2025-2026学年浙江省绍兴市新昌县潜溪中学九年级（上）11月期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年浙江省绍兴市新昌县潜溪中学九年级（上）11月期中数学试卷（含答案+解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列事件中，是必然事件的是( )
A. 明天太阳从东方升起
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C. 射击运动员射击一次，命中靶心
D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2.下列函数中，y是关于x的二次函数的是( )
A. y=3xB. y=−xx−2C. y=1x2D. x=y2
3.将抛物线y=2x2先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是( )
A. y=2(x−1)2+1B. y=2(x+1)2+1
C. y=2(x+1)2−1D. y=2(x−1)2−1
4.若xy=34，则下列各式中不正确的是( )
A. x+yy=74B. yy−x=4C. x+2yx=113D. x−yy=14
5.下列语句中，正确的有( )①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.如图，在△ABC中，∠AED=∠B，若DE=6,AB=10,AE=8，则BC的长是( )
A. 154B. 152C. 7D. 8
7.如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB=25∘，∠OCA=40∘，则∠BOC的度数为( )
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘
8.如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB=90 ∘，C为AB⌢上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E.若∠CDE为36 ∘，则图中阴影部分的面积为( )
A. 10πB. 9πC. 8πD. 6π
9.如图，AD是三角形ABC的高线，AB=15，AC=12，AD=10，则三角形ABC的外接圆的直径AE的长为( )
A. 20B. 18C. 16D. 14
10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是4,0.下列选项正确的是( )
①a−b+c>0；
②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是(−3,0)；
③若点−1,y1和2,y2在该抛物线上，则y1BP，AB=2，则AP= (保留根号)
14.如图，△ABC和△DEF是位似三角形，AC=2DF，则S△ABC:S△DEF= .
15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x与相交于点A，B，点B的坐标为(3,0)，若点C(2,3)在抛物线上，则AB的长为 .
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ∘，AC=3，BC=4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上．若△EFC和△ABC相似，则AD的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知a：b=3：2，求：
(1)a+bb
(2)2a−7b4b
18.(本小题8分)
如果二次函数y=x2−x+c的图象过点1,2.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)它有最大值还是最小值？求出当 x取多少时，最大值或最小值是多少？
19.(本小题8分)
在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E.
(1)求证：BD=CD.
(2)若DE⌢=64 ∘，求∠AED的度数．
21.(本小题8分)
某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为多少高度？
22.(本小题8分)
“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米(即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离).
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
23.(本小题8分)
如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
24.(本小题8分)
如图，为了探究某种类型矩形ABCD的性质，数学项目学习小组在BC边上取一点E，连接DE.经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上．据此解决下列问题：
(1)求证：△AFD≌△DCE；
(2)如图，延长CF交AE于点 G，交AB于点H.
①求证：AH⋅AF=AG⋅CF；
②求GHGF的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【详解】A.明天太阳从东方升起是必然事件，故A正确；
B.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数是随机事件，故B错误；
C.射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故C错误；
D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误．
故选A.
2.【答案】B
【解析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做y是x的二次函数．据此判断即可．
【详解】解：A.该函数不是二次函数，故此选项不符合题意；
B.y=−xx−2=−x2+2x，该函数是y关于x的二次函数，故此选项符合题意；
C.该函数不是二次函数，故此选项不符合题意；
D.该函数不是y关于x的二次函数，故此选项不符合题意．
故选：B.
3.【答案】B
【解析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；根据函数图像平移规则：“左加右减”针对自变量x，“上加下减”针对函数值y，然后问题可求解．
【详解】解：将抛物线y=2x2先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是y=2(x+1)2+1；
故选B.
4.【答案】D
【解析】设x=3k,y=4k.代入选项计算结果，排除错误答案．
【详解】解：设x=3k,y=4k.
A.x+yy=3k+4k4k=74,正确．
B.yy−x=4k4k−3k=4,正确．
C.x+2yx=3k+8k3k=113,正确．
D.x−yy=3k−4k4k=−14,错误．
故选：D
5.【答案】B
【解析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键；根据圆的性质，判断每个语句的正确性，考虑同圆或等圆的条件以及弦是否为直径，然后问题可求解．
【详解】解：∵①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，故①错误；
∵②等弧对等弦，故②正确；
∵③平分弦的直径垂直于弦，当弦为直径时不一定垂直，故③错误；
∵④经过圆心的直线是圆的对称轴，故④正确；
∴正确的有②④，共2个；
故选B.
6.【答案】B
【解析】由公共角∠DAE=∠CAB，已知∠AED=∠B，可证△DAE∼△CAB，利用相似比求BC.
【详解】解：∵∠DAE=∠CAB，∠AED=∠B，
∴△DAE∼△CAB，
∴DEBC=AEAB，
∵DE=6,AB=10,AE=8，
∴BC=152.
故选：B.
7.【答案】A
【解析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA=∠OAB=25∘，∠OAC=∠OCA=40∘，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【详解】解：∵OA=OB，∠OAB=25∘，
∴∠OBA=∠OAB=25∘，
∴∠AOB=180∘−∠OAB−∠OBA=130∘，
∵OA=OC，∠OCA=40∘，
∴∠OAC=∠OCA=40∘，
∴∠AOC=180∘−∠OAC−∠OCA=100∘，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=130∘−100∘=30∘，
故选：A.
8.【答案】A
【解析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC面积求解本题．
【详解】连接OC交DE为F点，如下图所示：
由已知得：四边形DCEO为矩形．
∵∠CDE=36∘，且FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=54∘，△DCE面积等于△DCO面积．
S阴影=S扇形AOB−S扇形AOC=90∙π∙102360−54∙π∙102360=10π.
故选：A.

9.【答案】B
【解析】此题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接BE，根据圆周角定理得到∠ADC=∠ABE=90 ∘，由此证得△ADC∽△ABE，根据对应边成比例，列式计算求出AE的长．
【详解】解：连接BE，如图所示，
∵AE是直径，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ABE=90 ∘，
∵∠C=∠E，
∴△ADC∽△ABE，
∴ABAD=AEAC，
∴1510=AE12
∴AE=18，
故选：B.
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是4,0，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是−2,0，故②错误；
∴当x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵点−1,y1和2,y2在该抛物线上，且1−−1=2>2−1=1，
∴y1BP，AB=2，
∴AP= 5−12AB= 5−12×2= 5−1，
故答案为： 5−1.
14.【答案】4:1
【解析】本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的面积之比等于位似比的平方，据此可得答案．
【详解】解：∵△ABC和△DEF是位似三角形，AC=2DF
∴S△ABC:S△DEF=AC2:DF2=2DF2:DF2=4:1，
故答案为：4:1.
15.【答案】4
【解析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线y=−x2+2x+3，再令y=0，得0=−x2+2x+3，解得x=−1或x=3，从而即可得解．
【详解】解：把点B(3,0)，点C(2,3)代入抛物线y=ax2+bx+3得，
0=9a+3b+33=4a+2b+3，
解得a=−1b=2，
∴抛物线y=−x2+2x+3，
令y=0，得0=−x2+2x+3，
解得x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，
∴AB=3−−1=4；
故答案为：4.
16.【答案】95或52
【解析】△EFC和△ABC相似，分两种情况：①△EFC∽△BAC时，∠CEF=∠B，
此时EF//AB，CD为AB边上的高；②当△EFC∽△ABC时，由相似三角形角之间的关系，可以推出∠B=∠DCB与∠DCA=∠A，从而得到DB=DC=DA，即D为AB的中点．
【详解】解：①如图(1)，当△EFC∽△BAC时，∠CEF=∠B，
∴EF//AB，
连接CD，由折叠可得：EF⊥CD，
∴AB⊥CD，
∴∠ADC=90 ∘，
∵∠ACB=90 ∘，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
由三角形面积公式可得：12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125，
∴AD= AC2−CD2= 32−(125)2=95；
②如图(2)，当△EFC∽△ABC时，∠CEF=∠A，
连接CD交EF于点P，
由折叠可得：EF⊥CD，
∴∠PCF+∠PFC=90 ∘，
又∵∠FEC+∠PFC=90 ∘
∴∠PCF=∠FEC，
∴∠PCF=∠A，
即∠DCA=∠A，
∴DA=DC，
同理DB=DC，
∴DA=DB=12AB=52；
综上所述，AD的长为95或52.
17.【答案】【小题1】
解：∵a：b=3：2，
∴设a=3k，b=2k(k≠0)，
a+bb=3k+2k2k=52；
【小题2】
解：∵a：b=3：2，
∴设a=3k，b=2k(k≠0)，
2a−7b4b=2×3k−7×2k4×2k=−1.

【解析】1.
根据已知条件设a:b=3：2=k(k≠0)，得出a=3k，b=2k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案；
2.
根据已知条件设a:b=3：2=k(k≠0)，得出a=3k，b=2k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案；
18.【答案】【小题1】
解：将点1,2代入y=x2−x+c中得，
1−1+c=2解得c=2，
∴这个二次函数的解析式为y=x2−x+2；
【小题2】
由(1)得，二次函数的解析式为y=x2−x+2，
∵a=1>0，开口向上，
∴这个二次函数有最小值，
∵y=x2−x+2=x−122+74，
∴顶点坐标为12,74，
∴当x=12时，y有最小值，最小值为74.

【解析】1.
本题考查了待定系数法求二次函数解析式和求二次函数的最值，熟练掌握待定系数法和求二次函数的最值是解题的关键．
将已知坐标代入二次函数解析式中求出c的值，即可求出这个二次函数的解析式；
2.
先根据二次函数的开口方向，可判断这个二次函数有最小值，再将(1)中的解析式利用配方法化为顶点式，求出顶点坐标，即可求得最小值．
19.【答案】【小题1】
解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种，
∴甲获胜的概率为812=23；
【小题2】
解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：
由(1)中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，
∴乙获胜的概率为412=13，
∵13