辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
5．已知圆和圆，则（ ）
A．圆与圆相切
B．两圆公共弦所在直线的方程为
C．两圆的公切线段长为3
D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线
6．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（ ）

A．1B．2C．3D．4
7．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
二、多选题
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点与焦点不重合，若关于，对称的点分别为，，线段的中点在椭圆上，则（ ）
A．若形成，则周长是定值为
B．
C．的最小值为
D．当点与原点重合时，点的轨迹方程是
10．在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（ ）
A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线围成图形的面积为
C．曲线的周长为
D．曲线上任意两点间距离的最大值8
11．历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点的长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ）
A．点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为
B．该曲线上任意两点之间的最大距离为
C．该截口曲线的焦距是
D．点为该曲线的一个焦点
三、填空题
12．直线与直线平行，则 ．
13．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为 .
14．已知直线关于对称的直线与圆相离，则的范围为是
四、解答题
15．设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点
(1)求点，的坐标；
(2)求斜边中线所在的直线方程；
(3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围.
16．已知在正方形中，，点在边上，且，把沿折起，使得点到达点处，.设，，
(1)用，，表示；
(2)求.
17．已知点及圆
(1)若直线过点且与圆相切，求直线的方程；
(2)设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程；
(3)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
18．如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.
(1)求证：直线平面；
(2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值.
19．已知平面内的动点的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点与两定点，的距离之比，（且的常数），其方程为，定点分别为椭圆的上焦点与上顶点，且椭圆与轴的两个交点之间的距离为，过点作斜率为的直线交圆于点，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为锐角（其中是原点），求斜率的取值范围；
(3)设椭圆的下焦点为，求面积的最大值.
12．
13．
14．
15．（1）
由可得，
令且，解得，，
故直线恒过定点
设，则，
故则，
解得，故
（2）由于，，
故的中点坐标，则，
故直线方程为，即
（3）法一：设与轴的交点为，
①当动点在上运动时，
由斜率的几何意义可得，
当与重合时，，
当在轴上时，，所以.
②当动点在上运动时，
由斜率的几何意义可得，
当在轴上时，，
当与重合时，，所以，
综上可得.
法二：由于，，
得，所以，即
则线段的方程为且③③
设，其中不为0，
得代入③化简整理得，
即，且，
令，且，
解得 ，则，
即.
16（1）因为，且，，所以，
， .
（2）由题意得，
所以，，， ， ，
所以
即
计算得
所以.
17．（1）由得
设直线的斜率为，则方程为.
又圆的圆心为，半径，
由，解得或.
所以直线方程为或，
即直线的方程为或.
（2）
设的中点为，则，
又，所以，
,

化简得
（2）（1）得代入（2）得
或
或，
以为直径的圆的方程为或.
（3）存在实数满足题意
由直线与圆交于，两点，
则圆心到直线的距离，解得.
设符合条件的实数存在，
由于垂直平分弦，故圆心必在上.
所以的斜率，而，所以
由于
故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.
18．（1），是.的中点，，
又平面，平面 平面，
平面，平面面，，
，平面面，平面平面，
平面，
平面；
（2），平面平面
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则点在平面内，，，，，，
则，，，
设，
则点坐标为，，，
，解得，
则点坐标为，知，，
设平面的法向量，
即，即，取，可得；
设平面法向量为，
则，即，取，可得；
，
即平面与平面所成角的余弦值为.
19．（1）取，由阿波罗尼斯圆定义可得，
由题可知，代入上式可解得，
则，所以椭圆的标准方程为.
（2）由题设可知：斜率存在且不为零，设，
联立方程，消去y得，
则，解得，
设两交点，，可得，，
若使为锐角，则满足，
因为
，
可得，解得，可得或，
所以斜率的取值范围为.
（3）解法一：因为斜率存在且不为零，设，
圆的圆心为，半径，
则点到直线的距离为，
且原点到直线的距离，则，
可得，
令，则，
可得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以面积的最大值为3；
解法二：由题意可知：，，同号，
且， ，
因为
，
令，则，
可得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以面积的最大值为3.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
A
D
D
A
D
ABC
ACD
题号
11









答案
ABC