2025-2026学年河南省南阳市桐柏县九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年河南省南阳市桐柏县九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是( )
A. 3 3− 3=3B. 2+ 3= 5C. 2× 3= 6D. 8÷ 2=4
2.如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成30∘角，这棵树在折断前的高度为( )
A. 6米B. 8米C. 10米D. 12米
3.关于x的方程x2+2x+m=0有两个根为x1、x2，则x1+x2=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
4.如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=8，BC=20，△EFM的周长是( )
A. 26
B. 28
C. 30
D. 32
5.已知2a=3b，则下列式子正确的是( )
A. ab=23B. a−bb=13C. a+bb=52D. a+2b+2=45
6.如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE：BE=1：2，BD与CE相交于点F，则DF：BF的值是( )
A. 1
B. 12
C. 23
D. 32
7.如图，已知△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，下列说法错误的是( )
A. AB：DE=1：3
B. 若AD=4，则OD=6
C. OAOD=OCOF
D. OAAD=BCEF
8.如图是一个正方形网格，里面有许多三角形.在下面所列出的各三角形中，与△ABC不相似的是( )
A. △BDEB. △BCDC. △FGHD. △BFG
9.如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2.设道路的宽为x m，可列方程是( )
A. (30−2x)(20−x)=468
B. 20×30−30x−2×20x=468
C. (30−x)(20−2x)=468
D. 20×30−30x−20x=468
10.如图，四边形ABCD是矩形，E为BC边上一点，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边的点F处.若△AFD的周长为18，AF=3EF，则矩形ABCD的周长为( )
A. 16B. 20C. 24D. 48
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.将一元二次方程x2−4=9x化为一般形式后，常数项为−4，则一次项的系数为 .
12.如图，在△ABC中，添加一个条件： ，使△ABP∽△ACB.
13.实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简 a2+|a−b|=______.
14.如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中阴影部分)的面积分别是1，4和16.则△ABC的面积是______.
15.对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Mar{a,b}表示a、b中的较大值，如：Max{2,5}=5，Max{2,−1}=2，按照这个规定，方程Max{1,4x)=x2−5的解为x= .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算下列各题：
(1) 18−2 2− 82+(5−π)0+(12)−1；
(2)( 12+3 3)× 3+( 3+ 2)( 3− 2).
17.(本小题12分)
用适当的方法解方程：
(1)x2+2x−5=0；
(2)x2−2 5x+2=0；
(3)(2x−1)2+3(2x−1)+2=0.
18.(本小题9分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图.
(1)在图①中，分别在AB，AC上画点D，E，连接DE，使△ADE∽△ABC，且ADAB=12.
(2)在图②中，以点O为位似中心，画出△FGH使其与△ABC位似，且位似比为12.
(3)在图③中，分别在BC、AC上画点M、N，连接MN，使△CMN∽△CBA，且CMCB=13.
19.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2−3x+m−2=0.
(1)若方程有一根为4，求m的值及另一根的值；
(2)若方程有两个不等实根，求实数m的取值范围；
(3)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.若关于x的一元二次方程x2−3x+m−2=0是邻根方程，求m的值并说明理由.
20.(本小题9分)
【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：
(1)如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，可以猜想：DE//BC且DE=12BC.请用演绎推理写出证明过程.
【结论应用】
(2)如图②，在四边形ABCD中，AD=BC，点P是对角线BD的中点，M是DC中点，N是AB中点，∠MPN=130∘，则∠PNM=______.
【拓展延伸】
(3)如图③，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=6，BD=8，点H、Q分别为AD、BC的中点，则求HQ的值.
21.(本小题9分)
某商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，国庆期间，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设该商品每件降价x元，
(1)降价后，每天的销售量是______千克，日盈利为______元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述销售正常情况下，为降低库存，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
22.(本小题9分)
【阅读材料】为了解方程(x2−1)2−5(x2−1)+4=0，我们可以将x2−1视为一个整体，然后设x2−1=y，则原方程可化为：y2−5y+4=0①，解得：y1=1，y2=4.
当y1=1时，即x2−1=1，∴x=± 2；当y2=4时，即x2−1=4，∴x=± 5.
∴原方程的解为：x=− 2,x= 2,x=− 5,x= 5.
【解答问题】
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
(2)请利用以上知识解决问题：若(m2+n2−2)(m2+n2)=8，求m2+n2的值.
23.(本小题10分)
已知：在矩形ABCD中，E为AD的中点，作CF⊥BE于点F.
(1)如图(1)，求证：△ABE∽△FCB；
(2)如图(1)，若BC=4，求BF⋅BE的值；
(3)如图(2)，连结BD交CF于G，若DGBG=32，求BCDC的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.3 3− 3=2 3，所以A选项不符合题意；
B. 2与 3不能合并，所以B选项不符合题意；
C. 2× 3= 2×3= 6，所以C选项符合题意；
D. 8÷ 2= 8÷2=2，所以D选项不符合题意．
故选：C.
根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：如图，AC=2，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴AB=2AC=2×2=4，
∴4+2=6(米)，即这棵树在折断前的高度为6米，
故选：A.
根据AB=2AC=4，进一步即可得到答案．
本题考查了含30度角的直角三角形，关键掌握直角三角形中30∘的角所对的直角边是斜边的一半．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，根据根与系数的关系得，
∴x1+x2=−ba=−21=−2.
故选：D.
依据题意，由一元二次方程根与系数的关系，即“x1+x2=−ba”直接计算两根之和即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，BC=20，
∴FM=12BC=10，
同理可得：ME=12BC=10，
∵EF=8，
∴△EFM的周长=FM+ME+EF=10+10+8=28.
故选：B.
根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长．
5.【答案】C
【解析】解：A、∵ab=23，
∴3a=2b，故不符合题意；
B、∵a−bb=13，
∴3a−3b=b，
∴3a=4b，故不符合题意；
C、∵a+bb=52，
∴2a+2b=5b，
∴2a=3b，故符合题意；
D、∵a+2b+2=45，
∴5a+10=4b+8，
∴5a=4b−2，故不符合题意；
故选：C.
把每一个选项的比例式转化为等积式，逐一判断即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，且AB=CD.
∵AE：BE=1：2，
∴DC：BE=(1+2)：2=3：2.
∵AB//CD，
∴△CDF∽△EBF，
∴DF：BF=DC：BE=3：2.
故选：D.
利用平行四边形的性质，可得出AB//CD且AB=CD，结合AE：BE=1：2，可得出DC：BE=3：2，由AB//CD，可得出△CDF∽△EBF，再利用相似三角形的性质，即可求出DF：BF的值．
本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的对应边成比例，求出DF：BF的值是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，BC//EF，ABDE=BCEF=13，
故A选项正确，不符合题意；
∵AB//DE，BC//EF，
∴△OAB∽△ODE，△OBC∽△OEF，
∴OAOD=OBOE=ABDE，OCOF=OBOE=BCEF，
∴OAOD=OCOF，
故C选项正确，不符合题意，D选项错误，符合题意；
∵AD=4，
∴OAOD=OD−ADOD=OD−4OD=BCEF=13，
∴OD=6，
故B选项正确，不符合题意．
故选：D.
由位似图形的概念得出△ABC∽△DEF，AB//DE，BC//EF，ABDE=BCEF=13，从而得出△OAB∽△ODE，△OBC∽△OEF，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解．
本题考查位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设每个小正方形的边长为1，则在△ABC中，AB=1，AC= 2，BC= 5，
A、在△BDE中，DE=2，BD=2 2，BE=2 5，
∵ABDE=12，ACBD= 22 2=12，BCBE= 52 5=12，
∴ABDE=ACBD=BCBE，
∴△ABC∽△DEB，故A选项不符合题意；
B、在△BCD中，CD=1，BC= 5，BD=2 2，
∵ABCD=1，ACBC= 2 5= 105，BCBD= 52 2= 104，
∴ABCD≠ACBC≠BCBD，
∴△ABC和△BCD不相似，故B选项符合题意；
C、在△FGH中，HG= 2，FH=2，FG= 10，
∵ABHG=1 2= 22，ACFH= 22，BCFG= 5 10= 22，
∴ABHG=ACFH=BCFG，
∴△ABC∽△HGF，故C选项不符合题意；
D、在△BFG中，BF= 5，FG= 10，BG=5，
∵ABBF=1 5= 55，ACFG= 2 10= 55，BCBG= 55，
∴ABBF=ACFG=BCBG，
∴△ABC∽△FBG，故D选项不符合题意；
故选：B.
根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可．
本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意得：(30−2x)(20−x)=468.
故选：C.
设道路的宽度为x m，则六块菜地可合并成长为(30−2x)m，宽为(20−x)m的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为468m2，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列出方程是解决本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90∘，AB=CD，AD=BC，
∴∠DAF+∠DFA=90∘，
∵将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边的点F处，
∴∠AFE=∠B=90∘，BE=EF，AF=AB，
∴∠DFA+∠EFC=180∘−∠AFE=90∘，
∴∠DAF=∠CFE，
∴△ADF∽△FCE，
∴C△ADFC△FCE=AFEF=3，
∴C△FCE=13C△ADF=13×18=6，
即CF+CE+EF=6，
∵C△ADF=AD+DF+AF=18，
∴AD+DF+AF+CF+CE+EF
=AD+DF+AB+CF+CE+BE
=AD+CD+AB+BC，
∴C矩形ABCD=24.
故选：C.
由矩形的性质与折叠可得∠B=∠C=∠D=90∘，∠DAF=∠CFE，从而证得△ADF∽△FCE，根据相似三角形的性质得到C△ADFC△FCE=AFEF=3，因此C△FCE=13C△ADF=6，再由矩形ABCD的周长等于△ADF与△FCE的周长之和即可解答．
本题主要考查翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
11.【答案】−9
【解析】解：∵一元二次方程x2−4=9x化为一般形式后，常数项为−4，
∴x2−9x−4=0，
∴一次项系数为−9.
故答案为：−9.
先把方程化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)，这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．
12.【答案】∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP⋅AC
【解析】解：在△ABP和△ACB中，
∵∠A=∠A，
∴当∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或ABAC=APAB即AB2=AP⋅AC时，
△ABP∽△ACB，
故答案为：∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP⋅AC.
相似三角形的判定，对应角相等，对应边成比例，题中∠A为公共角，再有一对应角相等即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是记住相似三角形的判定方法，属于基础题中考常考题型．
13.【答案】b−2a
【解析】解：由数轴可知：a14时，方程为：x2−5=4x，即x2−4x−5=0，
解得：x1=−1(舍去)，x2=5；
∴此时x=5，
当4x0，
∴m0，代入求解即可；
(3)根据邻根方程的定义得出其方程的解都满足x2−x1=1，结合根与系数的关系求出x1+x2，x1x2，再由x2−x1= (x1+x2)2−4x1x2即可求出m的值．
本题考查的知识点是由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程的相关知识点．
20.【答案】(1)∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD：AB=AE：AC=1：2.
∵∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，
∴DE：BC=1：2，∠ADE=∠B，
∴DE//BC且DE=12BC 25∘ (3)5
【解析】(1)证明：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD：AB=AE：AC=1：2.
∵∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，
∴DE：BC=1：2，∠ADE=∠B，
∴DE//BC且DE=12BC；
(2)解：∵点P是对角线BD的中点，M是DC中点，N是AB中点，AD=BC，
∴PN是△ABD是中位线，PM是△BCD的中位线，
∴PN=12AD=12BC=PM，
∴∠PNM=∠PMN，
∵∠MPN=130∘，
∴∠PNM=12(180∘−130∘)=25∘，
故答案为：25∘；
(3)解：如图③，点H、Q分别为AD、BC的中点，取AB的中点G，连接HG，QG，
∴HG//BD且HG=12BD=4.QG//AC且QG=12AC=3.
∵AC⊥BD，
∴HG⊥QG，即∠HGQ=90∘；
在直角三角形HGQ中，由勾股定理得：HQ= HG2+QG2=5.
(1)证△DAE∽△BAC推出DE：BC=1：2，∠ADE=∠B，即可求证；
(2)由题意得PN=12AD=12BC=PM，推出∠PNM=∠PMN，即可求解；
(3)取AB的中点G，连接HG，QG，推出HG//BD且HG=12BD=4.QG//AC且QG=12AC=3.根据AC⊥BD，推出∠HGQ=90∘即可求解．
本题属于四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质综合以及勾股定理解三角形，利用相似三角形证明三角形的中位线定理是解题关键．
21.【答案】(30+2x)，(50−x)(30+2x)或1500+70x−2x2；
每件商品降价25时，商场日盈利可达到2000元
【解析】(1)∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，则每天的销售量是(30+2x)件，每件商品盈利(50−x)元．
∴日盈利为(50−x)(30+2x)=(1500+70x−2x2) 元，
故答案为：(30+2x)，500+70x−2x2.
(2)根据题意列一元二次方程得：(50−x)×(30+2x)=2000，
解得：x1=10，x2=25，
∵尽快减少库，
∴x=25，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
(1)根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额，根据“盈利=单件利润×销售数量”，进而求得日盈利；
(2)根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】换元 (2)4
【解析】解：(1)由题知，
由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想．
故答案为：换元；
(2)设m2+n2=x，
则原方程可化为(x−2)⋅x=8，
解得x1=−2，x2=4.
因为m2+n2≥0，
所以m2+n2=4.
(1)根据所给解题过程，得出所用方法为换元法即可解决问题；
(2)根据所给解题方法进行计算即可．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及换元法解一元二次方程，熟知换元法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
23.【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90∘，
∴∠AEB=∠EBC，
∵CF⊥BE于点F，
∴∠BFC=90∘，
∴∠A=∠BFC，
∴△ABE∽△FCB；
8；
2 33
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90∘，
∴∠AEB=∠EBC，
∵CF⊥BE于点F，
∴∠BFC=90∘，
∴∠A=∠BFC，
∴△ABE∽△FCB；
(2)解：在矩形ABCD中，E为AD的中点，BC=4，
∴AD=BC=4，
∴AE=ED=12AD=2，
由(1)得△ABE∽△FCB，
∴BEBC=AEBF，
∴BF⋅BE=BC⋅AE=4×2=8；
(3)解：如图，过点G作GH⊥BC于点H，
∴∠GHB=∠DCB=90∘，
又∵∠GBH=∠DBC，
∵△BGH∽△BDC，
∴GHDC=BHBC=BGBD=BGBG+DG=22+3=25，
∴GH=25CD,BH=25BC,CH=35BC，
由(1)得△ABE∽△FCB，
∴∠ABE=∠BCF，
∵∠A=∠GHC=90∘，
∴△ABE∽△HCG，
∴ABCH=AEGH，
∴AB⋅GH=AE⋅CH，
在矩形ABCD中，AB=CD，AE=ED=12AD=12BC，
∴CD⋅25CD=12BC⋅35BC，即25CD2=310BC2，
∴BC2CD2=25310=43，
∴BCCD= 43=2 33.
(1)证明∠AEB=∠EBC，∠A=∠BFC即可；
(2)根据相似三角形的对应边成比例，求解即可；
(3)过点G作GH⊥BC于点H，证明△BGH∽△BDC和△ABE∽△HCG，根据相似三角形对应边成比例求解即可．
本题属于相似形综合题，主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．