内蒙古自治区赤峰第四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

这是一份内蒙古自治区赤峰第四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
抛物线 y  4x2 的焦点到准线的距离是
B. 4C.
1D. 1
48
已知 a  1, 2, 3, b  4, x, 2 ，且 a  b ，则实数 x 的值为（）
1
B. 0C. 1D. 5
直线l1 : ax  y 1  0, l2 : a  2 x  ay 1  0 ，则“ a  2 ”是“ l1//l2 ”的（ ）条件
3
A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要
x2y2
FF1F
已知椭圆 a2  b2
 1(a  b  0) 的左、右焦点分别为 1 、 2 ，短轴长为4，离心率为 2 ，过点 1
的直线交椭圆于 A ， B 两点，则ABF2 的周长为
A. 4B. 8C. 16D. 32
过点1, 0 作直线l 与圆 x  22   y  12  1相切，斜率的最大值为 M ，若 a  b  M ， a  0 ，
b  0 ，则 1  4 的最小值是（ ）
ab
2728
A 12B. 9C.D.
43
已知抛物线 y2  8x 的焦点为 F，点 P 在抛物线上运动，点 Q 在圆 x  52   y 12  1上运动，则
PF  PQ 的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
如图所示，在正三棱柱 ABC  A1B1C1 中，AA1  AB  2 ，则异面直线 A1C 与 AB1 所成角的余弦值为（ ）
2
1
2
2
1
4
2
4
FFx2y2F

设 1 ， 2 是双曲线C : 22 1a  0,b  0 的左，右焦点， O 是坐标原点，过点 2 作C 的一条渐
6
ab
近线的垂线，垂足为 P ．若 PF1

OP ，则C 的离心率为（）
2
​
​
2D. 3
3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法正确的是（）
到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.
1
方程 x2  y2  mn  0 表示双曲线.
mn
到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线
椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越扁
x2y2
已知双曲线 C：
的左右焦点分别为 F , F ，且 F F  4 ，A、P、B 为双曲线
a2b2
（1 a
0, b0）
121 2
上不同的三点，且 A、B 两点关于原点对称，直线 PA 与 PB 斜率的乘积为 1，则下列正确的是（）
2
双曲线 C 的实轴长为
2
双曲线 C 的离心率为
6
若 PF1  PF2  0 ，则三角形 PF1F2 的周长为4  2
2x  y 的取值范围为(,  6] [ 6, )
C： 
x2
已知椭圆
2
2
3
y
2  1a  b  0 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，短轴长为2
1
P
，离心率为 2 ， 是椭
ab
圆C 上异于长轴端点 A, B 的一动点，点Q 与点 P 关于原点对称，则（）
VPF1F2 的面积最大值为2
PF1
QF1
11的最小值为1
若以 PR 为直径的圆经过 A, B 两点，则 R 点的轨迹方程为4x2  3y2  16  x  2
π
椭圆C 上存在点 P ，使得F1PF2  3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
已知圆C ： x2  y2  4 和圆C ： x2  y2  2x  4 y  0 ，则两圆公共弦所在直线的方程为.
1
已知双曲线
2
1
x
2  y2  ，过点 P 2,1 作直线与双曲线交于 A, B 两点，且点 P 恰好是线段
2
AB 的中点，
则直线 AB 的方程是．
x2y2
221
已知点 P 是椭圆C :
43
 1 上一动点，过点 P 作G : (x  1)  y
 的切线 PA、PB，切点分别为
4
A、B，当 PG  AB 最小时，线段 AB 的长度为．
四、解答题：本题共 5 小题．共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图所示，四棱锥 P  ABCD 的底面 ABCD 是矩形， PB  底面 ABCD ， AB  BC  3 ， BP  3 ，
CF  1 CP ， DE  1 DA ．
33
证明： EF P平面 ABP ；
求直线 PC 与平面 ADF 所成角的正弦值．
已知抛物线C : y2  2 px ，斜率为 2 的直线l 交抛物线于 M , N 两点，且 M 1, 2 ．
3
求抛物线C 的方程；
试探究：抛物线C 上是否存在点 P ，使得 PM  PN ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由.
5
1
如图，直三棱柱 ABC  A B C 的体积为 1， V A BC 的面积为．
2
1 1 1
求点 A 到平面 A1BC 的距离；
设 D 为 A1C 的中点， AA1  2 AB ，平面 A1BC ⊥平面 ABB1 A1 ，求二面角 A  BD  C 的正弦值．
已知双曲线C : x2  y2  1a  0, b  0 的左，右顶点分别为 A , A ，过C 的右焦点 F 2, 0 的直线l 与
a2b212
C 的右支交于 P, Q 两点．当l 与 x 轴垂直时， PA F  π ．
14
求C 的方程；
直线 A1P, A1Q 与直线 x  1 的交点分别为 M , N ，求 MN 的最小值．
已 知 圆 锥 曲 线 G ： Ax2  By2  2Dx  2Ey  F  0 ， 称 点 P  x0 , y0  和 直 线 l ：
Ax0 x  By0 y  D  x  x0   E  y  y0   F  0 是圆锥曲线 G 的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲
线以 x x 替换 2 ，以 x0  x 替换 x（另一变量 y 也是如此）.特别地，对于椭圆 x2  y2  ，点 P  x , y 
0x2
x0 x  y0 y  1
x2y2
a2b2100
F
对应的极线方程为
a2b2
F2 .
.已知椭圆 C： a2  b2
 1(a  b  0) ，椭圆 C 的左、右焦点分别为 1 、
若极点 F (2 3, 0) 对应的极线 l 为 x  8 3 ，求椭圆 C 的方程；
23
当极点 Q 在曲线外时，过点 Q 向椭圆 C 引两条切线，切点分别为 M，N，证明：直线 MN 为极点 Q
的极线；
已知 P 是直线 y   1 x  4 上的一个动点，过点 P 向（1）中椭圆 C 引两条切线，切点分别为 M，
2
N，是否存在定点 T 恒在直线 MN 上，若存在，当 MT  TN 时，求直线 MN 的方程；若不存在，请说明理由.
赤峰第四中学 2025-2026 学年第一学期月考试题
高二数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
抛物线 y  4x2 的焦点到准线的距离是
B. 4C.
【答案】D
1D. 1
48
【解析】
【详解】试题分析：因为抛物线方程 y  4x2 可化为 x2  1 y=2  1  y，p  1 ，所以抛物线 y  4x2 的焦
488
1
点到准线的距离是
8
，故选 D.
考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.
已知 a  1, 2, 3, b  4, x, 2 ，且 a  b ，则实数 x 的值为（）
A. 1
B. 0C. 1D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】因为 a  1, 2, 3, b  4, x, 2 ， a  b ，所以4  2x  6  0 ，解得 x  1 .
故选：C.
【分析】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】若l1//l2 ，则 a  a  2  a  2a 1  0 ，可得 a  2 或 a  1 ，
2
a  2 时， l : 2x  y 1  0, l : 2x  y  1  0 ，即两直线平行，符合；
122
a  1 时， l1 : x  y 1  0, l2 : x  y 1  0 ，即两直线重合，不符.
3. 直线l1 : ax 
y 1  0, l2 : a  2 x  ay 1 
0 ，则“ a  2
”是“ l1//l2 ”的（ ）条件
A. 必要不充分
【答案】C
【解析】
B. 充分不必要
C. 充要
D. 既不充分也不必要
所以 a  2 ，即 a  2 是l1//l2 的充要条件.
故选：C

x2y2
已知椭圆
a2b2
 1(a  b  0) 的左、右焦点分别为 F 、 F ，短轴长为4，离心率为 1 ，过点 F
3
1221
的直线交椭圆于 A ， B 两点，则ABF2 的周长为
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆的定义，结合 a2  b2  c2 ，即可求解，得到答案．
x2y21
3
【详解】由题意，椭圆 a2  b2  1(a  b  0) 的短轴长为4，离心率为 2 ，
c2a2  b2b21
3
所以 1 ， 2b  4，则b 2  12 ，所以 a  4 ，
a2a2
a24
所以ABF2 的周长为 AF1  AF2  BF1  BF2  4a  16 ，
故选 C．
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程，以及简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
过点1, 0 作直线l 与圆 x  22   y  12  1相切，斜率的最大值为 M ，若 a  b  M ， a  0 ，
b  0 ，则 1  4 的最小值是（ ）
ab
2728
A. 12B. 9C.D.
43
【答案】A
【解析】
【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出 k  0 或 k  3 ，再应用基本不等式计算最小值即可.
4
1 k 2
3k 1
【详解】设直线l 的方程为 y  k  x 1 ，圆心2,1 到直线l 的距离为
k  3 ，
4
 1 ，解得 k  0 或
所以 M  3 ，所以 a  b  3 ，
44
b  4a ab
所以 1  4  4 a  b 1  4   4  5  b  4a   4  5  2
  12 .
ab3
 ab 3 
ab 
3 

当且仅当b  2a  1 时取最小值12 .
2
故选：A.
已知抛物线 y2  8x 的焦点为 F，点 P 在抛物线上运动，点 Q 在圆 x  52   y 12  1上运动，则
PF  PQ 的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的定义知道 PF
 PN
，然后知道三点共线线段和最小，所以在圆上找到离直线距离最
近的点即可得到最小值.
【详解】由抛物线方程 y2  8x 可得焦点 F 2, 0 ，准线方程为 x  2 ，如图：
过点 P 作准线的垂线，垂足为 N，
因为点 P 在抛物线上，所以 PF
 PN
，所以 PF
PQ  PN
PQ ，
当 Q 点固定不动时，P、Q、N 三点共线，即QN 垂直于准线时，所求的和最小，
又因为 Q 在圆上运动，由圆的方程为 x  52   y 12  1得圆心 M 5,1 ，半径 r  1，
min
所以 QN MN  r  7 1  6 .
故选：A.
如图所示，在正三棱柱 ABC  A1B1C1 中，AA1  AB  2 ，则异面直线 A1C 与 AB1 所成角的余弦值为（ ）
2
1
2
2
1
4
2
4
【答案】C
【解析】
【 分析】 由 A1C  A1C1  A1 A ， AB1  A1B1  A1 A ， 利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求
–––→ –––→
cs A1C, AB1 ，即可得答案.
【详解】由 A1C  A1C1  A1 A ， AB1  A1B1  A1 A ，而 A1C1  A1A, A1B1  A1A 且B1A1C1  60 ，
–––→ –––→––––→–––→––––→–––→––––→ ––––→––––→ –––→–––→ ––––→–––→2
则 A1C  AB1  ( A1C1  A1 A)  ( A1B1  A1 A)  A1C1  A1B1  A1C1  A1 A  A1 A  A1B1  A1 A
 2  0  0  4  2 ，
2
显然| A1C || AB1 | 2
，则cs
–––→ –––→
A1C, AB1
A C  AB
11
 –––→ –––→
| A1C || AB1 |
  1 ，
4
所以异面直线 AC 与 AB 所成角的余弦值为 1 .
1
故选：C
FF
14
x2y2F

设 1 ， 2 是双曲线C : 22 1a  0,b  0 的左，右焦点， O 是坐标原点，过点 2 作C 的一条渐
6
ab
近线的垂线，垂足为 P ．若 PF1

OP ，则C 的离心率为（）
2
​
​
2D. 3
3
【答案】B
【解析】
【分析】
F c, 0ba
a2ab
设过点 2  作 y  x 的垂线， 其方程为 y    x  c ， 联立方程， 求得 x ， y ， 即
abcc
 a2 ab 
6

Pc , c  ，由 PF1 OP ，列出相应方程，求出离心率.

【详解】解：不妨设过点 F c, 0 作 y  b x 的垂线，其方程为 y   a  x  c ，
2ab
 y  b x
aa2ab
 a2
ab 
由a解得 x 
， y 
cc
，即 P  c , c  ，
 y  
b
 x  c
6
a2b2
 a22
 a4
a2b2 
由 PF1

OP ，所以有
c2
c  c 
 6  c2 
c2  ，

3

化简得3a2  c2 ，所以离心率e  c ．
a
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法正确的是（）
到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.
1
方程 x2  y2  mn  0 表示双曲线.
mn
到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线
椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越扁
【答案】BD
【解析】
【分析】根据双曲线的定义可判定 A，根据双曲线方程可判定 B，根据抛物线的定义可判定 C，根据椭圆的离心率可判定 D.
【详解】到两定点的距离差的绝对值等于正常数,且该常数小于两定点的距离的点的轨迹是双曲线，故 A
错误；
1
对于方程 x2  y2  ，若m  0, n  0 ，则表示焦点在横轴的双曲线，
mn
m  0, n  0
y2x2
若，原式可化为 n  m  1 ，则表示焦点在纵轴的双曲线，故 B 正确；
根据抛物线的定义可知:该定点不能在定直线上，否则轨迹不能是抛物线，故 C 错误；
椭圆的离心率是焦距与长轴的比值，离心率越大说明焦距与长轴长越接近，则短轴长越短，此时椭圆越扁平，故 D 正确.
故选：BD
x2y2
已知双曲线 C：
的左右焦点分别为 F , F ，且 F F  4 ，A、P、B 为双曲线
a2b2
（1 a
0, b0）
121 2
上不同的三点，且 A、B 两点关于原点对称，直线 PA 与 PB 斜率的乘积为 1，则下列正确的是（）
2
双曲线 C 的实轴长为
2
双曲线 C 的离心率为
6
若 PF1  PF2  0 ，则三角形 PF1F2 的周长为4  2
2x  y 的取值范围为(,  6] [ 6, )
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意可知 F1F2  2c  4 ，设 A x1, y1 , p  x0 , y0  ，则 B x1,  y1  ，kPA  kPB  1 ，代入可求
a
解出 a  b ，对 A，根据c2  a2  b2 ，可求得实轴长为2a ，可判断；对 B，根据离心率e  c ，可判断选项；
–––→ 2
––––→ 22
–––→––––→
对 C ， 根据 PF1  PF2  0 ， 可知 PF1  PF2 ， 则 PF1  PF2 2c ， PF1  PF2  2a ， 可求得
–––→––––→–––→––––→
PF1  PF2 ，所以三角形 PF1F2 的周长为 PF1  PF2  2c ，可判断；对 D，设2x  y  m 与双曲线联立，
若有解，需要  0 解之可求出m 取值，可判断选项.
【详解】根据题意可知 F1F2  2c  4 ，所以c  2 ，设 A x1, y1 , p  x0 , y0  ，则 B x1,  y1  ，
y2  y2b2y  yy  y
将 A x , y , p  x , y  分别代入到双曲线后相减可得 01 ， k k 01  01  1代入
1100
x2  x2a2
PAPB
x  xx  x
可求解出 a  b ，
010101
2
2
2
对 A，根据c2  a2  b2 ，解之可得 a ，所以双曲线 C 的实轴长为2
，故 A 错误；
对 B，根据离心率e  c ，将 a 
a
2, c  2 代入可得e ，故 B 正确；
–––→ 2––––→ 22
对 C，根据 PF1  PF2  0 ，可知 PF1  PF2 ，则 PF1  PF2 2c  16 ，
–––→––––→
PF1  PF2
 2a  2
–––→––––→
2
，故2 PF1  PF2
 8 ，
–––→––––→
6
可求得 PF1  PF2 
–––→––––→
 2 6 ，
–––→ 2
PF1  PF2 2 PF1  PF2
––––→ 2
–––→––––→
所以三角形 PF1F2 的周长为 PF1  PF2
 2c  2
 4 ，故 C 正确；
6
6
对 D，设2x  y  m 与双曲线 x2  y2  2 联立可得3x2  4mx  m2  2  0 ，若有解，需要Δ  16m2 12 m2  2  0 解之可求出 m 或 m  ，故 D 正确.
故选：BCD
C： 
x2
已知椭圆
2
2
3
y
2  1a  b  0 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，短轴长为2
1
P
，离心率为 2 ， 是椭
ab
圆C 上异于长轴端点 A, B 的一动点，点Q 与点 P 关于原点对称，则（）
VPF1F2 的面积最大值为2
PF1
QF1
11的最小值为1
若以 PR 为直径的圆经过 A, B 两点，则 R 点的轨迹方程为4x2  3y2  16  x  2
π
椭圆C 上存在点 P ，使得F1PF2  3
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 列关系式，求椭圆方程，当点 P 位于短轴顶点时， VPF1F2 的面积最大；B 证明四边形 PF1QF2
为平行四边形，再结合基本不等式可求；C 设过点 P, A, B 的圆的一般方程，将 P, A, B 三点坐标代入求出
圆方程，利用 P, R 关于圆心对称，求出 R 点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D 当点 P 位于短轴顶点
时符合题意.
3
【详解】由题意可知， 2b  2
， c  1 ， a2  b2  c2 ，解得 a  2, b 3, c  1，
a2
x2y2
则C： 
43
1， F1 1, 0, F2
1, 0 ， A2, 0, B 2, 0 ,
3
3
当点 P 位于短轴顶点时， VPF F 的面积最大，最大值为 1  2 ，故 A 错误；
1 22
因点Q 与点 P 关于原点对称，则四边形 PF1QF2 为平行四边形，则 QF1  PF2 ，
因 PF
 PF
 4 ，则 1  1  1  1  1  1  1  PF
 PF 
12PFQFPFPF
PF 12
1112
PF2
PF1
PF1
PF2
 1  2   1 2  2  1,
4  PF12 
4
4


等号成立时 PF1
 PF2
 2 ，故 B 正确；
设过点 P, A, B 的圆的方程为 x2  y2  Dx  Ey  F  0 ，
x2y2
设 P  x0 , y0  ，且 0  0  1， x0  2 ， y0  0 ，
43
则 x2  y2  Dx  Ey
 F  0 ， 4  2D  F  0 ， 4  2D  F  0 ，
0000
4   4  4 y2   y2
得 D  0, F  4 ，
4  x2  y2
3 0 0y ，
E  00    0
y0
2  y2  y0 y  4  0 ，圆心 M  0,  y0 

36 
关于点 M 对称，则 R  x ,  4 y0  ，
0

3

则过点 P, A, B 的圆的方程为 x
因 PR 为圆 M 的直径，则 P, R
y03
，

令 x  x , y   4 y0 ，则 x
 x, y
  3y ，
0
x2y2
3004
22
因 0  0  1，则4x
43
 3y
 16 ，
因 x0  2 ，则 R 点的轨迹方程为4x2  3y2  16  x  2 ，C 正确；
当点 P 位于短轴顶点时，此时VF PF 为等边三角形， F PF  π ，故 D 正确.
12123
故选：BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
已知圆C ： x2  y2  4 和圆C ： x2  y2  2x  4 y  0 ，则两圆公共弦所在直线的方程为.
12
【答案】 x  2 y  2  0
【解析】
【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程.
【详解】Q圆C ： x2  y2  4 和圆C ： x2  y2  2x  4 y  0 ，
12
两圆作差相减，得直线方程为 x  2 y  2  0 ，经检验，直线方程 x  2 y  2  0 满足题意.
故答案为： x  2 y  2  0 .
已知双曲线
2  y2  ，过点 P 2,1 作直线与双曲线交于 A, B 两点，且点 P 恰好是线段
1
x
2
AB 的中点，
则直线 AB 的方程是．
【答案】 4x  y  7  0
【解析】
【分析】利用点差法可求得直线 AB 斜率，进而得到 AB 方程，与双曲线联立检验即可确定结果.
【详解】设 A x1, y1 , B  x2, y2  ，且 x1  x2 ，
 2y2
x1  1  1
222
y2y2
 y1  y2  y1  y2 
由得： x1  x2  1  2 ，即 x1  x2  x1  x2  ，
 2y2222
x2  2  1
2
P 为 AB 中点， x  x  4 ， y  y  2 ， k y1  y2  2  x1  x2   4 ，
1212
ABx  xy  y
1212
直线 AB 方程为： y 1  4(x  2) ，即4x  y  7  0 ；
4x  y  7  0

由y2
得：14x2  56x  51  0 ，
x2  1
2
则  562  4 14  51  280  0 ，满足题意；直线 AB 的方程为： 4x  y  7  0 .
故答案为： 4x  y  7  0 .
x2y2
221
已知点 P 是椭圆C :
43
 1 上一动点，过点 P 作G : (x  1)  y
 的切线 PA、PB，切点分别为
4
A、B，当 PG  AB 最小时，线段 AB 的长度为．
【答案】 3
2
【解析】
【分析】根据题意结合四边形 PAGB 的面积分析可知当且仅当点 P 为左顶点时， PG 取到最小值 a  c  1 ，
进而可得线段 AB 的长度.
【详解】由椭圆方程可知： a  2, b 
3, c 
a2  b2
 1，
圆G : (x  1)2  y2  1 的圆心为G 1, 0 （也为椭圆的左焦点），半径r  1 ，
4
因为 PG  AB ，可知四边形 PAGB 的面积 S
PAGB

2
1
2
PG  AB ，
当 PG  AB 最小时，即为四边形 PAGB 的面积 SPAGB 最小，
又因为 S
PAGB
 2S△PAG
 2  1 r  PA 
2
，
1
2
PG 2  r2
1
2
PG 2  1
4
可知当 PG 取到最小值时，四边形 PAGB 的面积 SPAGB 最小，即 PG  AB 最小，且点 P 是椭圆C 上一动点，
由椭圆性质可知：当且仅当点 P 为左顶点时， PG 取到最小值 a  c  1 ，
此时 PA 
3 , APG  π ，由对称性可知： PB 
26
3 , BPG  π ，
26
即APB  π ， VPAB 为等边三角形，则 AB 3 .
32
故答案为： 3 .
2
四、解答题：本题共 5 小题．共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图所示，四棱锥 P  ABCD 的底面 ABCD 是矩形， PB  底面 ABCD ， AB  BC  3 ， BP  3 ，
CF  1 CP ， DE  1 DA ．
33
证明： EF P平面 ABP ；
求直线 PC 与平面 ADF 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2） 3 5
10
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明 EF 与平面 ABP 的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可.
【小问 1 详解】
由题意知， BC ， BA ， BP 两两互相垂直，以 B 为原点， BC ， BA ， BP 所在直线分别为 x, y, z 轴，建立
如图所示的空间直角坐标系 B−xyz ，
则 B 0, 0, 0 ， C 3, 0, 0 ， E 2, 3, 0 ， F 2, 0,1 ，所以 BC  3, 0, 0 ， EF  0, 3,1 ．
Q PB  底面 ABCD ， BC  底面 ABCD ， PB  BC
又Q BC  BA ， PB  BA  B ，且 PB, BA  平面 ABP ,
 BC  平面 ABP ，
所以 BC  3, 0, 0 是平面 ABP 的一个法向量．因为 BC  EF  3, 0, 00, 3,1  0 ，
所以 BC  EF ．
又 EF  平面 ABP ，所以 EF P平面 ABP ．
【小问 2 详解】
因为 A0, 3, 0 ， C 3, 0, 0 ， D 3, 3, 0 ， P 0, 0, 3 ， F 2, 0,1 ，所以 AD  3, 0, 0 ， AF  2, 3,1 ， PC  3, 0, 3 ，
设平面 ADF 的法向量为 n   x, y, z  ，则
→ –––→
n  AD  3x  0
由
，解得 x  0 ，令 y  1，
→ –––→
z  3y
n  AF  2x  3y  z  0
得平面 ADF 的一个法向量为 n  0,1, 3 ．设直线 PC 与平面 ADF 所成的角为θ，
–––→ →
3, 0, 3 0,1, 33
5
–––→ →
PC  n
–––→→
PC

n
则sinθ cs