何证明和计算的重要工具，它将直线的位置关系与角的数量关系紧密联系，为解决复杂几何问题提供了逻辑依据。通过大量练习，我们能更熟练地运用这些性质，提升几何推理能力。七、课后作业如图 8，\(AB\parallel CD\)，\(\angle1 = 80^\circ\)，求\(\angle2\)、\(\angle3\)、\(\angle4\)的度数，并说明依据。已知：如图 9，\(a\parallel b\)，\(c\parallel d\)，\(\angle1 = 70^\circ\)，求\(\angle2\)的度数。求证：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直（提示：结合角平分线定义和同旁内角互补）。如图 10，\(AD\parallel BC\)，\(\angle BAC = 70^\circ\)，\(\angle DAE = 40^\circ\)，求\(\angle C\)的度数。分析下列推理过程的错误，并改正：命题：如图 11，已知\(AB\parallel CD\)，求证：\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)。错误推理：∵\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)，∴\(AB\parallel CD\)（两直线平行，同旁内角互补）。2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 通过阅读课本，探索平行线的性质，并掌握它们的图形语言、文字语言、符号语言；了解平行线的性质和判定的区别，提高学生的分析能力和归纳总结能力．2．通过学生观察、动手操作，培养他们主动探索与合作的能力，使学生领会数形结合、转化的数学思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点图片导入思考1 根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？两直线平行，同位角相等思考2 你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.求证：∠1=∠2.文字语言符号语言思考3 你能说说证明的思路吗？ABCDEFMN12证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示.根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD.又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2.如果∠1 ≠ ∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？一般地，平行线具有如下性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等. ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）.∵a∥b（已知），几何语言:例 如图，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°,∠B=60°,∠AED=40°.（1）DE和BC平行吗？为什么？（2）∠C是多少度？为什么？ 答:（1）DE∥BC , ∵∠ADE＝60°,∠B＝60°， ∴∠ADE＝ ∠B. ∴DE∥BC （ ）.同位角相等，两直线平行（2）∠C =40°.∵DE∥BC ，∴∠C ＝ ∠AED ( )∵∠AED=40°，∴∠C =40°.两直线平行，同位角相等.EABDC1.如图所示，∠1＝70°，若m∥n，则∠2＝ . 2.如图所示，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于 ( )A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°70°C 在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行线”，类似地，已知两直线平行，同位角相等，能否得到内错角之间的数量关系？ 证明： ∵ a∥b(已知), ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等). 又∵ ∠1=∠3(对顶角相等), ∴ ∠1=∠2(等量代换).定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等.已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角.求证： ∠1=∠2.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等. ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.∵a∥b（已知）,几何语言:例 如图，已知直线a∥b，∠1 = 50°, 求∠2的度数.abc12∴∠ 2= 50° (等量代换).解：∵ a∥b(已知)，∴∠ 1= ∠ 2(两直线平行,内错角相等).又∵∠ 1 = 50° (已知),如图所示，AC∥BD，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠1＝ ，∠2＝ ，∠3＝ .70°50°60°如图,已知a//b,那么2与4有什么关系呢？为什么?解: ∵a//b （已知）,∴ 1=  2（两直线平行，同位角相等）. ∵  1+  4=180°（邻补角的性质），∴ 2+  4=180°（等量代换）.类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？ 两直线平行，同旁内角互补性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. ∴∠2+∠4=180 °（两直线平行，同旁内角互补）∵a∥b（已知）几何语言:平行线的性质性质定理1:两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2.性质定理2:两直线平行,内错角相等.∵ a∥b, ∴∠1=∠2.性质定理3: 两直线平行,同旁内角互补.∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 . 这里的结论,以后可以直接运用. 例 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？解：∵梯形上、下底互相平行， ∴ ∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.∴梯形的另外两个角分别是80°、65°.于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°,∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.如图所示，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为( )A. 58° B. 42° C. 32° D. 28°C定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 如图：直线a∥b,a∥c,∠1，∠2和∠3是直线 a,b，c被直线d截出的同位角.求证：b∥c.证明：∵a∥b ∴∠1=∠2 ∵a∥ c ∴∠1=∠3 ∴ ∠2=∠3 ∴ b∥c（已知）,（两直线平行，同位角相等）.（已知）,（两直线平行，同位角相等）.（等量代换）.（同位角相等，两直线平行）.知识点1 平行线的性质  5867 85 58 返回（第2题） C  返回（第3题） B  返回（第4题）  B 返回 C（第5题）  返回   返回知识点2 平行线的性质与判定的综合应用 B  返回同位角相等内错角相等同旁内角互补两直线平行判定性质必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.