广东省汕头市金山中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省汕头市金山中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷，共10页。
第Ⅰ卷 选择题
一．单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合 P  x∣ 2  x  0, M  x  Z∣x2  1，则 P  M  （ ）
A．1, 0,1 C．x∣1  x  0
命题“ x  R, x  x ”的否定是（ ）
x  R, x  x
C． x  R, x  x
B．1, 0 D．x∣ 2  x  1
x  R, x  x
D． x  R, x  x
已知圆心角为72 的扇形的弧长为 2π ，则该扇形的面积为（ ）
5
π
5
2π
5
3π
5
4π
5
若函数 y  f (x) 是函数 y  ax （ a  0 且a  1）的反函数，且 f (2)  1，则 f (8)  （ ）
 1
3
1
3
C．-3D．3
梦之谷位于汕头市濠江区，是礐石风景区的一部分。梦之谷的东、中、西三条游径形成一个“心形”，是名副其实的爱情之山。这里也是萧乾先生自传体长篇小说《梦之谷》爱情故事的诞生地，有宫鞋石、倾情石、织梦亭等景点。如图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 x 轴上方部分对应的函数解析式可能为（ ）
y  x
4  x2  y  0
y  x
4  x2  y  0
 x2  2 x
y 
y 
x 2  2x
x2  2ax  a  2, x  1
若函数 f  x  
x2a6, x  1
是R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是（）
A． 1, 3
B．3, 
C． 1, 2
D． 1, 2
若函数 f  x  ln(ax2  2x  3) 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是（）
A． 0, 1 
B．  1 ,  
C．  , 1 
D．  0, 1 
3 
 3
3 
3 

已知函数 f (x)  2 x  2 x ， g (x)  m  f (2x)  2 f (x)  m .若对于x1 0,  ， x2 0,1，使得
f x1   g x2   7 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． , 0
B． 0, 
C．  ,  1 
D．  1 ,  
3  3

二、多项选择题：本题共 3 小题，毎小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，有选错得 0 分，部分选对的得部分分.
下列函数既是偶函数，又在(, 0) 上是减函数的是（ ）
A． y  3|x|
B． y  lg(x 2  1)
5
C． y  x4
D． y   1  x
4 x
x 1
x2 1
下列命题中为真命题的是（ ）
函数 f  x  
x 1 
与函数 g  x 
为同一个函数；
若 f (x) 的定义域为[2, 2] ，则 f (2x 1) 的定义域为 1 , 3  ；
函数 f  x   2x  3 的值域为, 2 ∪ 2,  ；
x 1
x2  5

 2 2 
x2  4
若函数 f (x) 
的最小值为 2．
x2  x  1 , x  0

已知函数 f x   

4
lnx 1 , x  0
，若关于 x 的方程 f x   k k  R  有四个不同的根，它们从
小到大依次记为 x1 , x2 , x3 , x4 ，则（ ）
0  k  1
4
3
e4  x3  e
e2
0  x1 x2 x3 x4  4
4
函数 g x   f  f x  1 有 8 个零点
第Ⅱ卷 非选择题三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
 1
求值: lg3 18  lg3 2  4 2  .
已知函数 f (x)  lg a (x  3) 1 ( a  0 且a  1)的图象恒过定点 P ，若角的终边经过点 P ，则

cs(
2
) 的值为．.
已知函数 f x   ln x  1  k 有两个零点a, b(a  b) ，则a  2 b  1 的取值范围为．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题 13 分)已知0  π ， sin cs5 .
5
分别求sin cs， sin cs的值；
cs π sin  π  cs  3πsin  
 22 
求

2 sin 3π cs  sin  π cs π
的值.
2 

16．(本小题 15 分)已知 x1, x2 是方程 x2  mx  m 1  0 的两个实根．
12
若 x2  x2  6 ，求实数m 的值；
若两根都大于 1，求m 的取值范围．
17．(本小题 15 分)定义在非零实数集上的函数 f (x) 对任意非零实数 x, y 满足: f (xy)  f (x)  f ( y) ,
且当0  x 1时 f (x)  0 .
求 f (1) 及 f (1) 的值；
判断 f (x) 的奇偶性并证明；
解不等式： f (2)  f  x2  1   0 .
2 

18．(本小题 17 分)流域的水环境治理是 “十四五” 生态环境保护的核心攻坚任务之一，某纺织印染企业的污水排放监管备受关注。该企业每一天中污水污染指数 f  x 与时刻 x（时）的函数关系为 f x   lg25 x  1 a  2a  1, x  0, 24 其中a 为污水治理调节参数，且a 0,1
若a  1 ，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
2
规定每天中 f  x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3 ，则调节参数应控制在什么范围内？
19．(本小题 17 分)已知函数 f (x) 的定义域为 D ，若对任意 x  D ，都有 f (a  x)  f (a  x)  2b ，则函数 f (x) 的图象关于点(a , b ) 成中心对称图形，点(a , b ) 是函数 f (x) 图象的对称中心.已知函数
22 x1
f (x)  4x1 1, g(x) 
x2  x 1
x 1.
证明： f (x) 的图象关于点(1,1) 成中心对称图形.
求 g ( x) 图象的对称中心.
设函数h(x)  f (x)  g (x) ，将区间(2, 4) 分成(2n 1) 等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺
序依次为 x , x ,, x, x ，若不等式h  x   h  x   h  x    h  x   2m2 2m 对任意m(2,1) 恒
1 22 n1 2 n
成立，求整数 n 的最小值．
1232n
2025 级高一第一学期期中考试数学科参考答案
5
5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
D
C
D
A
B
AB
BC
BCD
12．213．5
14． (2, )
15．（1） sin cs5 两边平方得sin2  2 sincs cs2  1 ，
55
即1  2sincs 1 ， sincs  2 ，
55
其中sin cs2  sin2  2 sincs cs2  1 4  9 ，
55
又0  π ，故sin 0 ，
又sincs 0 ，故cs 0 ，则sin cs 0 ，
所以sin cs 3 5 ，
5
综上， sincs  2 ， sincs 3 5 ；
55
5
sin cs
2 5
sin

（2）方法一:由（1）知， 
55
，故，
sin cs 3 5cs  5

所以tan sin  2，
cs
55
 cscs sin  sin
cs2  sin2 
原式= 2 sincs  cs   cs  2 sincs cs2 
cs2 sin21 tan21 4
 1；
2 sincs cs2 2 tan 14 1
5
2 5


sin cs 5
（2）方法二:由（1）知， 
sin
5
，故
sin cs 3 5cs  5
55
 cscs sin  sin
cs2  sin2 1
原式= 2 sincs  cs   cs  2 sincs cs2  2 sincs cs2 
1
2  2 5 
5  1
  1
555
16．（1）由 x1, x2 是方程 x2  mx  m 1  0 的两个实根，得 x1  x2  m, x1x2  m  1 ，
2
且  m2  4m  4  0 ，解得m  2  2或m  2  2 2 ，
由 x2  x2  6 ，得(x  x )2  2x x  6 ，即m2  2m  8  0 ，
12121 2
2
解得 m  4 或m  2 ，又m  2  2
所以 m  2 .
或m  2  2 2 ， m  4 舍去，
Δ  0
 m 
2
由方程两根都大于 1，得1

，解得m  2  2 2 ，
1 m  m 1  0
所以 m 的取值范围是[2  2 2, ) .
17．(1)在 f (xy)  f (x)  f ( y) 中,令 x  y  1 ,可得 f (1)  f (1)  f (1) ,解得 f (1)  0 .
令 x  y  1,可得: f (1)  f (1)  f (1) ,解得: f (1)  0 .
函数 f (x)
是偶函数，理由如下：
f (x) 的定义域是x | x  0 ，关于原点对称令 y  1,可得 f ( x)  f (x)  f (1)  f (x) ,
所以函数 f (x)
是偶函数.
任意 x
 x  0 时,
0  x1  1 ,由题意得: f ( x1 )  0
21
22
x
x
x1x1x1
x
x
x
f (x1)  f (x2 )  f ( x2 )  f (x2 )f ()  f (x2 )  f (x2 )  f (
222
)  0 ,
所以 f (x) 在(0, ) 上是增函数,
又由(2)知 f (x) 是偶函数,
所以 f (2)  f  x2  1   0 等价于 f (2x2 1)  0 ,等价于 f (| 2x2  1|) 
f (1),
2 

又 f (x) 在(0, ) 上是增函数,所以| 2x2 1| 1,且| 2x2 1 | 0 ,
解得: 1  x  1且 x   2 ,
2
所以不等式的解集为1, 
2 
2 , 2    2
2    
22 
2 ,1
1
2

18．解：（1） 因为a  1 ,则 f  x   lg
225
 x 1  2  2 .
当 f  x  2 时， lg
 x 1  1  0 ,得1，
252
x 1  252  5
即 x  4 .所以一天中 4 时（早上4 点）该厂的污水污染指数最低.
（2）设t  lg25  x 1 ，则当0  x  24 时， 0  t  1 .
设 g t   t  a  2a 1, t 0,1 ,
 
t  3a 1, 0  t  a
则 g t  {,
t  a 1, a  t  1
max
显然 g t  在0, a 上是减函数，在a,1 上是增函数，则 f  x  maxg 0, g 1,
因为 g 0  3a 1, g 1  a  2 ,
g 0  3a  1  32
则有 { g 1  a  2  3 ，解得a  3 ，
又a 0,1 ，所以a  0, 2 
3 

故调节参数a 应控制在 0, 2  内.
3 

19．（1）证明：因为 f (x) 
22 x1
x1
22(1 x )1
，所以 f (1  x)  4(1 x )1 
22 x1

，
x
22(1 x )1
f (1  x)  4(1 x )1 
41


22 x12
 xx，
14  1
14 14  1
22 x1222 x1  2
2 4x 1
所以 f (1 x)  f (1 x)  2 ，
4x 14x 14x 14x 1
则 f (x) 的图象关于点(1,1) 成中心对称图形.
(t  1)2  (t  1)  111
（2）解：（解法一）设t  x  1 ，则m(t)  t   1，所以m(t) 1  t  .
ttt
易证 y  t  1 是奇函数，所以函数 y  t  1 的图象关于点(0, 0) 中心对称，
tt
所以函数 m(t) 的图象关于点(0,1)中心对称，
所以 g ( x) 的图象关于点(1,1) 中心对称，即 g ( x) 图象的对称中心为点(1,1) .
（解法二）因为 g( x) 
x2  x  1
x  1
(1  x)2  (1  x)  1
，所以 g(1  x) 
(1  x)  1
x2  x  1
，
x
(1  x)2  (1  x)  1
g(1  x)  
(1  x)  1
x2  x  1
，
x
x2  x 1x2  x 1
所以 g(1  x)  g(1  x)  2，
xx
则 g ( x) 图象的对称中心为点(1,1) .
解：由（1）（2）可知 f (x) 和 g ( x) 的图象都关于点(1,1) 成中心对称图形，h  x  f  x  g  x ，所以 h 1 x  f 1 x  g 1 x, h 1 x  f 1 x  g 1 x ，
所以 h 1 x  h 1 x  f 1 x  f 1 x  g 1 x  g 1 x  4
所以函数h( x) 的图象关于点1, 2 成中心对称图形.因为区间(2, 4) 关于直线 x  1 对称，
所以 h  x1   h  x2n   h  x2   h  x2n1   h  x3   h  x2n2    h  xn   h  xn1   4 ，所以 h  x1   h  x2   h  x3   h  x2n   4n .
因为不等式h x   h x  h x   h x
 2m2 2m 对任意m(2,1) 恒成立，所以
1232 n
4n  2m2 2m max .
因为2  m  1且m2  2m  (m 1)2 1，
所以1  m2  2m  3 ，故 1  2m2 2m  8
2
所以4n  8，即整数n 的最小值是 2.