12.1.2函数的表示方法——列表法和解析法 -2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：12.1.2 函数的表示方法 —— 列表法和解析法学科：数学年级：八年级上册版本：沪科版学习目标：理解函数列表法和解析法的定义，掌握两种表示方法的特点；能根据实际情境用列表法和解析法表示函数关系；会根据列表法或解析法求函数值，能在两种表示方法间进行简单转化。幻灯片 2：情境引入（函数表示方法的必要性）内容 1：某水果店售卖苹果，单价为 5 元 / 千克。若购买的重量为 1kg、2kg、3kg、4kg、5kg，对应的付款金额分别是多少？你能用几种方式表示购买重量与付款金额的关系？内容 2：一辆汽车油箱内有汽油 50L，行驶时每小时耗油 6L，行驶时间为 t 小时（0≤t≤≈8.33），油箱内剩余油量为 Q L。如何清晰地表示 t 与 Q 之间的函数关系？提问：生活中表示函数关系的方式有多种，今天我们重点学习其中两种 —— 列表法和解析法，它们各自有什么优势？又该如何运用？幻灯片 3：合作探究（函数的列表法）问题 1：结合情境引入 1 中 “苹果购买” 问题，完成下表（购买重量 x 为自变量，付款金额 y 为函数）：购买重量 x（kg）12345付款金额 y（元）____________________概念定义：像这样，将自变量 x 的一系列取值和对应的函数 y 的值列成表格来表示函数关系的方法，叫做列表法。列表法的特点：优点：直观、清晰，能直接从表格中找到自变量对应的函数值，无需计算（如表格中 x=3 时，直接读取 y=15）。缺点：只能列出有限个自变量的值，无法反映自变量取值范围内的所有对应关系（如无法从表格中直接找到 x=3.5kg 时的付款金额）。列表法的应用场景：自变量取值为有限个且数量较少时（如购买商品的数量、考试的分数段等）；需要快速查询特定自变量对应的函数值时（如常用的平方根表、三角函数表等）。幻灯片 4：合作探究（函数的解析法）问题 1：针对情境引入 2 中 “汽车油量” 问题，根据 “剩余油量 = 总油量 - 耗油量”，推导 Q 与 t 的函数关系式：每小时耗油 6L，t 小时耗油 6t L，总油量 50L，故 Q=______（0≤t≤≈8.33）。概念回顾与深化：用含自变量 x 的数学式子（解析式）表示函数 y 与 x 之间关系的方法，叫做解析法（此前 12.1.1 已初步接触，本节进一步深化）。解析法的特点：优点：能完整反映自变量取值范围内的所有对应关系（如 “汽车油量” 问题中，代入任意符合条件的 t，都能求出对应的 Q）；便于进行理论分析和计算（如求 t=5 小时时的剩余油量，直接代入解析式计算即可）。缺点：不够直观，需要通过计算才能得到函数值；并非所有函数都能用解析式表示（如气温随时间变化的函数，难以用统一解析式表示）。解析法的书写规范（补充与强调）：明确写出自变量和函数的符号（如 “Q 关于 t 的函数解析式为 Q=50-6t”）；标注自变量的取值范围（使解析式有意义且符合实际情境，如 “0≤t≤”）；解析式需化简为最简形式（如 “y=2x+3x” 应化简为 “y=5x”）。幻灯片 5：列表法与解析法的对比与转化1. 两种表示方法的对比：表示方法优点缺点适用场景列表法直观、无需计算，直接查值仅能表示有围。3. 转化时的易错点：误区：从列表法推导解析式时，仅根据部分对应值下结论（如表格中 x=1 时 y=2，x=2 时 y=4，就断定 y=2x，忽略 x=3 时 y=7 的情况）。提醒：推导后需用表格中所有对应值验证，确保解析式符合全部数据。幻灯片 10：课堂练习1. 基础题：已知函数 y=3x+2，当 x 为 - 1、0、1、2 时，用列表法表示该函数；某手机套餐每月固定费 20 元，每通话 1 分钟额外收费 0.1 元，设每月通话时间为 t 分钟，总费用为 w 元，写出 w 关于 t 的函数解析式（t≥0），并求 t=100 分钟时的总费用。2. 提高题：根据下表，推导 y 与 x 的函数解析式，并验证 x=5 时的函数值：x1234y25811已知函数 y=x²-2x（x 为实数），用列表法表示 x=-1、0、1、2、3 时的函数值，并找出 y 的最小值。答案：基础题：表格：x-1012y-1258w=20+0.1t（t≥0），t=100 时，w=20+0.1×100=30 元；提高题：观察 y=3x-1（x=1 时 2=3×1-1，x=2 时 5=3×2-1，均符合），x=5 时 y=3×5-1=14；表格：x-10123y30-103y 的最小值为 - 1。幻灯片 11：课堂小结1. 两种表示方法的核心：列表法：用表格呈现有限个 x 与 y 的对应关系，直观便捷；解析法：用解析式呈现所有 x 与 y 的对应关系，完整且便于计算。2. 关键能力：能根据实际情境选择合适的表示方法（如快速查值用列表法，完整分析用解析法）；能实现两种方法的转化（从解析式列表格，从表格推解析式）；会用两种方法求函数值，注意自变量的取值范围。幻灯片 12：课后作业1. 基础题：已知函数 y=-2x+5，当 x 为 - 2、-1、0、1、3 时，用列表法表示该函数，并找出 y 随 x 变化的规律；一个正方体的棱长为 a cm，表面积为 S cm²，写出 S 关于 a 的函数解析式（正方体表面积 = 6× 棱长 ²），并求 a=3 时的表面积。2. 提高题：某商店出售一种文具，单价为 10 元，购买 10 件及以上可享受九折优惠（即单价 9 元）。设购买数量为 n 件，付款金额为 y 元，分别用列表法（n=8、9、10、11、12）和解析法表示 y 与 n 的关系；根据下表，判断 y 与 x 是否为函数关系，若为，尝试推导其解析式：x01234y135793. 拓展题：思考：生活中还有哪些函数关系适合用列表法表示？哪些适合用解析法表示？举例说明，并分析原因。【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 学习目标123学会求函数自变量的取值范围；理解函数自变量与函数值的对应关系，会求指定条件下的函数值；会求具体问题中的函数表达式.复习回顾下列问题中的变量 y 是不是 x 的函数？(1) y = 2x(2) y + 2x=3 (4) y = x2(5) y2 = x(6) y =|x|(7) |y| = x(8) y =±x +5(9) y = x2 + 3z推进新课上节课我们研究了三个问题，它们都反映了两个变量间的函数关系，回头看一下：问题1：用热气球探测高空气象问题2：汽车刹车问题问题3：用电负荷曲线表示函数关系有哪些方法？列表法解析法图象法问题1：用热气球探测高空气象通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法.想一想：列表法表示函数关系有什么优点与不足呢？优点：能够具体反映自变量的值与函数值的对应关系.不足：只能列出部分自变量的值与对应的函数值，难以反映函数变化的全貌。练一练1.一个小球在一个斜坡上由静止开始向下运动，通过仪器观察，得到小球滚动的距离 s (米)与时间 t (秒)的数据如下表： 请写出s与t的函数表达式．解：因为t＝1时，s＝2；t＝2时，s＝8＝2×4＝2×22；t＝3时，s＝18＝2×9＝2×32；所以s与t的函数表达式为s＝2t 2.t＝4时，s＝32＝2×16＝2×42，问题2：汽车刹车问题用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的数学式子叫作函数表达式（或函数解析式）.想一想：解析法表示函数关系有什么优点与不足呢？优点：能够准确地反映函数与自变量间的数量关系.不足：有些自变量与函数间的关系很难或不能用解析式表示；涉及到具体数量还要进行计算.例1 求下列函数中自变量 x 的取值范围：(1) y = 2x + 4 ；(2) y = －2x2 ；  分析:在(1)(2)中，x取任何实数时，2x+4与−2x2都有意义； 例1 求下列函数中自变量 x 的取值范围：(1) y = 2x + 4 ；(2) y = －2x2 ；  解 （1）x为全体实数.（2）x为全体实数.（3）x ≠ 2.（4）x ≥ 0.归纳：函数解析式中自变量的取值范围(1)函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；(2)函数关系式为分式形式：分母 ≠ 0；(3)函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；(4)函数关系式含0指数：底数≠0；(5)当是实际问题时，自变量必须有实际意义；(6)当表达式是复合形式时，则需列不等式组，使所有式子同时有意义．练一练2. 函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ）A. x ≠3 B. x ≥3 C. x＞3 D. x ≤33.函数y= 中，自变量 x 的取值范围是______________.Bx ≥－2且x ≠1例2 当 x=3时，求下列函数的函数值：(1) y = 2x + 4 ；(2) y = －2x2 ；  解 （1）当x=3时，y =2×3+4=10.（2）当x=3时，y=－2×32=－18.练一练 A. y=3x+3B. y=－3x+3C. y=3x－3D. y=－3x－3B例3 一个游泳池内有水 300 m3，现打开排水管以25 m3 /h 的速度排水.设排水时间为t h，游泳池内剩余水量为Q m3.（1）写出 Q 与 t 之间的函数表达式；（2）写出自变量 t 的取值范围；解（1）函数表达式为Q=300－25t；即Q=－25t +300.（2）游泳池中共有300m3水，排水速度为25m3/h，全部排完只需300÷25=12 (h)，故自变量 t 的取值范围是0≤ t ≤12.例3 一个游泳池内有水 300 m3，现打开排水管以25 m3 /h 的速度排水.设排水时间为t h，游泳池内剩余水量为Q m3.（3）开始排水5 h 后，游泳池中还有多少水？（4）当游泳池中还剩 150 m3 水时，已经排水多久？（3）将t =5代入函数表达式，得Q=－25×5+300=175.答：开始排水5h后，游泳池中还有水175m3.（4）当Q=150时，由150=－25t + 300，得t =6. 答：当游泳池中还剩水150m3时，已经排水 6h.5.水箱内原有水200升，7点30分打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经 t 分钟时，水箱内存水 y 升.（1）求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；（2）7:55时，水箱内还有多少水？（3）几点几分水箱内的水恰好放完？练一练解（1）y =200－2t（0≤ t ≤100）；（2）y =200－2t =200－50=150(升)；（3）当y =0时， 200－2t =0，解得：t =100分钟=1小时40分钟，7:30+1小时40分钟=9点10分.随堂练习【教材P28 练习 T1】1.写出下列函数中自变量 x 的取值范围：解 （1）x为全体实数.（2）x ≠4.（3）x ≥ 0.（4）x为全体实数.2. 当x =9和x =10时，求下列函数的函数值：【教材P28 练习 T2】【教材P28 练习 T3】3.一列动车以300km/h的速度匀速行驶. 设该动车的行驶时间为t h，路程为 s km.（1）写出 s 与 t 之间的函数表达式；（2）该动车行驶 1.5h 后，行驶的路程为多少？（3）当该动车行驶 120km 时，用时多少？解 (1) s = 300 t.(2) 将 t=1.5 代入函数表达式，得s = 300×1.5=450.答：行驶的路程为450km.【教材P28 练习 T3】3.一列动车以300km/h的速度匀速行驶. 设该动车的行驶时间为t h，路程为 s km.（1）写出 s 与 t 之间的函数表达式；（2）该动车行驶 1.5h 后，行驶的路程为多少？（3）当该动车行驶 120km 时，用时多少？(3) 当 s=120 时，由120 = 300t，得t =0.4.答：用时0.4h.知识点1 列表法 则下列说法错误的是 ( ) B  返回2. 科学家就蟋蟀每分钟鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： DA. 178B. 184C. 192D. 200 返回     返回知识点2 解析法 C  返回 A  返回知识点3 自变量的取值范围 B  返回   返回知识点4 函数值 B  返回 79 返回课堂小结幻灯片 1：封面标题：12.1.1 认识函数学科：数学年级：八年级上册版本：沪科版学习目标：理解变量、常量的概念，能区分实例中的变量与常量；掌握函数的定义，明确函数中两个变量的对应关系；能根据函数定义判断两个变量是否构成函数关系，会用含自变量的式子表示函数。幻灯片 2：情境引入（生活中的变量关系）内容 1：汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t 小时，行驶的路程为 s 千米。思考：当 t=1 时，s=；当 t=2 时，s=；当 t=3.5 时，s=______。在这个过程中，哪些量是固定不变的？哪些量是不断变化的？内容 2：电影院每张电影票的售价为 40 元，设某场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元。思考：当 x=100 时，y=；当 x=250 时，y=。这里的固定量和变化量分别是什么？提问：上述两个实例中，变化的量之间是否存在某种确定的对应关系？今天我们就来探究这种关系 —— 函数。幻灯片 3：合作探究（变量与常量）问题 1：分析下列实例，找出其中的变化量和固定不变的量：圆的半径为 r，圆的面积为 S（S=πr²）；一个水池有水 100m³，现以 5m³/h 的速度向水池中注水，注水时间为 t 小时，水池中的总水量为 V m³（V=100+5t）；用 10m 长的绳子围一个矩形，矩形的长为 x m，宽为 y m（y=5-x）。概念定义：变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量（如实例 1 中的 r 和 S，实例 2 中的 t 和 V）。常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如实例 1 中的 π，实例 2 中的 100 和 5）。注意事项：常量不一定是具体的数字，也可以是用字母表示的固定值（如 π）；变量包括自变量和因变量，通常主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量（如实例 2 中 t 是自变量，V 是因变量）。练一练：在 “正方形的边长为 a，正方形的周长为 C（C=4a）” 中，变量是______，常量是______。答案：变量是 a 和 C，常量是 4。幻灯片 4：合作探究（函数的定义）问题 1：观察情境引入中的两个实例，分析变化量之间的对应关系：汽车行驶问题：s=60t，对于 t 的每一个确定值，s 都有______个确定的值与之对应（如 t=2→s=120，t=3→s=180）；电影票房问题：y=40x，对于 x 的每一个确定值（x 为非负整数），y 都有______个确定的值与之对应（如 x=150→y=6000，x=300→y=12000）。问题 2：结合圆的面积公式 S=πr²，思考：对于 r 的每一个正数取值，S 是否都有唯一确定的值与之对应？函数定义：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 y 是 x 的函数，x 叫做自变量。对定义的解读：必须有两个变量（x 和 y）；对应关系要 “唯一确定”—— 一个 x 只能对应一个 y（但多个 x 可以对应同一个 y，如 y=x² 中，x=2 和 x=-2 都对应 y=4）；自变量 x 的取值通常有一定范围（如电影票数量 x 不能为负数）。幻灯片 5：函数定义的辨析与应用问题 1：判断下列变量之间是否构成函数关系：长方形的长为 x，宽为 y，面积为 20（y=20/x）；人的身高为 x，体重为 y；汽车行驶的路程为 x，行驶的速度为 y（假设路程一定，y = 路程 /x）。解析：是函数关系：对于 x 的每一个正数取值，y 都有唯一确定的值与之对应；不是函数关系：相同身高的人，体重可能不同，即一个 x 对应多个 y；是函数关系：路程固定时，对于 x 的每一个正数取值，y 都有唯一确定的值与之对应。练一练：下列关于变量 x 和 y 的关系中，y 是 x 的函数的是（ ）A. y=±x B. y=x² C. y²=x D. 不确定答案：B（A 中一个 x 对应两个 y，C 中一个 x 对应两个 y，均不符合 “唯一确定”）。幻灯片 6：函数的表示方法（解析式法）概念定义：用含自变量 x 的数学式子表示函数 y 的方法叫做解析式法（也叫关系式法），如 s=60t、y=40x、S=πr² 等。解析式的书写注意事项：通常把因变量写在等号左边，自变量及常量写在等号右边（如 y=2x+3，不写成 x=(y-3)/2）；当自变量与常量相乘时，数字通常写在前面（如 4x，不写成 x4）；当表达式是分数形式时，分母不能含自变量（或需保证分母不为 0）；当表达式是平方形式时，注意书写规范（如 x²，不写成 x^2，正式场合需用标准格式）。典例精析：例 1：写出下列函数的解析式：若一个三角形的底边长为 5，高为 h，面积为 S，求 S 关于 h 的函数解析式；购买单价为 2 元的笔记本，购买数量为 n 本，付款金额为 w 元，求 w 关于 n 的函数解析式。解析：三角形面积公式 S=× 底 × 高，底为 5，故 S=×5×h=2.5h（或 S=h）；付款金额 = 单价 × 数量，单价为 2，故 w=2n。答案：1. S=2.5h（h>0）；2. w=2n（n 为非负整数）。幻灯片 7：典例精析（函数的定义与解析式应用）例 2：已知函数 y=2x-3，回答下列问题：当 x=0 时，求 y 的值；当 y=5 时，求 x 的值；当 x 从 1 增加到 3 时，y 的值从多少变化到多少？解析：把 x=0 代入解析式，y=2×0-3=-3；把 y=5 代入解析式，得 5=2x-3，解得 2x=8，x=4；当 x=1 时，y=2×1-3=-1；当 x=3 时，y=2×3-3=3，故 y 从 - 1 变化到 3。答案：1. y=-3；2. x=4；3. 从 - 1 变化到 3。例 3：下列变量关系中，y 是 x 的函数的有（ ）个：①y=3x+1；②y=；③|y|=x；④y=x²-2x+1A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：①是函数（一个 x 对应一个 y）；②是函数（x≠0 时，一个 x 对应一个 y）；③不是函数（x>0 时，一个 x 对应两个 y）；④是函数（一个 x 对应一个 y），共 3 个。答案：C。幻灯片 8：易错点提醒1. 易错点 1：混淆变量与常量误区：认为字母一定是变量，数字一定是常量（如把 S=πr² 中的 π 当成变量）。提醒：π 是固定不变的常数，是常量；判断常量和变量的关键是看 “数值是否变化”，而非形式。2. 易错点 2：忽略函数的 “唯一确定性”误区：认为只要有两个变量就构成函数关系（如 | y|=x 中，认为 y 是 x 的函数）。提醒：必须满足 “对于 x 的每一个确定值，y 有唯一确定值对应”，否则不构成函数。3. 易错点 3：忽略自变量的取值范围误区：写出函数解析式时，不考虑自变量的实际意义（如长方形长 x=6m，宽 y=5-x= -1m，不符合实际）。提醒：自变量的取值需使解析式有意义且符合实际情境（如长度、数量不能为负数）。幻灯片 9：课堂练习1. 填空题：在 “某地气温随时间变化” 的过程中，变量是______和______，______是自变量，______是因变量。函数 y=3x+2 中，当 x= -1 时，y=；当 y=8 时，x=。2. 选择题：下列式子中，y 是 x 的函数的是（ ）A. y=±√x（x≥0） B. y=x³ C. y²=x+1 D. y=已知函数 y=，自变量 x 的取值范围是（ ）A. x≠0 B. x≥0 C. x>0 D. 全体实数3. 解答题：已知一个长方体的高为 3cm，底面是正方形，正方形的边长为 x cm，长方体的体积为 V cm³。写出 V 关于 x 的函数解析式；当 x=2 时，求 V 的值；当 V=27 时，求 x 的值。答案：填空题：1. 气温、时间，时间、气温；2. -1、2；选择题：1. B；2. C；解答题：1. V=3x²（x>0）；2. V=3×2²=12；3. 27=3x²→x²=9→x=3（x>0，舍去负根）。幻灯片 10：课堂小结1. 核心概念：变量与常量：变化的量是变量，不变的量是常量；函数：两个变量 x、y，x 每一个确定值对应 y 唯一确定值，y 是 x 的函数。2. 函数的表示：解析式法：用含 x 的式子表示 y（如 y=kx+b）；注意自变量的取值范围（使解析式有意义且符合实际）。3. 关键能力：能区分变量与常量；能判断两个变量是否构成函数关系；能根据解析式求函数值或自变量的值。幻灯片 11：课后作业1. 基础题：指出下列变化过程中的变量和常量：① 电费按 0.56 元 / 度收取，用电量为 x 度，电费为 y 元；② 圆锥的底面半径为 r，高为 h，体积为 V（V=πr²h）。已知函数 y=2x-5，求：① x=3 时的函数值；② y=3 时对应的自变量 x 的值。2. 提高题：下列关系中，y 不是 x 的函数的是（ ）A. y=x-1 B. y= C. y= D. y=±x+2一个梯形的上底为 2cm，下底为 5cm，高为 h cm，面积为 S cm²。① 写出 S 关于 h 的函数解析式；② 当 h=4 时，求 S 的值；③ 当 S=21 时，求 h 的值。3. 拓展题：思考：在函数 y = 中，自变量 x 的取值范围是什么？为什么？【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！